MXXXIV ensino para dois

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\] 
 
 Podemos fatorar a equação: 
 \[ 
 3x(x - 2) = 0 
 \] 
 
 Isso nos dá as soluções \( x = 0 \) e \( x = 2 \). 
 
3. Agora, precisamos determinar se esses pontos críticos correspondem a um mínimo ou 
um máximo. Para isso, calculamos a segunda derivada: 
 \[ 
 f''(x) = 6x - 6 
 \] 
 
4. Avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos que encontramos: 
 - Para \( x = 0 \): 
 \[ 
 f''(0) = 6(0) - 6 = -6 \quad (\text{máximo}) 
 \] 
 - Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f''(2) = 6(2) - 6 = 6 \quad (\text{mínimo}) 
 \] 
 
5. Conclusão: O valor de \( x \) que minimiza a função \( f(x) \) é \( x = 2 \). Portanto, a 
resposta correta é a alternativa b) \( x = 2 \). 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = e^{-x^2} \). Qual é o valor de \( \int_{-
\infty}^{\infty} f(x) \, dx \)? 
 
**Alternativas:** 
a) \( 0 \) 
b) \( 1 \) 
c) \( \sqrt{\pi} \) 
d) \( 2 \) 
 
**Resposta:** c) \( \sqrt{\pi} \) 
 
**Explicação:** 
Para calcular a integral \( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \), utilizamos o resultado 
conhecido da integral gaussiana. A integral gaussiana é: 
 
\[ 
I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx 
\] 
 
Para resolver essa integral, podemos considerar o quadrado da integral, ou seja, \( I^2 \): 
 
\[ 
I^2 = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-
y^2} \, dy \right) 
\] 
 
Mudamos para coordenadas polares, onde \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \). 
O diferencial de área em coordenadas polares é \( dx \, dy = r \, dr \, d\theta \). Assim, 
podemos reescrever \( I^2 \): 
 
\[ 
I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta 
\] 
 
A integral em \( r \) é: 
 
\[ 
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr 
\] 
 
Fazendo a substituição \( u = r^2 \) (portanto, \( du = 2r \, dr \) ou \( r \, dr = \frac{1}{2} 
du \)), temos: 
 
\[ 
\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2} 
\cdot 1 = \frac{1}{2} 
\] 
 
Assim, voltando a \( I^2 \): 
 
\[ 
I^2 = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi 
\] 
 
Portanto, \( I^2 = \pi \) e logo \( I = \sqrt{\pi} \). 
 
Assim, temos que: