1. (10 Pontos) Considere emM3(R) o produto interno usual, e seja W = {A ∈M3(R) | A é simétrica}. Determine, com detalhes, o complemento ortogonal...

Para determinar o complemento ortogonal de W, precisamos encontrar as matrizes que são ortogonais a todas as matrizes simétricas em M3(R). Primeiro, vamos definir o produto interno usual para matrizes em M3(R). O produto interno usual entre duas matrizes A e B em M3(R) é dado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes. Ou seja, se A = [aij] e B = [bij], então o produto interno entre A e B é dado por: (A, B) = a11 * b11 + a12 * b12 + a13 * b13 + a21 * b21 + a22 * b22 + a23 * b23 + a31 * b31 + a32 * b32 + a33 * b33 Agora, vamos encontrar o complemento ortogonal de W. Para isso, precisamos encontrar as matrizes que são ortogonais a todas as matrizes simétricas em M3(R). Uma matriz A em M3(R) é simétrica se A = A^T, onde A^T é a matriz transposta de A. Portanto, podemos escrever a condição para uma matriz A ser simétrica como: A = A^T Agora, vamos encontrar as matrizes que são ortogonais a todas as matrizes simétricas. Uma matriz B em M3(R) é ortogonal a todas as matrizes simétricas se o produto interno entre B e qualquer matriz simétrica for igual a zero. Ou seja, para qualquer matriz simétrica A em W, temos: (B, A) = 0 Substituindo a expressão do produto interno, temos: b11 * a11 + b12 * a12 + b13 * a13 + b21 * a21 + b22 * a22 + b23 * a23 + b31 * a31 + b32 * a32 + b33 * a33 = 0 Essa equação deve ser satisfeita para todas as matrizes simétricas A em W. Portanto, o complemento ortogonal de W é o conjunto de todas as matrizes B em M3(R) que satisfazem a equação acima para todas as matrizes simétricas A em W. Espero que isso ajude! Se tiver mais alguma dúvida, é só perguntar.