LIII Aulas com enfases

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Alternativas: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** b) 1 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função \( f(x) \), podemos usar 
o teorema de Bolzano (que afirma que uma função contínua que muda de sinal em um 
intervalo contém pelo menos uma raiz nesse intervalo) junto com o estudo do 
comportamento da função e seus pontos críticos. 
 
Primeiro, encontramos a derivada da função: 
 
\[ 
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 
\] 
 
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo \( f'(x) = 0 \): 
 
\[ 
3x^2 - 12x + 9 = 0 
\] 
 
Dividindo toda a equação por 3: 
 
\[ 
x^2 - 4x + 3 = 0 
\] 
 
Utilizando a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática: 
 
\[ 
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 
\cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} 
\] 
 
Portanto, temos: 
 
\[ 
x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 
\] 
 
Os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). Agora, vamos analisar o sinal da derivada para 
identificar o comportamento da função. 
 
- Para \( x 0 \) (a função é crescente); 
- Para \( 1 3 \), \( f'(x) > 0 \) (a função é crescente). 
 
Assim, \( f(x) \) tem um máximo local em \( x = 1 \) e um mínimo local em \( x = 3 \). 
Agora, precisamos avaliar o valor da função nesses pontos críticos: 
 
\[ 
f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 9 \cdot 1 - 4 = 1 - 6 + 9 - 4 = 0 
\] 
\[ 
f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 - 4 = 27 - 54 + 27 - 4 = -4 
\] 
 
Assim, temos: 
- \( f(1) = 0 \) (uma raiz); 
- \( f(3) 3 \), a função voltará a ser crescente, mas 
o valor em \( f(3) = -4 \) e o comportamento da função no infinito positivo indicam que não 
existem mais raízes reais. 
 
Portanto, a função \( f(x) \) possui apenas uma raiz real, que corresponde à alternativa 
correta **b)**. 
 
**Questão:** 
 
Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 4 \). Qual dos seguintes valores representa um 
ponto crítico da função? 
 
Alternativas: 
a) \( x = 1 \) 
b) \( x = 2 \) 
c) \( x = 3 \) 
d) \( x = 4 \) 
 
**Resposta:** b) \( x = 2 \)