Exercícios Resolvidos Eletromagnetismo

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Professor: Me. Guilherme Henrique Alves 
 
Universidade de Uberaba - UNIUBE 
Exercícios resolvidos – Eletromagnetismo - Análise vetorial 
 
1 - Especifique o vetor unitário dirigido da origem ao ponto G(2,-2,-1). 
Solução Primeiramente, construímos o vetor dirigido da origem ao ponto G, 
𝐺 = 2𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 
Em seguida, achamos o módulo de G, 
|𝐺| = √(2)2 + (−2)2 + (−1)2 = 3 
e, finalmente, expressamos o vetor unitário desejado como o quociente, 
𝑎𝐺 =
𝐺
|𝐺|
=
2
3
𝑎𝑥 −
2
3
𝑎𝑦 −
1
3
𝑎𝑧 = 0,667𝑎𝑥 − 0,667𝑎𝑦 − 0,333𝑎𝑧 
Nota: o símbolo 𝑎𝐺 foi utilizado para representar o vetor unitário. 
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2 - Mostre que o vetor que liga o ponto M(𝑎𝑥 , 𝑎𝑦 , 𝑎𝑧) ao ponto N(𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) na figura 1 
abaixo é dado por: 
(𝑥2 − 𝑥1) 𝑎𝑥+(𝑦2 − 𝑦1) 𝑎𝑦 + (𝑧2 − 𝑧1) 𝑎𝑧 
 
Figura 1 – Exercício 2 
Solução 
As coordenadas de M e N são utilizadas para descrever os dois vetores posição A e B 
na figura. 
𝐴 = 𝑥1𝑎𝑥 + 𝑦1𝑎𝑦 + 𝑧1𝑎𝑧 
𝐵 = 𝑥2𝑎𝑥 + 𝑦2𝑎𝑦 + 𝑧2𝑎𝑧 
Então, 
𝐵 − 𝐴 = (𝑥2 − 𝑥1)𝑎𝑥 + (𝑦2 − 𝑦1)𝑎𝑦 + (𝑧2 − 𝑧1)𝑎𝑧 
Professor: Me. Guilherme Henrique Alves 
 
 
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3 - Encontre o vetor A dirigido do ponto (2,-4,1) ao ponto (0,-2,0) em coordenadas 
cartesianas. Ache também o vetor unitário ao longo de A. 
Solução 
A = (0 − 2)𝑎𝑥 + [−2— 4)]𝑎𝑦 + (0 − 1)𝑎𝑧 = −2𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 
|𝐴|2 = (−2)2 + (2)2 + (−1)2 = 9 
𝑎𝐴 =
𝐴
|𝐴|
= −
2
3
𝑎𝑥 +
2
3
𝑎𝑦 −
1
3
𝑎𝑧 
 
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4 - Encontre a distância entre (5,3π/2,0) e (5,π/2,10) em coordenadas cilíndricas. 
Primeiro, obtenha os vetores posição A e B em coordenadas cartesianas. 
𝐴 = −5𝑎𝑦 
𝐵 = 5𝑎𝑦 + 10𝑎𝑧 
Solução 
 
Figura 2 - Exercício 4 
Então 𝐵 − 𝐴 = 10𝑎𝑦 + 10𝑎𝑧 e a distância entre os pontos é 
|𝐵 − 𝐴| = 10√2 
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Professor: Me. Guilherme Henrique Alves 
 
5 - Mostre que 𝐴 = 4𝑎𝑥 − 2𝑎𝑦 − 𝑎𝑧 e 𝐵 = 𝑎𝑥 + 4𝑎𝑦 − 4𝑎𝑧 são perpendiculares entre si. 
|𝐴 × 𝐵| = |𝐴||𝐵| sin 𝜃 
Solução 
Uma vez que o produto escalar entre dois vetores contém em sua definição o termo 
cos 𝜃 ( cosseno do ângulo entre os vetores), um produto escalar igual a zero entre dois 
vetores não nulos quaisquer implica que 𝜃 = 90°. 
𝐴 ∙ 𝐵 = (4)(1) + (−2)(4) + (−1)(−4) = 0 
 
 
 
Referências bibliográficas: 
Eletromagnetismo – Terceira edição – Joseph A. Edminister e Mahmood Nahvi-
Dekhordi 
Eletromagnetismo – Sexta edição – William H. Hayt, Jr e John A. Buck