MECANICA_DOS_SOLIDOS_B

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MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS SSÓÓLLIIDDOOSS BB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JJoosséé CCaarrllooss ddee CC.. PPeerreeiirraa 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, mmaarrççoo ddee 22001144
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO ______________________________________________________________________________________________________________________ IIII 
TTAABBEELLAA DDEE CCOONNVVEERRSSÃÃOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS ____________________________________________________ VVII 
TTAABBEELLAA CCOOMM PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDEE MMAATTEERRIIAAIISS __________________________________________ VVIIII 
TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO __________________________________________________________________________ 88 
99..11 –– IInnttrroodduuççããoo __________________________________________________________________________________________________________ 88 
99..22 –– EEqquuaaççõõeess ggeerraaiiss ppaarraa ttrraannssffoorrmmaaççããoo ddee tteennssããoo ppllaannaa ______________________ 1122 
99..33 –– CCíírrccuulloo ddee tteennssõõeess ddee MMoohhrr __________________________________________________________________________ 1133 
99..33 –– CCoonnssttrruuççããoo ddoo ccíírrccuulloo ddee tteennssõõeess ddee MMoohhrr ______________________________________________ 1166 
99..44 –– IImmppoorrttaannttee ttrraannssffoorrmmaaççããoo ddee tteennssããoo ________________________________________________________ 2211 
99..66 –– TTeennssõõeess pprriinncciippaaiiss ppaarraa oo eessttaaddoo ggeerraall ddee tteennssõõeess ______________________________ 2233 
99..77 –– CCíírrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa oo eessttaaddoo ggeerraall ddee tteennssõõeess ____________________________________ 2255 
99..88 –– CCrriittéérriiooss ddee eessccooaammeennttoo ee ddee ffrraattuurraa ________________________________________________________ 2266 
9.7.1 – Observações preliminares ________________________ 26 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) 
(mat. dúcteis) __________________________________________________ 26 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) 
(mat. dúcteis) __________________________________________________ 29 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) ___ 33 
VVAASSOOSS DDEE PPRREESSSSÃÃOO ____________________________________________________________________________________________ 3366 
1100..11 –– VVaassooss cciillíínnddrriiccooss __________________________________________________________________________________________ 3366 
1100..22 –– VVaassooss eessfféérriiccooss ______________________________________________________________________________________________ 3388 
DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS __________________________________________________________________________________________ 4455 
1111..11 –– IInnttrroodduuççããoo ______________________________________________________________________________________________________ 4455 
1111..22 –– RReellaaççããoo eennttrree ddeeffoorrmmaaççããoo--ccuurrvvaattuurraa ee mmoommeennttoo--ccuurrvvaattuurraa ____________ 4455 
1111..33 –– EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ppaarraa ddeefflleexxããoo ddee vviiggaass eelláássttiiccaass ______________________ 4477 
1111..44 –– CCoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo ________________________________________________________________________________ 4488 
1111..55 –– MMééttooddoo ddaa IInntteeggrraaççããoo DDiirreettaa ____________________________________________________________________ 4499 
1111..66 –– MMééttooddoo ddaa SSuuppeerrppoossiiççããoo ____________________________________________________________________________ 5588 
 
1111..77 –– VViiggaass eessttaattiiccaammeennttee iinnddeetteerrmmiinnaaddaass-- MMééttooddoo ddaaIInntteeggrraaççããoo 
DDiirreettaa ________________________________________________________________________________________________________________________________ 6622 
1111..88 –– VViiggaass eessttaattiiccaammeennttee iinnddeetteerrmmiinnaaddaass -- MMééttooddoo ddaa SSuuppeerrppoossiiççããoo __ 6677 
MMÉÉTTOODDOOSS DDEE EENNEERRGGIIAA ______________________________________________________________________________________ 7733 
1122..11 –– IInnttrroodduuççããoo ______________________________________________________________________________________________________ 7733 
1122..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelláássttiiccaa ______________________________________________________________ 7733 
1122..33 –– DDeessllooccaammeennttooss ppeellooss mmééttooddooss ddee eenneerrggiiaa ____________________________________________ 7777 
1122..44 –– TTeeoorreemmaa ddaa eenneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ee ddaa eenneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo 
ccoommpplleemmeennttaarr __________________________________________________________________________________________________________________ 8833 
1122..55 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa ddeefflleexxããoo __________________________________________________ 8877 
1122..66 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa ddeefflleexxããoo eemm vviiggaass ________________________________ 9900 
1122..77 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa vviiggaass eessttaattiiccaammeennttee 
iinnddeetteerrmmiinnaaddaass ______________________________________________________________________________________________________________ 9944 
1122..88 –– MMééttooddoo ddoo ttrraabbaallhhoo vviirrttuuaall ppaarraa ddeefflleexxõõeess __________________________________________ 9977 
1122..99 –– EEqquuaaççõõeess ddoo ttrraabbaallhhoo vviirrttuuaall ppaarraa ssiisstteemmaass eelláássttiiccooss ____________________ 110000 
MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS __________________________________________________________ 111111 
EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS PPAARRAA TTRREELLIIÇÇAASS ____________________________________________________________ 111111 
1133..11 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee bbaarrrraa ________________________________________ 111111 
1133..22 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee bbaarrrraa nnuumm ssiisstteemmaa 
aarrbbiittrráárriioo ________________________________________________________________________________________________________________________ 111144 
1133..33 –– FFoorrççaa aaxxiiaall nnooss eelleemmeennttooss ________________________________________________________________________ 111166 
1133..44 –– TTééccnniiccaa ddee mmoonnttaaggeemm ddaa mmaattrriizz ddee rriiggiiddeezz gglloobbaall ____________________________ 111177 
EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS PPAARRAA VVIIGGAASS __________________________________________________________________ 113311 
1133..55 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee vviiggaa __________________________________________ 113311 
1133..66 –– PPrroopprriieeddaaddeess ddaa mmaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee vviiggaa __________ 113344 
1133..77 –– VViiggaass ccoomm ccaarrggaa ddiissttrrííbbuuiiddaa ____________________________________________________________________ 113399 
FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE CCOOLLUUNNAASS ______________________________________________________________________________ 115533 
1144..11 –– IInnttrroodduuççããoo ____________________________________________________________________________________________________ 115533 
1144..22 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ppaarraa ccoolluunnaass ____________________________________________________115533 
1144..33 –– CCaarrggaa ddee ffllaammbbaaggeemm ddee EEuulleerr ________________________________________________________________ 115555 
 
14.3.1 – Coluna bi-articulada __________________________ 155 
14.3.2 – Coluna engastada-livre ________________________ 158 
14.3.3 – Coluna engastada-apoiada _____________________ 160 
14.3.4 – Coluna bi-engastada __________________________ 161 
1144..66 –– LLiimmiittaaççããoo ddaass ffóórrmmuullaass ddee ffllaammbbaaggeemm eelláássttiiccaa ________________________________ 117744 
FFAALLHHAA PPOORR FFAADDIIGGAA ____________________________________________________________________________________________ 117766 
55..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO ________________________________________________________________________________________________ 117766 
55..22 –– NNUUCCLLEEAAÇÇÃÃOO DDEE TTRRIINNCCAASS ________________________________________________________________________ 117766 
55..33 –– PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS MMEECCÂÂNNIICCAASS DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS __________________________________ 117799 
5.3.1 – GENERALIDADES DO ENSAIO DE TRAÇÃO _____ 179 
5.3.2 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
CONVENCIONAL ______________________________________________ 181 
5.3.3 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO REAL ______ 183 
5.3.4 – MODELOS DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO _ 186 
55..33 –– EEFFEEIITTOO DDAA CCOONNCCEENNTTRRAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO __________________________________________ 118877 
5.3.1 – DEFINIÇÃO DO FATOR DE CONCENTRAÇÃO DE 
TENSÃO ______________________________________________________ 188 
RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA ÀÀ FFAADDIIGGAA DDEE MMAATTEERRIIAAIISS EE PPEEÇÇAASS __________________________________ 119911 
66..11 –– EENNSSAAIIOOSS DDEE FFAADDIIGGAA __________________________________________________________________________________ 119911 
66..22 –– EEssttiimmaattiivvaa ddaa ccuurrvvaa ddee rreessiissttêênncciiaa àà FFAADDIIGGAA ddoo mmaatteerriiaall σσAA -- NN 119955 
66..33 –– RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA ÀÀ FFAADDIIGGAA DDEE PPEEÇÇAASS ______________________________________________________ 119988 
1) Acabamento da Superfície ___________________________ 198 
2) Tamanho ____________________________________________ 199 
3) Confiabilidade _______________________________________ 199 
4) Temperatura ________________________________________ 199 
5) Carga _______________________________________________ 200 
6) Outros Efeitos _______________________________________ 200 
66..44 –– EEFFEEIITTOOSS DDAA CCOONNCCEENNTTRRAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO NNAA FFAALLHHAA PPOORR 
FFAADDIIGGAA ____________________________________________________________________________________________________________________________ 220022 
66..55 –– VVIIDDAA EEMM FFAADDIIGGAA DDEE CCOOMMPPOONNEENNTTEESS SSOOLLIICCIITTAADDOOSS 
AALLEEAATTOORRIIAAMMEENNTTEE ccoomm tteennssããoo mmééddiiaa nnuullaa ________________________________________________________ 220055 
66..66 –– EEffeeiittooss ddaass tteennssõõeess mmééddiiaass nnaa ffaallhhaa ppoorr ffaaddiiggaa ________________________________ 220077 
6.6.1 – Diagramas de ResistênciaσA - σM ________________ 208 
 
66..77 –– VVIIDDAA EEMM FFAADDIIGGAA DDEE CCOOMMPPOONNEENNTTEESS SSOOLLIICCIITTAADDOOSS 
AALLEEAATTOORRIIAAMMEENNTTEE CCOOMM TTEENNSSÃÃOO MMÉÉDDIIAA NNÃÃOO NNUULLAA ____________________________________ 221177 
 
 
TTAABBEELLAA DDEE CCOONNVVEERRSSÃÃOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS 
 
Para converter em multiplicar por 
bar Atmosfera (atm) 0,98692 
bar kg/cm2 1,0197 
bar metros de coluna d’água 10,197 
bar Pascal (N/m2) 105 
bar psi (pound/in2) 14,504 
inch metros 0,0254 
MegaWatt (MW) Nm/mim 60.106 
pound force Newton 4,4482 
psi (pound/in2) Pascal(N/m2) 6,8948.103 
rpm rad/s 0,10472 
 
TTAABBEELLAA CCOOMM PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDEE MMAATTEERRIIAAIISS 
 
Material Densidade 
ρρρρ (kg/m3) 
Módulo de 
elasticidade 
E (GPa) 
Módulo de 
cisalhamento 
G (GPa) 
Tensão de 
escoamento 
σσσσE (MPa) 
Tensão 
Limite de 
Resistência 
σσσσR (MPa) 
Coeficiente 
de Poisson νννν 
Aço estrutural 
A-36 
7850 200 75 250 400 0,30 
Aço Inoxidável 
304 
7860 193 75 207 517 0,27 
Alumínio 
2014-T6 
2790 73,1 27 414 469 0,35 
Alumínio 
6061-T6 
2791 68,9 26 255 290 0,35 
Ferro Fundido 
Cinza ASTM 
20 
7190 67,0 27 - 179 0,28 
Ferro Fundido 
Maleável 
ASTM A-197 
7280 172 68 - 276 0,28 
Liga de Titânio 
Ti-6A1-4V 
4430 120 44 924 1000 0,36 
Madeira Abeto 
Douglas 
470 13,1 - - 2,1 0,29 
 
Transformação de Tensão Pag. 8 
 
C A P Í T U L O 9 
TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO 
99..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
Considere o estado triaxial de tensões em um ponto obtido no 
sistema de eixos x, y e z, Figura 9.1. Estes eixos, por conveniência, são 
normalmente adotados sendo paralelos às cargas externas às quais estão 
submetidas as estruturas. No entanto, é necessário conhecer o estado de 
tensão deste ponto num sistema de eixos qualquer, de forma à se conhecer 
as máximas tensões atuantes, normal e cisalhante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 – Estado triaxial de tensões em um elemento infinitesimal 
Por conveniência e para a facilidade do entendimento, será 
inicialmente tratada a transformação de tensão para o estado plano de 
tensões, para finalmente ser tratado o estado triaxial de tensões. Dessa 
forma, considere o estado plano de tensões obtido em dois sistemas de eixos 
diferentes: 
 
σz 
τzx 
τz
τx
τy
τy
σx σx 
σy 
σz 
σy 
τxz 
 
 
z 
∆x 
∆z 
∆y 
τxy τyz 
 
Transformação de Tensão Pag. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 – Estado plano de tensões em dois sistema de eixos diferentes 
Os estados de tensão mostrados na Figura 9.2 representam o mesmo 
estado de solicitação em um ponto. O que é equivalente à dizer que, as 
forças Fx e Fy são as componentes de uma força resultante F nas direções x e 
y, enquanto que, as forças Fx’ e Fy’ são as componentes da mesma força 
resultante F nas direções x’ e y’. 
A relação entre as tensões medidas nos diferentes sistema de eixos é 
feita seccionando-se um elemento infinitesimal de forma que a face 
seccionada seja paralela aos eixos x’ ou y’, Figura 9.3. Sobre o elemento 
resultante é imposto o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.3 – Relação entre as tensões nos dois sistemas de eixos diferentes 
Por meio do exemplo numérico abaixo é possível identificar a relação 
entre as tensões obtidas em diferentes sistemas de eixos. 
= 
 y 
 x 
σx 
τxy 
σy 
σx’ 
τx’y’ 
σy’ 
 x’ 
 y’ 
σy’ 
τx’y’ τxy 
τyx 
σy 
σx dA 
σx’ τx’y’ 
τxy 
τyx 
σy 
σx 
 dA 
x’ 
 y’ 
x 
y 
 
Transformação de Tensão Pag. 10 
 
EXEMPLO 9.1 – Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 
mm de espessura sendo solicitada por uma força axial de 600 N. Determine 
as componentes das tensões atuantes sobre o plano definido pela seção a-a. 
 
 
 
 
 
 
 
No sistema de eixos x-y, a única tensão atuante no plano definido pela seção 
b-b é a tensão normal na direção x: 
x
600 N
0,4 MPa 400kPa
150 mm10 mm
σ = = =
 
 
 
 
 
 
 
 
Se considerarmos que a seção seccionada tem área de seção transversal ∆A, 
as seções paralelas aos eixos x e y são ∆A sen 30 e ∆A cos 30, 
respectivamente. Utilizando estas áreas, o diagrama de corpo livre do 
elemento infinitesimal seccionado é: 
 
 
 
 
 
onde ∆Fx = 400 kPa (∆A cos30) = 346,4 ∆A kN. 
 
∆A 
∆A cos 30 
∆A sen 30 
 30° 
∆Fx’ 
 30° 
∆Fx’ 
∆Fy’ 30° 
 y 
 x 
 400 kPa 
 a 
 a 
600 N 
600 N 
150 mm 
10 mm 
a 
a 
b 
b 30° 
x 
y y’ 
x’ 
30° 
 
Transformação de Tensão Pag. 11 
 
Impondo o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’, as componentes ∆Fx’ e ∆Fy’ 
são: 
∆Fx’ = 346,4 ∆A cos 30 = 300 ∆A 
∆Fy’ = 346,4 ∆A sen 30 = 173 ∆A 
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são: 
x '
x '
y '
x 'y '
∆F
300 kPa
∆A
∆F
173 kPa
∆A
σ = =
τ = =
 
 
 
Estas mesmas tensões podem ser obtidas de uma outra forma, considerando 
a barra seccionada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Impondo o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre acima, as forças 
atuantes na seção a-a são: 
Fx’ = 600 cos 30 = 519,6 N 
Fy’ = 600 sen 30 = 300 N 
 
A área da seção a-a vale: 
2
a a
150 mm10 mm
A 1732,05 mm
cos30
− = =
 
 
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são: 
x'
x ' 2
a a
y'
x 'y' 2
a a
F 519,6 N
300 kPa
A 1732 mm
F 300 N
173 kPa
A 1732 mm
−
−
σ = = =
τ = = =
 
600 N 
300 kPa 
173 kPa 
600 N 
Fx’ 
Fy’ 
 
Transformação de Tensão Pag. 12 
 
99..22 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS GGEERRAAIISS PPAARRAA TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO PPLLAANNAA 
Uma vez determinado as tensões normais σx e σy, e a tensão de 
cisalhamento τxy num ponto de um corpo solicitado no plano x-y, é possível 
determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano 
inclinado x’-y’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4 – Tensões e forças em diferentes eixos em um elemento seccionado 
Impondo o equilíbrio de forças na direção x’, tem-se: 
x '
F 0→ =∑ , 0cossendAsensendA
sencosdAcoscosdAdA
xyy
xyx'x
=θθτ−θθσ
−θθτ−θθσ−σ
 (9.1) 
Simplificando a eq. (9.1): 
θθτ+θσ+θσ=σ sencos2sencos xy
2
y
2
x'x (9.2) 
σx 
τxy 
σy 
 x 
 y 
τyx 
 x’ 
 y’ 
+ θ 
+ θ 
A 
B 
C 
θ 
σx’ τx’y’ 
τxy 
τyx 
σy 
σx 
 x’ 
 y’ 
θ 
 dA 
σx’ dA τx’y’ dA 
τyx dA senθ 
σx dA cosθ 
 x’ 
 y’ 
θ 
σy dA senθ 
τyx dA cosθ 
 
Transformação de Tensão Pag. 13 
 
Sabe-se que: 
θ+θ=
θ−θ=θ
θθ=θ
22
22
sencos1
sencos2cos
cossen22sen
 (9.3) 
Trabalhando com as eqs. (9.3), tem-se: 
2
2cos1
sen
2
2cos1
cos
2
2
θ−
=θ
θ+
=θ
 (9.4) 
Substituindo a eqs. (9.4) e a expressão de sen 2θ da eq. (9.3) na eq. 
(9.2), tem-se; 
θτ+
θ−
σ+
θ+
σ=σ 2sen
2
2cos1
2
2cos1
xyyx'x
 (9.5) 
Reagrupando a eq. (9.5): 
θτ+θ
σ−σ
+
σ+σ
=σ 2sen2cos
22
xy
yxyx
'x
 (9.6) 
Impondo o equilíbrio de forças na direção y’, tem-se: 
y '
F 0↑ =∑
, 0sensendAcossendA
coscosdAsencosdAdA
xyy
xyx'y'x
=θθτ+θθσ
−θθτ−θθσ+τ
(9.7) 
Simplificando a eq. (9.7): 
θτ+θ






 σ−σ
−=τ 2cos2sen
2
xy
yx
'y'x
 (9.8) 
As eqs (9.6) e (9.8) são as equações de transformação de tensão de um 
sistema de coordenadas a outro. 
99..33 –– CCÍÍRRCCUULLOO DDEE TTEENNSSÕÕEESS DDEE MMOOHHRR 
Sejam as equações de transformação de tensão (9.6) e (9.8) onde a eq. 
(9.6) é colocada da seguinte forma: 
 
Transformação de Tensão Pag. 14 
 
θτ+θ
σ−σ
=
σ+σ
−σ 2sen2cos
22
xy
yxyx
'x
 (9.9) 
Elevando ao quadrado as eqs. (9.8) e (9.9) e somando-as, tem-se: 
2
xy
2
yx2
'y'x
2
yx
'x
22
τ+






 σ−σ
=τ+






 σ+σ
−σ
 (9.10) 
A eq. (9.10) pode ser colocada de maneira mais compacta: 
( ) 22xy2m'x R=τ+σ−σ (9.11) 
A eq. (9.11) é a equação de um círculo de raio: 
2
xy
2
yx
2
R τ+






 σ−σ
=
 (9.12) 
e centro: 
0
2
m
yx
m
=τ
σ+σ
=σ
 (9.13) 
O círculo construído desta maneira é chamado círculo de tensões de 
Mohr, onde a ordenada de um ponto sobre o círculo é a tensão de 
cisalhamento τ e a abcissa é a tensão normal σ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Tensão Pag. 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.5 – Círculo de tensões de Mohr 
Conclusões importantes: 
� A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não 
existem tensões de cisalhamento. 
� A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do círculo e uma 
tensão normal de 
2
yx σ+σ
 atua em cada um dos planos de máxima e 
mínima tensão de cisalhamento. 
� Se σ1 = σ2, o círculo de Mohr se degenera em um ponto, e não se 
desenvolvem tensões de cisalhamento no plano xy. 
� Se σx + σy = 0, o centro do círculo de Mohr coincide com a origem das 
coordenadas σ - τ, e existe o estado de cisalhamento puro. 
� Se soma das tensões normais em quaisquer dos planos mutuamente 
perpendiculares é constante: σx + σy = σ1 + σ2 = σx´ + σy´ = constante. 
� Os planos de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45° com os 
planos das tensões principais. 
τmax 
τ 
A(σx, τxy) 
B(σy, -τxy) 
σ1 σ2 
σ 
θ = 0° 
|τmin|=τm
2 θ1’ 
σm= (σx +σy)/2 (σx - σy)/2 
 
Transformação de Tensão Pag. 16 
 
99..33 –– CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDOO CCÍÍRRCCUULLOO DDEE TTEENNSSÕÕEESS DDEE MMOOHHRR 
EXEMPLO 9.2: Com o estado de tensão no ponto apresentado abaixo, 
determine as tensões principais e suas orientações e a máxima tensão de 
cisalhamento e sua orientação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões no sistema de eixos x-y são: 
σx = - 20 MPa , σy = 90 MPa , τxy = 60 MPa 
 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro (σm, τm) do círculo de tensões de Mohr: 
0
MPa35
2
9020
2
m
yx
m
=τ
=
+−
=
σ+σ
=σ
 
 
b – Determinar o raio R do círculo de tensões de Mohr: 
MPa4,8160
2
9020
2
R 2
2
2
xy
2
yx
=+




 −−
=τ+






 σ−σ
=
 
 
c – Localizar o ponto A(-20,60) no círculo de tensões de Mohr: 
 
 
 
 
 x 
 y 
 60 MPa 
 90 MPa 
 20 MPa 
Ponto A 
 
Transformação de Tensão Pag. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Calcular as tensões principais (maior e menor tensões normais): 
σ1 = 35 + 81,4 = 116,4 MPa , σ2 = 35 - 81,4 = -46,4 MPa 
 
e – Determinar a orientação das tensões principais. 
°=





+
=θ 7,47
3520
60
2tgarc2 ''1 ⇒θ1’’ = 23,85° 
2 θ1’’ + 2 θ1’ = 180°⇒θ1’ = 66,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f – Tensão máxima de cisalhamento: 
τmax = R = 81,4 MPa 
 
g – Orientação da tensão máxima de cisalhamento: 
A(-20,60) 
B(90, -60) 
τmax = 81,4 
σ2 = 35-81,4 = -46,4 σ (Mpa) 
τ (Mpa) 
2 θ2’ 
σ1 = 35+81,4 = 116,4 
 35 20 
 60 
2 θ1’ 2 θ1’’ 
2 θ2’’ 
 x 
 y 
σ1 = 116,4 MPa 2 
 1 
θ1’ = 66,15° 
σ2 = 46,4 MPa 
 
Transformação de Tensão Pag. 18 
 
2 θ1’’ + 2 θ2’ = 90°⇒θ2’ = 21,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 9.3: Para o estado de tensão abaixo, achar a) as tensões normais 
e de cisalhamento para θ = 22,5°, b) as tensões principais e suas 
orientações, c) as tensões máxima e mínima de cisalhamento com as tensões 
associadas e suas orientações.As tensões no sistema de coordenadas x,y são: 
σx = 3 kgf/mm2 , σy = 1 kgf/mm2 , τxy = 2 kgf/mm2 
 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro (σm, τm) do círculo de tensões de Mohr: 
 x 
 y 
σm = 35 MPa 
 x’ 
y’ 
θ2 = 21,25° 
τmax = 81,4 MPa 
 x’ 
 22,5° 
 x 
 y 
2 kgf/mm2 
 1 
3 
Ponto A 
 
Transformação de Tensão Pag. 19 
 
0
mm/kgf2
2
13
2
m
2yx
m
=τ
=
+
=
σ+σ
=σ
 
b – Determinar o raio R do círculo de tensões de Mohr: 
22
2
2
xy
2
yx
mm/kgf24,22
2
13
2
R =+




 −
=τ+






 σ−σ
= 
 
c – Localizar o ponto A de coordenadas (3,2) no círculo de tensões de Mohr: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto A’, representando o estado de tensão na face cuja normal é paralela 
ao eixo x’, temos: 
4,63
23
2
tgarc'2 1 =





−
=θ 
σx’ = 2 + 2,24 cos(63,4 - 45) , σx’ = 4,13 kgf/mm2 
τx´y´ = 2,24 sen(63,4 - 45) , τx´y´ = 0,71 kgf/mm2 
 
e no ponto B’, representando o estado de tensão na face cuja normal é 
paralela ao eixo y’, temos: 
σy’ = 2 - 2,24 cos(63,4 - 45) ⇒σy’ = - 0,13 kgf/mm2 
 
A(3,2) 
B(1, -2) 
τmax = 2,24 
σ2 = 2-2,24 = -0,24 σ 
τ (kgf/mm2) 
2 θ2’ 
σ1 = 2+2,24 = 4,24 
 2 
 3 
 2 
A’ 
45° 
B’ 
2 θ1’ 
 
Transformação de Tensão Pag. 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Tensões principais: 
σ1 = 4,24 kgf/mm2 (tração) , σ2 = -0,24 kgf/mm2 (compressão) 
2
1
2
2tg 1 ==θ 
2 θ1´ = 63,4°⇒θ1´ = 31,7° 
2 θ1´´ = 2 θ1´ + 180°⇒θ1´´ = 121,7° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e – Máxima tensão de cisalhamento: 
τmax = R = 2,24 kgf/mm2 
2 θ2´ + 2 θ1´ = 90°⇒θ2´ = 13,3° 
2 θ2´´ = 2 θ2´ + 180°⇒θ2´´ = 76,7° 
 
 
 
 x 
 y 
 x’ 
 y’ 
θ = 22,5° 
0,71 kgf/mm2 
0,13 kgf/mm2 
4,13 
Ponto A’ 
 x 
 y 
 4,24 
 -0,24 kgf/mm2 
 1 
 2 
θ1’ = 31,7° 
θ1’’ = 121,7° 
 
Transformação de Tensão Pag. 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: θ1’ - θ2’ = 31.7 – (-13.3) = 45° e θ1’’ - θ2’’ = 121.7 – 76.7 = 45° 
99..44 –– IIMMPPOORRTTAANNTTEE TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO 
Seja um elemento sujeito à um estado de tensão de cisalhamento 
puro (caso de um eixo em torção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.6 – Estado de tensões de um elemento infinitesimal num eixo em torção pura 
Para este caso, tem-se que σx = 0 e σy = 0. Logo o centro do círculo de 
Mohr está na origem do sistema de coordenadas σ-τ, e o raio do círculo é R = 
τxy. 
 
 x 
 y 
 2,24 kgf/mm2 
 2 kgf/mm2 
 x´ 
 y´ 
θ2´ = 13,3° 
θ2´´ = 76,7° 
T 
 x 
 y 
τxy 
τxy 
 
Transformação de Tensão Pag. 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.7 – Círculo de tensões de Mohr em um ponto de um eixo em torção pura 
As tensões principais são neste caso: 
xy2
xy1
τ−=σ
τ+=σ
 (9.14) 
As orientações das tensões principais são: 
∞=θ12tg
⇒ 


°−=°=θ
°=θ
)compressão(45135´´
)tração(45´
1
1
(9.15) 
Assim, a representação gráfica das tensões principais e suas 
orientações é da seguinte forma, Figura 9.8: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.8 – Representação gráfica das tensões principais em um ponto de um eixo em torção 
pura 
τmax = τxy 
σ 
τ 
σ1 = τxy 
2 θ1’ 2 θ1
’’ 
σ2 = -τxy 
 x 
 y 
σ1=|τxy| 
 1 2 
θ1’ = 45° 
θ2’ = 135° 
σ2=|τxy| 
 
Transformação de Tensão Pag. 23 
 
99..66 –– TTEENNSSÕÕEESS PPRRIINNCCIIPPAAIISS PPAARRAA OO EESSTTAADDOO GGEERRAALL DDEE TTEENNSSÕÕEESS 
Considere um elemento infinitesimal sob um estado de tensão 
tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico sobre o qual atua 
uma tensão principal σn no plano obliquo ABC, paralela ao vetor normal 
unitário, Figura 9.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.9 – Tensão principal σn num plano oblíquo de um elemento infinitesimal tetraédrico 
O vetor normal unitário é identificado pelos seus cosenos diretores l, 
m e n, onde cos α = l, cos β = m, cos γ = n. Da Figura 9.10, nota-se que: 
2 2 2l m n 1+ + =
(9.16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.10 – Vetor normal e seus cossenos diretores 
σz 
τzx 
τzy 
τxy 
τyx 
τyz 
σx σx 
σy 
σz 
σy 
τxz 
 x 
 y 
z 
τxy 
τyz 
 y 
 x 
z 
σx 
τxz 
τxy 
σn 
 
σy 
σz 
τyx 
τyz 
τzx 
τzy 
 A 
 B 
 C 
 y 
 x 
 z 
 Vetor normal 
 
 n 
 l 
α 
γ 
β 
 
Transformação de Tensão Pag. 24 
 
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, 
y e z são dA.l, dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e 
z, temos: 
0mdAldAndAn)dA(F
0ldAndAmdAm)dA(F
0ndAmdAldAl)dA(F
yzxzznz
xyyzyny
xzxyxnx
=τ−τ−σ−σ=
=τ−τ−σ−σ=
=τ−τ−σ−σ=
∑
∑
∑
 (9.17) 
Simplificando e reagrupando a eq. (9.17) em forma matricial, temos: 










=




















σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
0
0
0
n
m
l
nzyzxz
yznyxy
xzxynx
 (9.18) 
Como visto anteriormente, l2 + m2 + n2 = 1, os cosenos diretores são 
diferentes de zero. Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o 
determinante da matriz de coeficientes de l, m e n for nulo. 
0
nzyzxz
yznyxy
xzxynx
=
σ−σττ
τσ−στ
ττσ−σ
 (9.19) 
A expansão do determinante fornece um poninômio característico do 
tipo: 
0IIIIII n
2
n
3
n =−σ+σ−σ σσσ
 (9.20) 
onde: 
)(2III
)()(II
I
2
xyz
2
xzy
2
yzxxzyzxyzyx
2
xz
2
yz
2
xyxzzyyx
zyx
τσ+τσ+τσ−τττ+σσσ=
τ+τ+τ−σσ+σσ+σσ=
σ+σ+σ=
σ
σ
σ
 (9.21) 
As eqs (9.20) e (9.21) são invariantes, independentemente do plano 
oblíquo que é tomado no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio 
característico já são as tensões principais. 
 
Transformação de Tensão Pag. 25 
 
99..77 –– CCÍÍRRCCUULLOO DDEE MMOOHHRR PPAARRAA OO EESSTTAADDOO GGEERRAALL DDEE TTEENNSSÕÕEESS 
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em 
três tensões principais que atuam em três direções ortogonais, Figura 9.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.11 – Tensões principais num elemento solicitado triaxialmente 
Admitindo que σ1>σ2>σ3> 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.12 – Círculo de tensões de Mohr para num elemento solicitado triaxialmente 
⇒σx 
σz 
σy 
σxy 
σzx σzx 
σxy 
σzy 
σzy 
 x 
 z 
 y 
 3
 1
 2
σ1 
σ2 
σ3 
τmax 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
σ3 
σ1 
σ2 
σ3 
σ1 
σ2 
σ3 
σ1 
σ2 
 
Transformação de Tensão Pag. 26 
 
99..88 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE EESSCCOOAAMMEENNTTOO EE DDEE FFRRAATTUURRAA 
9.7.1 – Observações preliminares 
A resposta de um material à tensão axial ou tensão de cisalhamento 
puro, pode ser convenientemente mostrada em diagramas de tensão-
deformação. Tal aproximação direta não é possível, entretanto, para um 
estado complexo de tensões que é característico de muitos elementos de 
máquina e de estruturas. Desta forma, é importante estabelecer critérios 
para o comportamento dos materiais com estados de tensão combinados. 
Nesta parte do estudoserão discutidos dois critérios para análise do 
comportamento das tensões combinadas em materiais dúcteis, e em seguida 
será apresentado um critério de fratura para materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.13 – Diagramas tensão/deformação para materiais dúcteis e frágeis 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) (mat. dúcteis) 
A teoria da máxima tensão de cisalhamento resulta da observação de 
que, num material dúctil, ocorre deslizamento durante o escoamento ao 
longo dos planos criticamente orientados. Isso sugere que a tensão de 
cisalhamento máxima executa o papel principal no escoamento do material. 
Para um teste simples de tração onde σ1 = σesc, σ2 = σ3 = 0, tem-se: 
 
 
 
 
 
σ 
ε 
material frágil 
σrup 
σ 
ε 
material dúctil 
σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.14 – Círculos Tensões de Mohr para um ensaio de tração simples 
Observa-se que dois círculos são concêntricos, (σ1, σ2) e (σ1, σ3) e o 
terceiro resulta num ponto (σ2, σ3). 
Do círculo de tensões de Mohr neste caso, a tensão de cisalhamento 
máxima é: 
2
esc
críticomax
σ
=τ≡τ
 (9.22) 
Para aplicar o critério da máxima tensão de cisalhamento para um 
estado de tensão biaxial devem ser considerados dois casos: 
 
Caso 1: Os sinais de σ1 e σ2 são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.15 – Círculos tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - σ1 e σ2 têm sinais 
iguais 
Onde, para: 
τmax = (σ1)/2 
σ2 = σ3 σ 
τ 
σ1 
σ1 
σ2 
τmax = (σ1)/2 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
 
Transformação de Tensão Pag. 28 
 
esc212
esc121
σ≤σ⇒σ>σ
σ≤σ⇒σ>σ
 (9.23) 
Caso 2: Os sinais de σ1 e σ2 são diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.16 – Círculos Tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - σ1 e σ2 têm sinais 
diferentes 
Para este caso, a tensão de cisalhamento máxima no ponto analisado 
não deve exceder a máxima tensão de cisalhamento do material (ver Figura 
9.17). 
22
esc21 σ≤
σ−σ
±
 (9.24) 
Na iminência de ocorrer o escoamento, tem-se: 
1
esc
2
esc
1 ±=
σ
σ
−
σ
σ
 (9.25) 
A eq. (9.25) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Figura 
9.17: 
 
 
 
 
 
 
σ1 
σ2 
τmax = (σ1- σ2)/2 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
τmax = -(σ1- σ2)/2 
 
Transformação de Tensão Pag. 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.17 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar - Tresca 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) (mat. dúcteis) 
A expressão de energia de deformação elástica total por unidade de 
volume (densidade de energia de deformação elástica) em um material 
isotrópico para um estado triaxial de tensões considerada num sistema de 
coordenadas arbitrário x, y e z é da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2total x y z x y y z z x xz yz xz1 1U
2 E E 2 G
ν
= σ + σ + σ − σ σ + σ σ + σ σ + τ + τ + τ
 (9.26) 
Esta energia de deformação elástica total, considerada nos eixos 
principais é da forma: 
( ) ( )133221232221total
EE2
1
U σσ+σσ+σσ
ν
−σ+σ+σ=
 (9.27) 
A energia de deformação elástica total acima, é dividida em duas 
partes: uma causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e 
outra causando distorsões de cisalhamento. É interessante lembrar que em 
um material dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas 
da máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
σ1/σesc 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.18 – Energias de dilatação e de distorção num elemento 
A fim de facilitar a compreensão, somente oestado de tensão uniaxial 
será considerado. A passagem para um estado de tensão triaxial é 
automática. Desta forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de 
dilatação e de distorção são representadas da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.19 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente 
Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com 
somente energia de distorção são, Figura 9.20. 
 
 
 
 
 
 
σ1 
Energia de deformação 
elástica total 
 = 
Energia de 
 distorção 
σ1 
Energia de 
 dilatação 
σ1/3 
σ1/3 
σ1/3 
 + 
σ1/3 
σ1/3 
 + 
σ1/3 
σ1/3 
σ1 
σ3 
σ2 
Energia de 
deformação elástica 
total
 = 
Energia de 
 dilatação 
 + 
 Energia de 
 distorção 
σ−σ2
σ−σ1
σ−σ3σ
σ
σ
 
Transformação de Tensão Pag. 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.20 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro 
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são 
definidos como sendo a tensão “hidrostática” média: 
3
321 σ+σ+σ=σ
 (9.28) 
onde: 
1 2 3
pσ = σ = σ = = σ
(9.29) 
A energia de dilatação é obtida substituindo a eq.(9.29) na eq. (9.27), 
e em seguida substituindo a eq. (9.28) na equação resultante. Assim: 
( )2dilatação 1 2 3
1 2
U
6 E
− ν
= σ + σ + σ
 (9.30) 
A energia de distorção é obtida sustraindo da energia de deformação 
elástica total, eq. (9.27) a energia de dilatação, eq.(9.30): 
( ) ( ) ( )[ ]213232221distorção
G12
1
U σ−σ+σ−σ+σ−σ=
 (9.31) 
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste 
caso σ1 = σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma: 
τmax = σ1/3 
σ 
τ 
σ1/3 -σ1/3 0 
τmax = σ1/3 
σ 
τ 
σ1/3 -σ1/3 0 
 
Transformação de Tensão Pag. 32 
 
2
esc
distorção
2 σ
U
12 G
=
 (9.32) 
Igualando a energia de distorção do ponto em análise, eq. (9.31), com a 
energia de distorção num ensaio à tração simples, (9.32), estabelece-se o 
critério de escoamento para tensão combinada, eq. (9.33). 
( ) ( ) ( ) 2esc213232221 2 σ=σ−σ+σ−σ+σ−σ
 (9.33) 
Freqüentemente a eq. (9.33) pode ser rearranjada, sendo a expressão 
resultante chamada de tensão equivalente. 
( ) ( ) ( )2 2 2equ 1 2 2 3 3 1
1
σ σ σ σ σ σ σ
2
 = − + − + −
 
 (9.34) 
A eq. (9.33) pode também ser apresentada da forma: 
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
esc esc esc esc esc esc esc esc esc
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
1
σ σ σ σ σ σ σ σ σ
           
+ + − − − =           
            (9.35) 
A eq. (9.36) é conhecida como sendo o critério de von Mises para um 
estado triaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano 
de tensão, σ3 = 0, tem-se: 
1
2
esc
2
esc
2
esc
1
2
esc
1 =





σ
σ
+





σ
σ
σ
σ
−





σ
σ
 (9.36) 
A eq. (9.36) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Figura 
9.21: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Transformação de Tensão Pag. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.21 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar – von Mises 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) 
A teoria da máxima tensão normal estabelece que a falha ou fratura 
de um material ocorre quando a máxima tensão normal em um ponto atinge 
um valor crítico, independentemente das outras tensões. Dessaforma, 
apenas a maior tensão principal deve ser considerada para aplicar esse 
critério. 
rup321 ouou σ≤σσσ (9.37) 
A eq. (9.36) também pode ser colocada de maneira gráfica da forma, 
Figura 9.22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.22 – Representação gráfica de um ponto na iminência de romper 
σ1/σrup 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σrup 
σ1/σesc 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 34 
 
EXEMPLO 9.6: As tensões calculadas sobre o ski são como mostrada na 
figura abaixo. Utilizando critérios de ruptura adequados, verifique se os 
pontos mostrados sobre a seção transversal do ski suportam o carregamento 
abaixo. Tome σesc aço = 250 MPa, σrup mad = 26 MPa e τrup mad = 6,2 MPa com 
um fator de segurança de 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado de tensão nos pontos da seção transversal: 
Ponto A (aço): 
σA = 24,05 Mpa , τA = 0 
Ponto B (aço): 
σB = 18,99 Mpa , τB = 0,11 MPa 
Ponto C (madeira): 
σC = 1,14 Mpa , τC = 0,11 Mpa 
Ponto D (madeira): 
σD = 0 , τD = 0,12 MPa 
 
Ponto A (aço – material dútil): 
σx = σA = 24,05 Mpa , σy = 0 , τxy = 0 
 madeira 
 aço 
 aço 
A 
B 
C D 
y 
z 
 P 
1 m 0,5 m 0,5 m 
1 m 
w w 
A B D 
E C 
 
Transformação de Tensão Pag. 35 
 
σ1 = σx = 24,05 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
σ1 = 24,05 Mpa <σesc = 250/2 Mpa (ok) 
Ponto B (aço – material dútil): 
σx = σB = 18,99 Mpa , σy = 0 , τxy = τB = 0,11 MPa 
σ1 = 18,99 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
σ1 = 18,99 Mpa <σesc = 250/2 Mpa (ok) 
 
Ponto C (madeira – material frágil): 
σx = σC = 1,14 Mpa , σy = 0 , τxy = τC = 0,11 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
σ1 = 1,15 Mpa <σrup = 26/2 Mpa (ok) 
τmax = 0,11 Mpa <τrup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 
Ponto D (madeira – material frágil): 
σx = σD = 0 , σy = 0 , τxy = τD = 0,12 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
τmax = 0,12 Mpa <τrup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 
 
 
Vasos de Pressão Pag. 36 
 
C A P Í T U L O 10 
VVAASSOOSS DDEE PPRREESSSSÃÃOO 
Vasos cilíndricos e esféricos são comumente utilizados na indústria 
para servir como caldeiras, tanques, etc. Quando os vasos são submetidos à 
uma pressão interna, o material com o qual são feitos estes vasos, é 
submetido à esforços em todas as direções. Normalmente a relação 
raio/espessura do vaso é r/t ≥ 10, podendo assim ser considerado de parede 
fina. Neste caso a distribuição de tensão normal à parede do vaso pode ser 
desprezível. 
1100..11 –– VVAASSOOSS CCIILLÍÍNNDDRRIICCOOSS 
Considere um vaso de pressão cilíndrico de espessura t e raio interno 
r submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido 
considerado de peso desprezível, Figura 10.1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.1 – Vaso de pressão cilíndrico 
Onde: 
σ1 = tensão circunferencial (hoop) 
σ2 = tensão longitudinal (axial) 
σ1 
σ2 
t 
x 
y 
z 
 
Vasos de Pressão Pag. 37 
 
A magnitude da tensão circunferencial σ1, é determinada a partir de 
um elemento infinitesimal de comprimento dy, longe o suficiente das 
extremidades do vaso, Figura10.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.2 – Elemento infinitesimal de vaso cilíndrico 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção x, 
temos: 
x
F 0→ =∑ , ( ) ( )σ − =12 t.dy p 2r.dy 0 (10.1) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
cilíndrico é da forma: 
t
rp
1 =σ
(10.2) 
A magnitude da tensão longitudinal σ2, é determinada a partir de um 
corte do vaso cilíndrico na direção circunferencial, Figura 10.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.3 – Corte circunferencial de um vaso cilíndrico 
σ1 
σ1 
dy 
2r 
p 
t 
t 
σ2 
p 
t 
r 
 
Vasos de Pressão Pag. 38 
 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, 
temos: 
y
F 0→ =∑ ( ) ( )σ π − π =22 2 .r.t p r 0 (10.3) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
cilíndrico é da forma: 
t2
rp
2 =σ
 (10.4) 
Observe que se a tensão normal à parede do vaso no seu lado interno 
é σ3 = -p e a tensão normal à parede do vaso no seu lado externo é σ3 = 0. 
Logo, se a relação raio/espessura do vaso é r/t ≥ 10, a tensão circunferencial 
é σ1≥ 10.σ3 e σ2≥ 5.σ3. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr para um vaso de 
pressão cilíndrico em um ponto situado no lado externo da parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
1100..22 –– VVAASSOOSS EESSFFÉÉRRIICCOOSS 
Considere um vaso de pressão esférico de espessura t e raio interno r 
submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido 
considerado de peso desprezível, Figura 10.5. 
 
 
τmax = σ1/2 
σ 
τ 
σ1 σ3 σ2 
 
Vasos de Pressão Pag. 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.5 – Vaso de pressão esférico 
Devido a simetria σ1 = σ2. A magnitude da tensão circunferencial σ2 é 
determinada a partir de um corte do vaso na direção circunferencial, Figura 
10.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.6 – Corte circunferencial de um vaso esférico 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, 
temos: 
y
F 0→ =∑
, 
( ) ( )σ π − π =22 2 .r.t p r 0 (10.5) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
esférico é da forma: 
t2
rp
2 =σ
 (10.6) 
σ1 
σ2 
t x 
y 
z 
r 
p 
t r 
σ2 
 
Vasos de Pressão Pag. 40 
 
Com estas considerações, a tensão radial σ3 é considerada desprezível 
em relação a σ1 e σ2, pois σ3 = -p no lado interno da parede do vaso, e σ3 = 0 
no lado externo da parede do vaso. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr 
para um vaso de pressão esférico em um ponto situado no lado externo da 
parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
EXEMPLO 10.1: Um vaso de pressão cilíndrico tem raio r = 1000 mm e 
espessura t = 10 mm. Calcule as tensões circunferencial e longitudinal e a 
variação de diâmetro do cilindro causados por uma pressão interna de 0,80 
MPa. Considere E = 200 Gpa e ν = 0,25. 
a – Cálculo das tensões 
MPa80
10
100080,0
t
rp
1 ===σ
 
MPa40
10.2
1000.80,0
t2
rp
2 ===σ
 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( )[ ]3211
E
1
σ+σν−σ=ε
 
Considerando a tensão radial σ3 = 0. 
[ ] mm/mm .10 0,35 40.25,080
10.200
1 3-
31
=−=ε
 
r
r
r2
r2)rr(2
L
L
o
1
∆
=
π
π−∆+π
=
∆
=ε
⇒
1000
r
10.35,0
3 ∆=− 
τmax = σ1/2 
σ 
τ 
σ1=σ2 
σ3 
 
Vasos de Pressão Pag. 41 
 
∆r = 0,35 mm 
EXEMPLO 10.2: Um vaso de pressão cilíndrico de 3 m de diâmetro externo, 
usado no processamento de borracha, tem 10 m de comprimento. Se a parte 
cilíndrica do vaso é feita de chapa de aço de 25 mm de espessura e o vaso 
opera a pressão interna é de 0,1 kgf/mm2, determinar o alongamento total 
da circunferência e o aumento de diâmetro provocados pela pressão de 
operação. E = 20 000 kgf/mm2 e ν = 0,3. 
a – Cálculo das tensões 
2
3
1 kgf/mm 6 
25
10.5,1.1,0
t
rp
===σ
 
21
2 kgf/mm 3 
2
=
σ
=σ
 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( )
1
1
211
L
L
E1 ∆
=νσ−σ=ε
⇒ ( )
3
1
10.3
L
3.3,06
00020
1
π
∆
=− 
∆L1 = 2,4 mm 
( )
d
d
d
ddd
L
L
1
1
1
∆
=
π
π−∆+π
=
∆
=ε
⇒
( )
310.3
d
3.3,06
00020
1 ∆
=−
 
∆d = 0,765 mm 
EXEMPLO 10.3: Um vaso de pressão de aço, cilíndrico fechado, de 2,5 m de 
diâmetro médio, com espessura de parede de 12,5 mm, tem costura soldada 
topo a topo ao longo de um ângulo de hélice α = 30°. Durante a 
pressurização, a medida de deformação através da solda, isto é, em uma 
linha medida de α + 90°, é de 430x10-6 mm/mm. (a) Qual a pressão no 
vaso? (b) Qual era a tensão de cisalhamento ao longo da costura? Considerar 
E = 20 000 kgf/mm2, G = 8 000 kgf/mm2. 
 
 
Vasos de Pressão Pag. 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
a – Cálculo do coeficiente de poisson 
( )ν+
=
12
E
G ⇒ν = 0,25 
b – Cálculo da deformação transversal 
( )LTT
E
1
νσ−σ=ε ⇒
( )LT6 25,0
00020
1
10.430 σ−σ=−
 
LT 25,06,8 σ−σ= (10.7) 
c – Cálculo das tensões 
p100
5,12
10.25,1p
t
rp 3
1 ===σ
 
p50
t2
rp
2 ==σ
 
d – Círculo de tensões de Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
e – Tensão de cisalhamento máxima 
( )
p25
2
p50p100
2
21
max =
−
=
σ−σ
=τ
 
f – Tensão normal média 
σ1 
σ2 
30° 
30° 
σ2 
σ1 
longitudinal 
transversal 
τmax = (σ1-σ2)/2 
σ 
τ 
σ1 σ2 σL 
60° 
σT 
σm 
 
Vasos de Pressão Pag. 43 
 
( )
p75
2
p50p100
2
21
m =
+
=
σ+σ
=σ
 
g – Tensões transversal e longitudinal 
p5,8760cos.p25p75T =+=σ
� (10.8) 
p5,6260cos.p25p75L =−=σ
� (10.9) 
 
Substituindo as eqs. (10.8) e (10.9) na eq. (10.7), determina-se a pressão 
interna p: 
8,6 = 87,5 p – 0,25.62,6 p ⇒ p = 0,12 kgf/mm2 
e consequentemente a tensão de cisalhamento atuante na solda: 
τ = τmax sen 60° = 25 . 0,12 . sen 60°⇒τ = 2,59 kgf/mm2 
EXEMPLO 10.4: Um vaso de pressão cilíndrico contendo ar pressurizado 
tem espessura de parede t = 12 mm e raio interno r = 250 mm. As tensões 
atuantes na parede do vaso de pressão em um elemento infinitesimal 
inclinado tem os valores apresentados na figura abaixo. Determine a pressão 
interna p que é aplicada no vaso de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
 r 
 124 MPa 82 MPa 
 28 MPa 
θ 
 
Vasos de Pressão Pag. 44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão normal média pode ser calculada da forma: 
σ + σσ + σ
σ = = x y1 2M
2 2 
+
σ = =M
124 82
103MPa
2 
A máxima tensão de cisalhamento que é igual ao Raio do círculo de Tensões 
no plano 1-2 é: 
σ − σ 
τ = = + τ 
 
2
x y 2
max xy
R
2
 
− 
= + = 
 
2
2124 82R 28 35
2 
As tensões principais 1 e 2 são então calculadas da forma: 
σ = σ + =1 M
p.r
R
t e 
σ = σ − =2 M
p.r
R
2t 
σ = + =1
p.250
103 35
12 
p = 6,62 MPa 
 
 
σ1 σ2 
σ (MPa) 
τ (MPa) 
124 
2θ 
σM 
τmax 
28 
82 
28 
 
Deflexão em vigas Pag. 45 
 
C A P Í T U L O 11 
DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS 
1111..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga em 
relação a sua posição inicial. Devido a isto, deve-se frequentemente limitar 
os valores de deflexão de maneira a impedir desalinhamentos em elementos 
de máquinas, e deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil. 
Neste contexto, serão discutidos métodos de determinação de deflexão e 
inclinações em pontos específicos da viga. 
1111..22 –– RREELLAAÇÇÃÃOO EENNTTRREE DDEEFFOORRMMAAÇÇÃÃOO--CCUURRVVAATTUURRAA EE MMOOMMEENNTTOO--
CCUURRVVAATTUURRAA 
No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar 
a hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma 
viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser 
submetida à flexão, Figuras 11.1 e 11.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1 – Viga em flexão pura 
centróide 
A D 
B C 
x ∆x 
M M 
A D’ 
B C’ 
ρ 
O 
y 
z 
ρ = raio de curvatura 
∆θ 
∆s 
 
Deflexão em vigas Pag. 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.2 – Rotação da seção 
A variação de comprimento ∆u das fibras pode ser expressa por: 
θ∆−=∆ yu
(11.1) 
Dividindo a eq. (11.1) por ∆s, comprimento das fibras sobre a 
superfície neutra, e levando ao limite, tem-se: 
∆s 0 ∆s 0
∆u ∆
lim y lim
∆s ∆s
ou
du d
y
ds ds
→ →
θ
= −
θ
= −
(11.2) 
onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do 
eixo neutro. Assim: 
ds
du
=ε
(11.3) 
Da Figura 11.2, tem-se a relação: 
∆s ∆
ou
∆ 1
∆s
= ρ θ
θ
=
ρ
(11.4) 
Analisando a eq. (11.4) no limite quando ∆s→0: 
A D’ D 
a 
b 
∆u 
superfície 
neutra 
ρ 
B C 
C’ 
c 
f 
∆x 
-y 
∆θ 
∆s 
 
Deflexão em vigas Pag. 47 
 
∆s 0
∆ d 1
lim
∆s ds→
θ θ
= =
ρ (11.5) 
Substituindo as eqs. (11.3) e (11.5) na eq. (11.2), tem-se: 
y
1 ε
−=κ=
ρ
(11.6) 
onde κ é definido como sendo a curvatura. 
A eq. (11.6) pode ser usada tanto em problemas elásticos como em 
problemas inelásticos, já que na sua dedução não foram utilizadas as 
propriedades do material. Para o caso elástico, sabe-se que: 
x
x
E
σ
ε =
(11.7) 
x
M y
I
σ = −
(11.8) 
Substituindo as eqs. (11.7) e (11.8) na eq. (11.6), temos: 
IE
M1
=
ρ
(11.9) 
1111..33 –– EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPAARRAA DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS 
EELLÁÁSSTTIICCAASS 
A curva elástica da viga pode ser expressa matematicamente por v = 
f(x). Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/ρ) em 
termos da deflexão v e x que é da forma: 
( )
2/3
2
2
2
dx
dv1
dx
vd
1



 +
=
ρ ⇒ ( ) IE
M
dx
dv1
dx
vd
1
2/3
2
2
2
=



 +
=
ρ (11.10) 
A eq. (11.10) é chamada de elástica, cuja solução dá a solução exata 
da curva elástica. Como para a maioria das vigas usadas em engenharia a 
curva elástica a deflexão é pequena, a inclinação dv/dx também é pequena, 
 
Deflexão em vigas Pag. 48 
 
podendo ser considerada desprezível comparada com a unidade. Com esta 
simplificação, a equação da curva elástica pode ser expressa por: 
2
2
2
2
d v M
E Idx
ou
d v
E I M
dx
=
=
 (11.11) 
Substituindo a eq. (11.11) na eq. (11.8), uma nova expressão para se 
determinar a tensão pode ser determinada: 
2
x 2
d v
E y
dx
σ = −
 (11.12) 
Considerando que )x(V
dx
dM
−= e )x(w
dx
dV
−= , temos: 
)x(w
dx
vd
IE
dx
d
)x(V
dx
vd
IE
dx
d
2
2
2
2
2
2
=







−=







 (11.13) 
Para o caso da rigidez em flexão EI ser constante: 
)x(w
dx
vd
IE
)x(V
dx
vd
IE
4
4
3
3
=
−=
 (11.14) 
1111..44 –– CCOONNDDIIÇÇÕÕEESS DDEE CCOONNTTOORRNNOO 
Para a solução dos problemas de deflexão de vigas, além das 
equações diferenciais, devem ser prescritas as condições de contorno. Alguns 
tipos de condições de contorno são as seguintes: 
 
 
 
 
Deflexão em vigas Pag. 49 
 
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Rolete (extremidade da viga) 
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Pino (extremidade da viga)v = 0 
 
 
Rolete (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 
 
Pino (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 dv/dx=0 
 
Suporte fixo ou engastado 
 
 V = 0 
 M = 0 
 
Extremidade livre 
 
 M = 0 
 
 
Articulação 
onde v = deflexão, M = momento fletor e V = cortante. 
1111..55 –– MMÉÉTTOODDOO DDAA IINNTTEEGGRRAAÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA 
Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se 
considerar uma viga com carga distribuida. A deflexão neste caso é obtida 
após quatro integrações sucessivas. 
 
Deflexão em vigas Pag. 50 
 
4
4
x3
13
0
x x2
1 22
0 0
x x x 2
1 2 3
0 0 0
x x x x 3 2
1 2 3 4
o 0 0 0
d v
E I w(x)
dx
d v
E I w(x) dx C
dx
d v
E I dx w(x) dx C x C
dx
dv x
E I dx dx w(x) dx C C x C
dx 2
x x
E I v dx dx dx w(x) dx C C C x C
6 2
=
= +
= + +
= + + +
= + + + +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
(11.15) 
As constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas impondo as condições 
de contorno. Para o caso de w(x), V(x) e M(x) discontínuos, a solução pode 
ser achada para cada segmento da viga onde as funções são contínuas, 
impondo a continuidade de deflexão nos contornos comuns de cada 
segmento da viga. 
EXEMPLO 11.1: Achar a equação da curva elástica para uma viga 
simplesmente apoiada de comprimento L e de constante EI, com um 
carregamento uniforme wo. (a) determinar a deflexão a partir da equação de 
segunda ordem. (b) determinar a deflexão a partir da equação de quarta 
ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (a): 
1 – Determinar as reações de apoio e a função de momento M(x). 
 
 
w = - wo 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0 
v(0)=0 
M(0)=0 
x 
 y,v 
 
Deflexão em vigas Pag. 51 
 
 
 
 
 
 
A
M 0↵ =∑ , 
( )B o
L
R L w L 0
2
− =
 , 
o
B
w L
R
2
=
 
y
F 0↑ =∑ , 
( ) oA o
w L
R w L 0
2
− + =
 , 
o
A
w L
R
2
=
 
 
 
 
 
 
M 0↵ =∑ , 
( )A o
x
R x w x M 0
2
− + + =
 , 
2
o ow L x w xM
2 2
= −
 
2 – Partindo da equação da curva elástica, e integrando duas vezes e 
aplicando as condições de contorno: 
22
o o
2
2 3
o o
3
3 4
o o
3 4
w L x w xd v
E I M
2 2dx
w L x w xdv
E I C
dx 4 6
w L x w x
E I v(x) C x C
12 24
= = −
= − +
= − + +
 
 
Para x = 0, v(0) = 0 , C4 = 0 
Para x = L, v(L) = 0, 
3 4
o o
3
w L L w L
E I v(L) C L 0
12 24
= − + = , 
3
o
3
w L
C
24
= − 
( )3 3 4owv(x) L x 2Lx x
24 E I
= − − +
 
 
 
 
wo L 
 L RA RB 
wo x 
 x RA 
V 
M 
 
Deflexão em vigas Pag. 52 
 
 
 
 
 
 
Devido a simetria, a maior deflexão ocorre em x = L/2. Para casos mais 
gerais, 
dv
0
dx
= . Assim, vmax é: 
4
o
max
5 w L
v
384 E I
= −
 
A inclinação da curva elástica, 
dv
dx
θ = , é da forma: 
2 3 3
o o ow L x w x w Ldv 1(x)
dx E I 4 6 24
 
θ = = − − 
  
Para x = 0, 
3
ow L(0)
24E I
θ = − 
Para x = L, 
3
ow L(L)
24E I
θ = 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (b): 
4
o4
d v
E I w(x) w
dx
= = −
 
3
o 13
d v
E I w x C
dx
= − +
 
2 2
o 1 22
d v x
E I w C x C M
2dx
= − + + =
 
Para x = 0, M(0) = 0, C2 = 0 
vmax 0 x 
 v 
 L/2 
-woL3/24EI 
 0 x 
θ 
 
woL3/24EI 
 
Deflexão em vigas Pag. 53 
 
Para x = L, M(L) = 0, 
2
o 1
L
M(L) w C L 0
2
= − + = , 1 o
L
C w
2
= 
22
o o
2
w L x w xd v
E I M
2 2dx
= = −
 
 
O restante do problema é o mesmo que no caso (a). Neste caso nenhum 
cálculo preliminar das reações e da equação de momento é necessário. Este 
método pode ser vantajoso para alguns problemas estaticamente 
indeterminados. 
EXEMPLO 11.2: Achar a equação da curva elástica para uma viga 
simplesmente apoiada suporta uma força concentrada P, a uma distância a 
da extremidade A como mostra a figura abaixo. A rigidez em flexão E I é 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Para o segmento AD (0 < x < a): 
 
 
 
 
2
2
d v P b
E I M x
Ldx
= =
 
 x Pb/L 
V 
M 
P 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0 
v(0)=0 
M(0)=0 
 x 
 y,v 
B 
 b a 
RB = Pa/L 
RA = Pb/L 
 
Deflexão em vigas Pag. 54 
 
2
2
2
1
3
1 2
d v P b
x
E I Ldx
dv P b x
A
dx E I L 2
P b x
v A x A
E I L 6
=
= +
= + +
 
Condições de contorno: 
Para x = 0, v(0) = 0, A2 = 0, 
3
1
P b x
v A x
E I L 6
= + 
 
Para o segmento DB (a < x < L): 
 
 
 
 
2
2
d v P a
E I M (L x)
Ldx
= = −
 
2
2
2
1
2 3
1 2
d v P a P a
x
E I E I Ldx
dv P a P a x
x B
dx E I E I L 2
P a x P a x
v B x B
E I 2 E I L 6
= −
= − +
= − + +
 
Condições de contorno: 
Para x = L, v(L) = 0, 
2
1 2
P a L
v(L) B L B 0
E I 3
= + + = 
Para x = a, v(segmento AD) = v(segmento DB) 
3 2 3
1 1 2
P b a P a a P a a
A a B a B
E I L 6 E I 2 E I L 6
+ = − + +
 
Para x = a, (
dv
dx
θ = (segmento AD)) = (
dv
dx
θ = (segmento DB)) 
2 2
1 1
P b a P a P a a
A a B
E I L 2 E I E I L 2
+ = − +
 
Solução: 
 x 
Pa/L 
M 
 
Deflexão em vigas Pag. 55 
 
( )2 21 P bA L b
6 E I L
= − −
, 
( )2 21 P bB 2L a
6 E I L
= − +
, 
3
2
P a
B
6 E I
=
 
Equação da curva elástica para o segmento AD: 
( )3 2 2P bv x L b x
6 E I L
 = − − 
 
Equação da curva elástica para o segmento DB: 
( )
2 3 3
2 2P a x P a x P b P av 2L a x
E I 2 E I L 6 6 E I L 6 E I
= − − + +
 
Se a > b, a maior deflexão se dará no segmento AD, logo: 
dv
0
dx
= (segmento AD) ⇒
( )2 2L b
x
3
−
=
 
A maior deflexão será então: 
( )
( )
3 / 2
2 2
max
P b L b
v
9 3 E I L
−
=
 
Se a força P fosse aplicada no centro do vão onde a = b = L/2, a maior 
deflexão seria: 
3
max
P L
v
48 EI
=
 
EXEMPLO 11.3: Determine a deflexão do ponto C e as reações de apoio da 
viga mostrada abaixo pelo método que achar mais conveniente. O apoio no 
ponto B resiste somente à esforços verticais. Considere E = 200 GPa e I = 
4,25 x 106 mm4 
 
 
 
 
 
 
 
A 
200 mm 
 500 N 
B 
C 
200 mm 
x 
y 
 
Deflexão em vigas Pag. 56 
 
Trecho A-B: 
A AM 0, M M R x 0↵ = − + =∑ 
A AM R x M= − + (N.m) (1) 
 
Substituindo (1) na equação diferencial de vigas: 
2
A A2
d v
EI M R x M
dx
= = − +
 
2
A A 1
dv x
EI R M x C
dx 2
= − + +
 (2) 
3 2
A A 1 2
x x
EI v(x) R M C x C
6 2
= − + + +
 (3) 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, A 2v(0) v 0 C 0= = ⇒ = 
Para x = 0, A 1(0) 0 C 0θ = θ = ⇒ = 
Para x = 200 mm, v(0,2m) = vB = 0: 
3 2
A A
0,2 0,2
0 R M
6 2
= − +
 
A AR 15M= 
 
Impondo o equilíbrio de esforços: 
A AB
M 0, R .0,2 M 500.0,2 0↵ = − − =∑ 
A A15.M .0,2 M 500.0,2 0− − = 
MA = 50 Nm 
RA = 750 N 
 
A By
F 0, R R 500 0↑ = − + − =∑ 
RB = 1250 N 
 
Determinando a inclinação em B pelo Trecho AB: 
2
A A 1
dv x
EI R M x C
dx 2
= − + +
 
 x 
RA 
 A 
 M 
MA 
 
Deflexão em vigas Pag. 57 
 
( )
2
A A
dv 0,2
EI x 200mm R M 0,2
dx 2
= = − +
 
( )dvEI x 200mm 5
dx
= = −
 
 
Trecho B-C: 
( )M 0, M 500 0,2 x 0↵= + − =∑ 
M 500x 100= − (N.m) (4) 
 
Substituindo (4) na equação diferencial de vigas: 
2
2
d v
EI M 500x 100
dx
= = −
 
2
3
dv x
EI 500 100x C
dx 2
= − +
 (5) 
3 2
3 4
x x
EI v(x) 500 100 C x C
6 2
= − + +
 (6) 
 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, θB: 
( ) ( )
BC AB
dv dv
EI x 0 EI x 200mm 5
dx dx
= = = = −
 
( ) 3
BC
dv
EI x 0 5 C
dx
= = − =
 
Para x = 0, v(0) = vB = 0 ⇒ C4 = 0 
 
Logo, a equação de deflexão no trecho B-C é: 
3 2x x
EI v(x) 500 100 5x
6 2
= − −
 (7) 
 
A deflexão no ponto C é: 
3 2
9 6
C
0,2 0,2
200.10 .4,25.10 . v 500 100 5.0,2
6 2
− = − −
 
 x 
 500 N 
 C 
 
0,2 - x 
 
Deflexão em vigas Pag. 58 
 
4
C85.10 . v 2,333= − 
vc = - 2,745.10-3 mm 
1111..66 –– MMÉÉTTOODDOO DDAA SSUUPPEERRPPOOSSIIÇÇÃÃOO 
A equação diferencial 
4
4
d v
E I w(x)
dx
= satisfaz duas condições 
necessárias para aplicar o princípio da superposição, isto é, w(x) é linear 
com relação a v(x) e o carregamento é assumido não mudar a geometria 
original da viga. Logo, as deflexões devido a uma série de carregamento 
atuando na viga, podem ser superpostas. 
EXEMPLO 11.4: Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no 
suporte A da viga apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir de tabelas (ver Hibbeler), o deslocamento no ponto C e a inclinação 
no ponto A são: 
 
8 kN 
A B 
4 m 4 m 
2 kN/m 
vC θA 
= 
4 m 4 m 
(θA)
A B 
8 
(vC)2 
(θA)
A B 
2 
(vC)1 
+ 
4 m 4 m 
 
Deflexão em vigas Pag. 59 
 
a) Para a carga distribuida: 
( )
3 3 2
A 1
3 w L 3 (2 kN/m) (8 m) 24 kNm
128 E I 128 E I E I
θ = = =
 
( )
4 4 3
C 1
5 w L 5 (2 kN/m) (8 m) 53,33 kNm
v
768 E I 768 E I E I
= = =
↓ 
b) Para a carga concentrada: 
( )
2 2 2
A 2
P L (8 kN) (8 m) 32 kNm
16 E I 16 E I E I
θ = = =
 
( )
3 3 3
C 1
P L (8 kN) (8 m) 85,33 kNm
v
48 E I 48 E I E I
= = =
↓ 
O deslocamento total no ponto C e a inclinação no pontoA é a soma algébrica 
de cada carregamento calculado separadamente: 
( ) ( )
2
A A A1 2
56 kNm
E I
θ = θ + θ =
 
( ) ( )
3
C C C1 2
139 kNm
v v v
E I
= + =
↓ 
EXEMPLO 11.5: Determine o deslocamento na extremidade C da viga 
apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
Como tabelas não incluem vigas com extremidades em balanço, a viga pode 
ser separada numa viga simplesmente apoiada e em outra engastada-livre. 
Viga simplesmente apoiada com carga distribuida: 
 
 
 
10 kN 
A C 
4 m 2 m 
5 kN/m 
= 
B 
 
Deflexão em vigas Pag. 60 
 
 
 
 
 
 
 
( )
3 3 2
B 1
w L (5 kN/m) (4 m) 13,33 kNm
24 E I 24 E I E I
θ = = =
 
Como o ângulo é pequeno, (θB)1 ≈ tan (θB)1, o deslocamento no ponto C é: 
( )
2 3
C 1
13,33 kNm 26,67 kNm
v (2m)
E I E I
 
= = 
  ↑ 
A força concentrada aplicada no ponto C pode ser aplicada no ponto B além 
de um binário: 
 
 
 
 
 
 
( )
2
o
B 2
M L (20 kN.m) (4 m) 26,67 kN.m
3 E I 3 E I E I
θ = = =
 
Considerando o ângulo pequeno, (θB)2 ≈ tan (θB)2, o deslocamento no ponto C 
é: 
( )
2 3
C 2
26,67 kN.m 53,33 kNm
v (2m)
E I E I
 
= = 
  ↓ 
A força concentrada aplicada no ponto C para uma viga engastada-livre: 
 
 
 
 
 
 
(θB)1 
A 
C 5 kN/m 
+ 
B 
(vC)1 
(θB)1 
4 m 2 m 
4 m 2 m 
(θB)2 
A 
10 kN 
+ 
B (vC)2 
(θB)2 20 kN/m 
10 kN 
(vC)
C 
2 m 
B 
 
Deflexão em vigas Pag. 61 
 
( )
3 3 3
C 3
P L (10 kN.m) (2 m) 26,67 kN.m
v
3 E I 3 E I E I
= = =
↓ 
O deslocamento total no ponto C é a soma algébrica de cada carregamento 
calculado separadamente: 
( ) ( ) ( )
3
C C C C1 2 3
26,7 53,3 26,7 53,3 kN.m
v v v v
E I E I E I E I
= + + = − + + =
↓ 
EXEMPLO 11.6: Determine a rigidez K da mola de maneira que não haja 
deflexão no Ponto C. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
a) Deflexão do Ponto C considerando a viga rígida: 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , B
w L
R
2
= 
=B BR k.v , B
w L
v
2 K
= 
Por semelhança de triangulos: C1 B
(L b)
v v
L
+
= , C1
w
v (L b)
2 K
= + 
b) Deflexão do Ponto C considerando a viga deformável: 
 
 
 
 
w 
A 
B 
C 
 b L 
K 
w 
A 
B C 
RB 
K vC1 
 b L 
 
Deflexão em vigas Pag. 62 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela: 
3
B
w L
24 EI
θ = , 
3
C2 B
w L b
v b
24 EI
= θ = 
Vc1 – Vc2 = 0 , 
3w w L b
(L b) 0
2 K 24 EI
+ − = , 
3
12 EI
K (L b)
L b
= +
 
1111..77 –– VVIIGGAASS EESSTTAATTIICCAAMMEENNTTEE IINNDDEETTEERRMMIINNAADDAASS-- MMÉÉTTOODDOO 
DDAAIINNTTEEGGRRAAÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA 
Vigas estaticamente indeterminadas são aquelas que apresentam um 
número de reações incógnitas maior doque o número de equações de 
equilíbrio. As reações excedentes são chamadas de redundantes e não são 
necessárias para manter o equilíbrio estático. O número de reações 
redundantes classifica o grau de redundância da viga. 
Para determinar as reações nas vigas estaticamente indeterminadas, 
é preciso especificar as reações redundantes e determina-las a partir das 
condições de compatibilidade da viga. Feito isto, as reações restantes são 
determinadas pelo equilíbrio estático. 
O método da integração parte da equação diferencial: 
2
2
d v M
E Idx
= , onde 
M pode ser expresso em termos das redundantes. Após a integração, as 
constantes de integração e as redundantes podem ser determinadas pelas 
condições de contorno e continuidade do problema. 
EXEMPLO 11.7: Determine a reação em A para a viga estaticamente 
indeterminada como apresentada abaixo. EI é constante. 
w 
 b 
A 
B 
C 
RB 
K 
vC2 
 b L 
 
Deflexão em vigas Pag. 63 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reação no ponto A pode ser considerada redundante e o momento interno 
pode ser expresso em função desta reação: 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , 
2
o
Ay
w x x
M . R .x 0
2L 3
+ − =
 , 
3
o
Ay
w x
M R .x
6L
= −
 
Aplicando a equação do momento interno na equação diferencial da curva 
elástica: 
32
o
Ay2
w xd v
E I R .x
6Ldx
= −
 
2 4
o
Ay 1
wdv x x
E I R . C
dx 2 6L 4
= − +
 
3 5
o
Ay 1 2
wx x
E I v R . C x C
6 24L 5
= − + +
 
L 
A B 
wo 
x
A 
wox2/2
RAy 
V 
M
2L/3 
A 
B 
woL/2 
L/3 RAy RBy 
RBx 
MB 
 
Deflexão em vigas Pag. 64 
 
As incógnitas RAy, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = L, 
dv
0
dx
= ; 
2 4
o
Ay 1
wdv L L
E I (x L) R . C 0
dx 2 6L 4
= = − + = 
Para x = L, v = 0; 
3 5
o
Ay 1
wL L
E I v R . C L 0
6 24L 5
= − + = 
A solução é: 
o
Ay
w L
R
10
=
 , 
3
o
1
w L
C
120
= −
 
Aplicando as equações de equilíbrio estático, as reações restantes são: 
BxR 0= , 
o
By
4 w L
R
10
=
 , 
2
o
B
w L
M
15
=
 
EXEMPLO 11.8: Determine as reações nos suportes para a viga 
estaticamente indeterminada como apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
Devido a simetria, da equação de equilíbrio yF 0=∑ tem-se que:A B
w L
R R
2
= =
 
A única redundante é M’, a qual pode ser expressa em função do momento 
interno M: 
w.L 
MB=M’ RB MA=M’ 
w 
 L 
A 
 
Deflexão em vigas Pag. 65 
 
 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , 
x w L
M w x x M' 0
2 2
+ − + =
 , 
2w L w x
M x M'
2 2
= − −
 
Substituindo na equação diferencial da curva elástica: 
2 2
2
d v w L w x
E I x M'
2 2dx
= − −
 
2 3
1
dv w L x w x
E I M'x C
dx 2 2 2 3
= − − +
 
3 4 2
1 2
w L x w x x
E I v M' C x C
4 3 6 4 2
= − − + +
 
As incógnitas M’, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = 0, 
dv
0
dx
= ; C1 = 0 
Para x = L, v = 0; 
3 4 2w L L w L L
E I v M' 0
4 3 6 4 2
= − − = , 
2w L
M'
12
= 
 
A condição 
dv
0
dx
= para x = L pode ser verificada substituindo o valor de M’ 
na curva de inclinação da viga. 
EXEMPLO 11.9: A viga mostrada na figura tem rigidez E1I1 constante e está 
rigidamente apoiada em uma parede (apoio B) e suspensa pela barra AC de 
seção circular (apoio A). Se a barra tem área de seção transversal A2 e seu 
material tem módulo de elasticidade E2, determine a força sobre ela atuante. 
 
x 
A 
w.x 
RAy=wL/2 
V 
M 
 
Deflexão em vigas Pag. 66 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento do ponto A pela barra AC: 
AC 2
A
2 2
P L
v
E A
= − (1) 
Considerando a viga AB: 
2
AC
x
M 0, M w P x 0
2
↵ = + − =∑
 
2
AC
x
M w P x
2
= − +
 (2) 
Substituindo (2) na equação diferencial de vigas: 
2 2
1 1 AC2
d v x
E I M w P x
2dx
= = − +
 
3 2
1 1 AC 1
dv x x
E I w P C
dx 6 2
= − + +
 (3) 
4 3
1 1 AC 1 2
x x
E I v(x) w P C x C
24 6
= − + + +
 (4) 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, AC 2A
2 2
P L
v(0) v
E A
= = − : 
AC 2
2 1 1
2 2
P L
C E I
E A
= −
 
Para x = L1, θ(L1) = 0: 
( )
3 2
1 1
1 1 1 AC 1
L L
E I L w P C 0
6 2
θ = − + + =
 
3 2
1 1
1 AC
L L
C w P
6 2
= −
 
 L1 
L2 
 A 
 w 
 
 E1I1 
 E2A2 
 x 
PAC 
 A 
 M 
 w 
 
Deflexão em vigas Pag. 67 
 
Para x = L1, v(L1) = 0: 
4 3
1 1
1 1 1 AC 1 1 2
L L
E I v(L ) w P C L C 0
24 6
= − + + + =
 
�
4 3 3 2
AC 21 1 1 1
AC AC 1 1 1
2 2
P LL L L L
w P w P L E I 0
24 6 6 2 E A
 
− + + − − =  
  
�
4 4 3 3
AC 21 1 1 1
AC AC 1 1
2 2
P LL L L L
w w P P E I 0
24 6 6 2 E A
− + + − − =
 
�
3 4
AC 1 AC 2 1
1 1
2 2
2 P L P L 3 w L
E I
6 E A 24
+ =
 
�
3 4
1 1 1 2 1
AC
2 2
L E I L 3 w L
P
3 E A 24
 
+ =  
  
�
3 4
2 2 1 1 1 2 1
AC
2 2
E A L 3E I L 3 w L
P
3E A 24
+
=
 
�
( )
4
1 2 2
AC 3
2 2 1 1 1 2
3 w L E A
P
8 E A L 3E I L
=
+
 
1111..88 –– VVIIGGAASS EESSTTAATTIICCAAMMEENNTTEE IINNDDEETTEERRMMIINNAADDAASS -- MMÉÉTTOODDOO DDAA 
SSUUPPEERRPPOOSSIIÇÇÃÃOO 
Para a aplicação do método da superposição é necessário identificar 
as redundantes e aplicar as forças externas separadamente. As redundantes 
são determinadas impondo as condições de compatibilidade nos apoios. 
EXEMPLO 11.10: Determine as reações para a viga abaixo escolhendo RBy 
como sendo redundante. EI é constante. 
 
 
 
 
 
P 
A B 
 
= 
 L/2 L/2 
 
Deflexão em vigas Pag. 68 
 
a) Removendo RBy: 
 
 
 
 
 
B
5 P L
v
48 E I
=
 
b) Removendo a força P: 
 
 
 
 
3
By
B
R L
v '
3 E I
=
 
Condições de compatibilidade 
0 = - vB + vB’ , 
3
ByR L5 P L
0
48 E I 3 E I
= − + , By
5
R P
16
= 
Aplicando as equações de equilíbrio estático, determina-se as reações 
restantes: 
AxR 0= , 
Ay
11
R P
16
=
 , 
A
3
M P L
16
=
 
EXEMPLO 11.11: Determinar as reações para a viga abaixo escolhendo MA 
como sendo redundante. Considerar EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
 
P 
A 
B 
+ 
vB 
 L/2 L/2 
A 
B 
vB’ 
RBy L/2 L/2 
 L/2 L/2 
P 
A B = 
 
Deflexão em vigas Pag. 69 
 
a) Removendo MA: 
 
 
 
 
2
A
P L
16 E I
θ =
 
b) Removendo a força P: 
 
 
 
 
 
 
A
A
M L
'
3 E I
θ = 
 
Condições de compatibilidade 
0 = - θA + θA’ , 
2
AP L M L0
16 E I 3 E I
= − + , A
3
M P L
16
= 
EXEMPLO 11.12: Determinar para a viga abaixo as reações de apoio. 
Considerar EI é constante. 
 
 
 
 
 
Devido a simetria: RA = RB = 5400 kgf e MA = MB. 
 
 
A 
P 
B 
θA 
 L/2 L/2 
 L/2 L/2
A 
MA B 
θA’ 
6.000 kgf/m 
 RA 
 A 
 RB 
 MA MB 1,8 m 1,8 m 1,8 m 
 B C D 
 
Deflexão em vigas Pag. 70 
 
a) 
 
 
 
 
3 3
D
w L 6000 .3,6
6 EI 6 EI
θ = =
, 
4 4
D
w L 6000 .3,6
v
8 EI 8 EI
= =
 
vB = vD + θD. 1,8 , 
4 3
B
6000 .3,6 6000 .3,6
v .1,8
8 EI 6 EI
= +
 
 
b) 
 
 
 
 
3 3
C
w L 6000 .1,8
6 EI 6 EI
θ = =
, 
4 4
C
w L 6000 .1,8
v
8 EI 8 EI
= =
 
vB = vC + θC. 3,6 , 
4 3
B
6000 .1,8 6000 .1,8
v .3,6
8 EI 6 EI
= +
 
 
 
c) 
 
 
3 3
B
B
R L 5400 .5,4
v
3 EI 3 EI
= =
 
 
d) 
 
 
 
1,8 m 1,8 m 1,8 m 
RB 
 A 
 B vb3 
1,8 m 1,8 m 1,8 m 
 A 
 B MB 
 vB4 
1,8 m 1,8 m 1,8 m 
6.000 kgf/m 
 A 
 B D 
 vB1 
6.000 kgf/m 
 A 
1,8 m 1,8 m 1,8 m 
 B C vB2 
 
Deflexão em vigas Pag. 71 
 
2 2
B B
B
M L M 5,4
v
2 EI 2 EI
= =
 
vB1 – vB3 – vB3 + vB4 = 0 
MA = MB = 7020 kgf m 
EXEMPLO 11.13: Determinar pelo método da integração direta as reações 
nos apoios da viga abaixo. Considerar EI constante. 
 
 
 
 
 
 
Por Superposição: 
a) 
 
 
 
 
( )
= − = −
4 4
o o
B
w 3L 81w L
v '
8EI 8EI 
 
b) 
 
 
 
 
= + + = +
4 3 4
o o o
B
w L w L 11w L
v '' 2L
8EI 6EI 24EI 
 
 
 C 
 B 
 wo 
 A 
L 2L 
 RB 
 RA 
 
C 
 wo 
 A 
L 2L 
 B 
 vB’ 
L 2L 
C 
 A 
 B 
 vB’’ 
 
Deflexão em vigas Pag. 72 
 
c) 
 
 
 
( )
= + = +
3 3
B B
B
R 3L 9 R L
v '''
3EI EI
 
 
Da condição de contorno imposta no ponto B, tem-se: 
= + + =
− + + = ⇒ =
B B B B
4 4 3
o o oB
B
v v ' v '' v ''' 0
81w L 11w L 29 w L9 R L
0 R
8EI 24EI EI 27 
= + − = ⇒ =∑ x A B o A
25wL
F 0, R R w 2L 0, R
27 
= − + = ⇒ =∑
2
2
A A o B C
21wL
M 0, M w 4L R 3L 0, M
27
C B 
 A 
RB 
L 2L 
 vB’’’ 
 
Métodos de Energia Pag. 73 
 
C A P Í T U L O 12 
MMÉÉTTOODDOOSS DDEE EENNEERRGGIIAA 
1122..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
Nos capítulos anteriores, as formulações se apoiam no método 
newtoniano da mecânica dentro do qual o equilíbrio estático é representado 
de maneira vetorial. Uma outra alternativa, é utilizar o método lagrangeano 
que usa funções escalares, baseados em conceitos de trabalho e energia. 
1122..22 –– EENNEERRGGIIAA DDEE DDEEFFOORRMMAAÇÇÃÃOO EELLÁÁSSTTIICCAA 
O trabalho interno armazenado em um corpo deformável como 
energia elástica de deformação ou energia de deformação elástica é o produto 
da força média que atua sobre o corpo enquanto ocorre a deformação, 
multiplicada pela distância na qual ela age. Seja então o elemento de volume 
dx, dy, dz solicitado axialmente na direção x, Figura 12.1: