07 Leis de Morgan

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PROPRIEDADES COMUTATIVA DISTRIBUTIVA 
E LEIS DE MORGAN 
 
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Propriedade Comutativa 
O Que É Propriedade Comutativa? 
 
A propriedade comutativa é quando a sequência das operações não afecta o resultado. 
 
Por exemplo, tanto faz vestir o casaco, e pôr o chapéu, como pôr o chapéu e vestir o casaco, que o 
resultado é o mesmo. 
 
Mas se for lavar as mãos e ir comer, já é diferente de ir comer e lavar as mãos. 
 
No primeiro caso diz-se que há comutatividade, ao passo que no segundo não. 
 
Na Matemática usa-se muito esta propriedade quando se fala em operações aritméticas. 
 
Assim, na soma e na multiplicação, verifica-se que 
 
2 + 5 = 5 + 2 = 7 
 
2 x 5 = 5 x 2 = 10 
 
ao passo que na subtracção e na divisão, não há comutatividade: 
 
2 - 5 = -3 # (diferente) 5 - 2 = 3 
 
2 ÷ 5 = 0,4 # 5 ÷ 2 = 2,5 
Comutatividade 
Em matemática, comutatividade é uma propriedade de operações binárias, ou de ordem mais alta, 
em que a ordem dos operandos não altera o resultado final. Ou popularmente, onde a ordem dos 
fatores não altera o produto. 
Por mais que a noção comum de aritmética possam sugerir que esta propriedade seja óbvia, ela é 
importante para organizar os tipos de operações de grupos de acordo a propriedade de 
comutatividade ou não. E mesmo na aritmética existem exemplos de operações que não são 
comutativas, como a subtração e divisão. 
Definição 
Dado um conjunto qualquer S e um operação binária f, dizemos que f é comutativa se: 
 
A notação matemática mais comum para operações binárias é através de um símbolo gráfico entre os 
dois operandos, por exemplo, escreve-se: 
 
Usando esta notação, a definição de comutatividade fica: 
 
Exemplos 
Os exemplos mais comuns são: 
 A adição de números naturais, racionais, reais e complexos. 
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 A multiplicação de números naturais, racionais, reais e complexos. 
 Grupos abelianos, são grupos no qual a operação é comutativa. 
 As funções (que podem ter mais de um argumento) mínimo múltiplo comum e máximo divisor 
comum, para números inteiros positivos, são comutativas: mdc(42, 626, 452) = mdc(452, 42, 626) etc. 
Na multiplicação,a propriedade comutativa troca os números, mas independentemente da troca, o 
resultado fica igual. 
Propriedade Distributiva 
A propriedade distributiva determina como resolver equações na forma a(b + c). Essa propriedade é 
chamada também de lei distributiva da multiplicação e divisão. 
Normalmente, quando vemos uma equação como essa 4(8+3) calculamos primeiro apenas o que 
está entre parênteses, depois a resolvemos: 
4(8+3) →4(11) →44 
Este método segue a regra oficial da “ordem das operações” que aprendemos anteriormente. 
Com a propriedade distributiva, multiplicamos o „4‟ primeiro: 
4.(8+3) → (4.8)+(4.3) → 32+12 = 44 
Multiplicamos o 4 pelo 8 e depois pelo 3. 
 Precisamos nos lembrar de fazer a multiplicação antes da adição! 
4.8 + 4.3 = 32+12 + 44 
Obtemos a mesma resposta, 44, com os dois modos de resolução! 
Por que fizemos isso de outro jeito, se poderíamos ter facilmente resolvido o que estava entre 
parênteses primeiro? 
 Essa é uma preparação para os casos em que teremos variáveis em vez de números dentro dos 
parênteses. 
Outro Exemplo Antes De Começarmos A Usar Variáveis: 
5.(9-4) = 5.9 – 5.4 = 45-20 = 25 
Exemplo da propriedade distributiva com variáveis: 
a(b+c) = ab + ac 
Mais Exemplos: 
a) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
b) ( ) 
 
Dicas 
 Geralmente usamos a propriedade distributiva quando os dois termos dentro dos parênteses não 
podem ser somados, já que não são termos semelhantes 
 Não se esqueça de multiplicar todos os termos dentro dos parênteses/colchetes pelo número de 
fora 
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 Leis De Morgan 
Conjunto de operações para simplificar expressões lógicas. Foram criadas pelo 
matemático Augustus De Morgan no século 19. 
Quando trabalhamos com expressões lógicas muito grandes, pode ser necessário substituir uma 
expressão por uma logicamente equivalente (isto é, cujos elementos possam ser reordenados de tal 
forma que possam produzir o mesmo resultado lógico- VERDADEIRO ou FALSO). As Leis de De 
Morgan permitem fazer esta substituição de forma simples através dos seguintes pressupostos: 
 A negação da conjunção equivale a disjunção 
 e a negação da disjunção equivale a conjunção. 
As Leis de De Morgan pertencem à Matemática, Filosofia e Ciência da Computação, mas são 
utilizadas em concursos e provas em dois tipos de questão: determinar se uma determinada sentença 
lógica (frase ou figura) é igual a outra ou para reduzir uma determinada sentença lógica em uma 
forma mais simples. 
Primeira Lei De Morgan 
De maneira formal: 
“a negação de uma conjunção entre duas proposições é igual a disjunção da negação de cada 
proposição” 
De maneira informal: 
“negar duas frases ligadas com e é igual a negar duas frases e ligá-las com ou“ 
Ou logicamente: 
“não (A e B) é igual a (não A) ou (não B)”. 
Desta forma: 
¬(A∧B) 
Ou ainda: 
(¬A)∨(¬B) 
Exemplos: 
 Como negar a frase “Antônio não é baiano e Antônio não é cearense .” : 
Não (Antônio não é baiano) OU Não (Antônio não é cearense). Neste caso, os nãos se anulam e a 
frase pode ser transformada para 
Antônio é baiano ou cearense. 
 Como negar a frase “Pedro sofreu acidente de trabalho e Pedro está aposentado.”: 
Não (Pedro sofreu acidente de trabalho) OU Não (Pedro está aposentado) que é: 
Ou Pedro não sofreu acidente de trabalho, ou Pedro não está aposentado. 
Segunda Lei De Morgan 
De maneira formal: 
“a negação de uma disjunção entre duas proposições é a conjunção da negação de cada 
proposição” 
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Ou, de maneira informal: 
Negar duas frases ligadas por ou é igual a negar duas frases e ligá-las por e 
Ou, de forma lógica: 
 “não (A ou B) é o mesmo que (não A) e (não B)”. 
Desta forma: 
¬(A∨B) 
É o mesmo que: 
(¬A)∧(¬B) 
Exemplos: 
 Como negar a frase “Vou ficar em casa ou vou para o shopping. ” ? 
Não (Vou ficar em casa) E Não (vou para o shopping). 
 Como negar a frase “Antônio é baiano ou Antônio é cearense .” : 
Não (Antônio é baiano) E Não (Antônio é cearense) que pode ser transformado para 
Antônio não é baiano e não é cearense. 
 Como negar a frase “Vou ao baile ou não me chamo Joana. ” ? 
Não (vou ao baile) E me chamo Joana), onde os dois “não” se anulam ,de forma que: 
Não (vou ao baile) E (me chamo Joana). 
Negação Da Condicional 
Condicional É A Estrutura Lógica Na Qual O Valor De Uma Proposição Depende De Outra. 
Por exemplo: 
Se os pássaros voam, então a galinha voa. 
A estrutura lógica é dada por: 
A→B 
No qual B só é verdadeiro se A também o for. 
A negação da condicional é dada pelo uso do E e se nega apenas a segunda parte da estrutura. 
Assim: 
¬(A→B)=A∧¬B 
Por exemplo: 
 A negação de “Se as aves voam então a galinha voa” é dada por: 
(As aves voam) E Não (a galinha voa), o que pode ser convertido para 
As aves voam e a galinha não voa, ou ainda 
As aves voam, mas a galinha não voa. 
 
Alguns cuidados 
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 Alguns cuidados que você deve ter ao realizar negações é que alguns termos não são 
necessariamente negação de outros. Por exemplo: a negação de era o mais jovem não é era o mais 
velho e sim não era o mais jovem. Outro exemplo: a negação de futebol me dá alegria não é futebol 
me dá tristeza e sim futebol não me dá alegria. 
 Alguns termos são equivalentes. Por exemplo, “nem” significa “e não”: 
Não gosto de praia nem de cinema. É igual a : Não gosto de praia e não gosto de cinema. 
Questões De Exemplos 
 (TJ/PI – Analista Judiciário – Escrivão Judicial – FGV/2015) Considere a afirmação: 
“Mato a cobra e mostro opau” 
A negação lógica dessa afirmação é: 
(A) não mato a cobra ou não mostro o pau; 
(B) não mato a cobra e não mostro o pau; 
(C) não mato a cobra e mostro o pau; 
(D) mato a cobra e não mostro o pau; 
(E) mato a cobra ou não mostro o pau. 
Comentário: “Mato a cobra e mostro o pau” é uma conjunção. Sua negação, de acordo com a 
primeira lei de Morgan é: Não(Mato a cobra e Mostro o Pau), que equivale a Não (Mato a Cobra) ou 
Não (Mostro o Pau). Logo a resposta correta é a letra A. 
(CODEMIG – Advogado Societário – FGV/2015) Em uma empresa, o diretor de um 
departamento percebeu que Pedro, um dos funcionários, tinha cometido alguns erros em seu trabalho 
e comentou: 
“Pedro está cansado ou desatento.” 
A negação lógica dessa afirmação é: 
(A) Pedro está descansado ou desatento. 
(B) Pedro está descansado ou atento. 
(C) Pedro está cansado e desatento. 
(D) Pedro está descansado e atento. 
(E) Se Pedro está descansado então está desatento. 
Comentário: “Pedro está cansado ou desatento.” é uma disjunção. Sua negação é dada por Não 
(Pedro está cansado ou Pedro está desatento) ou conforme as regras de Morgan Não (Pedro está 
cansado) e Não (Pedro está desatento) = Pedro não está cansado e não é desatento = Pedro está 
descansado e é atento. Logo a letra correta e´D. 
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