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\[ 
 f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 
 \] 
 
- Para \( x = 1 \): 
 \[ 
 f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2 
 \] 
 
- Para \( x = 2 \): 
 \[ 
 f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 
 \] 
 
- Para \( x = 3 \): 
 \[ 
 f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4 
 \] 
 
3. Os valores são: 
 - \( f(0) = 4 \) (positivo) 
 - \( f(1) = 2 \) (positivo) 
 - \( f(2) = 0 \) (interseção no eixo x) 
 - \( f(3) = 4 \) (positivo) 
 
Como \( f(0) > 0 \) e \( f(2) = 0 \), temos pelo menos uma raiz em \( x = 2 \). Além disso, a 
função é cúbica e, portanto, pode ter até 3 raízes, mas a função não altera de sinal após \( x 
= 2 \); continuamos com valores positivos. Verificando o comportamento da função em 
intervalos, concluímos que: 
 
- Entre \( (-\infty, 0) \), \( f(x) \) tende ao negativo. Assim, podemos concluir que a função 
cruza o eixo x em um único ponto, que é \( x = 2 \). 
 
Portanto, a resposta correta é **b) 1**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 9x^2 \). Determine os pontos 
críticos da função e classifique-os quanto à natureza (máximo, mínimo ou ponto de 
inflexão). Qual das opções abaixo apresenta corretamente a natureza dos pontos críticos? 
 
**Alternativas:** 
a) O ponto crítico em \( x = 0 \) é um mínimo; o ponto crítico em \( x = 1 \) é um máximo e 
o ponto crítico em \( x = 3 \) é um ponto de inflexão. 
b) O ponto crítico em \( x = 0 \) é um ponto de inflexão; o ponto crítico em \( x = 1 \) é um 
mínimo e o ponto crítico em \( x = 3 \) é um máximo. 
c) O ponto crítico em \( x = 0 \) é um máximo; os pontos críticos em \( x = 1 \) e \( x = 3 \) 
são mínimos. 
d) O ponto crítico em \( x = 0 \) é um mínimo; os pontos críticos em \( x = 1 \) e \( x = 3 \) 
são máximos. 
 
**Resposta:** a) O ponto crítico em \( x = 0 \) é um mínimo; o ponto crítico em \( x = 1 \) é 
um máximo e o ponto crítico em \( x = 3 \) é um ponto de inflexão. 
 
**Explicação:** 
 
Para encontrar os pontos críticos da função \( f(x) = 3x^4 - 12x^3 + 9x^2 \), devemos 
calcular a primeira derivada e igualá-la a zero: 
 
\[ f'(x) = 12x^3 - 36x^2 + 18x \] 
 
Igualando a primeira derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 12x^3 - 36x^2 + 18x = 0 \] 
 
Podemos fatorar a expressão: 
 
\[ 6x(2x^2 - 6x + 3) = 0 \] 
 
Assim, temos: 
 
1. \( 6x = 0 \) → \( x = 0 \) 
2. Para a equação quadrática \( 2x^2 - 6x + 3 = 0 \), utilizamos a fórmula de Bhaskara: 
 
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4*2*3}}{2*2} = 
\frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = 
\frac{3 \pm \sqrt{3}}{2} \] 
 
Os pontos críticos são, portanto, \( x = 0 \), \( x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \) e \( x_2 = 
\frac{3 + \sqrt{3}}{2} \). 
 
Agora, para classificar esses pontos críticos, calculamos a segunda derivada da função \( 
f(x) \): 
 
\[ f''(x) = 36x^2 - 72x + 18 \] 
 
Substituindo os valores dos pontos críticos para determinar a natureza: