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**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Qual é o número de raízes reais 
da equação \( f(x) = 0 \)? 
 
**Alternativas:** 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) Nenhuma 
 
**Resposta:** a) 1 
 
**Explicação:** 
Para determinar o número de raízes reais da função \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \), podemos 
utilizar o Teorema de Bolzano e a análise do comportamento da função. 
 
Primeiro, vamos calcular a derivada da função para encontrar os pontos críticos: 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) 
\] 
 
Os pontos críticos são \( x = 0 \) e \( x = 2 \). Agora, vamos analisar o sinal da derivada para 
entender o comportamento da função em relação a esses pontos: 
 
1. Para \( x 0 \) (a função cresce). 
2. Para \( 0 2 \), \( f'(x) > 0 \) (a função cresce novamente). 
 
Isso indica que a função tem um máximo local em \( x = 0 \) e um mínimo local em \( x = 2 
\). 
 
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos: 
 
\[ 
f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 
\] 
 
\[ 
f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 
\] 
 
Com estes valores, temos: 
- \( f(0) = 4 \) (os valores estão acima do eixo \( x \)). 
- \( f(2) = 0 \) (um ponto onde a função intersecta o eixo \( x \)). 
 
Agora, observando o comportamento para \( x \to -\infty \) e \( x \to +\infty \): 
 
- Quando \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). 
- Quando \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 
 
Por meio do Teorema de Bolzano, sabemos que, pelo menos, uma raiz real deve existir entre 
\( x = -\infty \) e \( x = 0 \) por conta da mudança de sinal. 
 
Portanto, temos uma raiz em \( (0, +\infty) \) em \( x = 2 \). Como a derivada mostrou que 
apenas um mínimo existe e não há outros pontos onde a função pode cruzar o eixo \( x \), 
concluímos que somente uma raiz real existe. Assim, a resposta correta é a alternativa a) 1. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 4 \). Qual é o valor de \( x \) em 
que a derivada da função, \( f'(x) \), é igual a zero? 
 
**Alternativas:** 
a) \( x = -1 \) 
b) \( x = 0 \) 
c) \( x = 1 \) 
d) \( x = 2 \) 
 
**Resposta:** c) \( x = 1 \) 
 
**Explicação:** 
 
Primeiro, devemos calcular a derivada da função \( f(x) \). A derivada \( f'(x) \) é dada por: 
 
\[ 
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 - 5x^2 + 2x - 4) 
\] 
 
Usando as regras de derivação, temos: 
 
\[ 
f'(x) = 9x^2 - 10x + 2 
\] 
 
Agora, para encontrar os pontos em que \( f'(x) = 0 \), resolvemos a equação: 
 
\[