entendendo a logica do mundo CCBK

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\[ 
= 36 - 18 
\] 
\[ 
= 25 
\] 
 
Portanto, o valor de \( f'(2) \) é \( 25 \), e a alternativa correta é a) **c) 25.** 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 2 \). Determine o número de raízes 
reais dessa função. 
 
**Alternativas:** 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
**Resposta:** d) 3 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função \( f(x) = 3x^3 - 6x^2 + 
2 \), podemos utilizar o teorema de Bolzano e a análise do comportamento da função. 
 
1. **Primeiro, verificamos o comportamento da função quando \( x \to -\infty \) e \( x \to 
+\infty \):** 
 - Quando \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \) (pois o termo cúbico domina e é negativo). 
 - Quando \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \) (o termo cúbico é positivo e domina). 
 
Portanto, como a função muda de sinal ao longo do eixo \( y \), podemos afirmar que há 
pelo menos uma raiz real. 
 
2. **Calculamos a derivada da função para encontrar seus pontos críticos:** 
 \[ 
 f'(x) = 9x^2 - 12x = 3x(3x - 4) 
 \] 
 Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: 
 \[ 
 3x(3x - 4) = 0 
 \] 
 As soluções são \( x = 0 \) e \( x = \frac{4}{3} \). 
 
3. **Vamos analisar o sinal de \( f'(x) \):** 
 - Para \( x 0 \) (a função está crescendo). 
 - Para \( 0 \frac{4}{3} \), \( f'(x) > 0 \) (a função está crescendo novamente). 
 
Assim, identificamos que a função tem um máximo local em \( x = 0 \) e um mínimo local 
em \( x = \frac{4}{3} \). 
 
4. **Agora, avaliamos a função nesses pontos críticos:** 
 \[ 
 f(0) = 3(0)^3 - 6(0)^2 + 2 = 2 
 \] 
 \[ 
 f\left(\frac{4}{3}\right) = 3\left(\frac{4}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 2 = 3 
\cdot \frac{64}{27} - 6 \cdot \frac{16}{9} + 2 
 \] 
 Simplificando, obtemos: 
 \[ 
 f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{192}{27} - \frac{96}{9} + 2 = \frac{192}{27} - 
\frac{288}{27} + \frac{54}{27} = \frac{-42}{27} 
 \] 
 
5. **Com isso, sabemos que:** 
 - \( f(0) = 2 > 0 \) (parte acima do eixo x). 
 - \( f\left(\frac{4}{3}\right)