Integrais_por_partes

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Calcular o valor, em função de x, das seguintes integrais, aplicando o método de integração por 
partes: 
 ( O método tem a seguinte fórmula: d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u )
 
 
1) I = d⌠⌡x
2 ( )sen x x ; 
 Solução 
 
 considerando: u = x2 => du = 2x dx 
 dv = sen(x)dx => v = − ( )cos x 
 substituindo em I , temos: 
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = − − x
2 ( )cos x d⌠⌡− ( )cos x 2 x x = 
− + x2 ( )cos x 2 d⌠⌡x ( )cos x x 
 fazendo J = 2 d⌠⌡x ( )cos x x 
 considerando w = x => dw = dx 
 dz = cos(x) dx => z = sen(x)
 substituindo em J , temos: 
 J = 2 d⌠⌡w z = − 2 w z 2 d
⌠
⌡z w = − 2 x ( )sen x 2 d
⌠
⌡ ( )sen x x = 2 x sen(x) + 2 
cos(x) + K
 
 logo, temos: I = −x2 ( )cos x + J = −x2 ( )cos x + 2 x sen(x) + 2 cos(x) + K 
 
 -------------------------------------------
Page 1
 
2) I = d⌠⌡ ( )ln ( )tg x ( )sec x
2
x 
 Solução 
 considerando u = ln(tg(x)) => du = ( )sec x
2
( )tg x dx
 dv = ( )sec x 2dx => v = tg(x)
 
 substituindo em I , temos:
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = − ( )ln ( )tg x ( )tg x d
⌠
⌡

( )tg x ( )sec x 2
( )tg x x = 
 − ( )ln ( )tg x ( )tg x d⌠⌡ ( )sec x
2
x = 
 = − ( )ln ( )tg x ( )tg x ( )tg x + K = ( )tg x ( ) − ( )ln ( )tg x 1 + K 
 
 ------------------------------------------
3) I = d
⌠
⌡

x ex
( ) + 1 x 2
x ; 
 Solução 
 considerando u = x ex => du = (
 + ex x ex) dx = ex ( ) + 1 x dx 
 dv = 
1
( )
 + 1 x 2
 dx => v = −
1
 + 1 x
 
 
 sustituindo em I , temos:
Page 2
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = − − 
x ex
 + 1 x
d
⌠
⌡
−
ex ( ) + 1 x
 + 1 x
x = − + 
x ex
 + 1 x
d
⌠
⌡e
x
x = 
 = − + 
x ex
 + 1 x
ex + K = ex



 − 1
x
 + 1 x
 + K = ex
1
 + 1 x
 + K = 
ex
 + 1 x
 + K 
 -----------------------------------------
4) I = d⌠⌡x
2 ( )ln + x 1 x ;
 Solução 
 considerando u = ln( x + 1) => du = 1
 + x 1
 dx 
 dv = x2 dx => v = 
x
3
3
 
 substituindo em I , temos:
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = 
x
3
3
 ln( x + 1 ) − d
⌠
⌡

x
3
3 ( ) + x 1 x = 
x
3
3
 ln( x + 1 ) − 1
3
 
d
⌠
⌡

x
3
 + x 1
x = 
 
 = 
x
3
3
 
 − ( )ln + x 1 1
3
 d
⌠
⌡
 − + − x
2
x 1
1
 + x 1
x = 
x
3
3
 ln( x + 1 ) − 1
3
 ( 
 − + − d
⌠
⌡x
2
x d⌠⌡x x d
⌠
⌡1 x d
⌠
⌡

1
 + x 1
x ) = 
 = 
x
3
3
 ln( x +1) − 1
3
 ( − + − x
3
3
x
2
2
x ( )ln + x 1 ) + K = x
3
3
 ln( x +1) + 1
3
 ln( x + 1 ) − x
3
9
 + 
x
2
6
 −
x
3
 + K
Page 3
 -------------------------------------------
 5) I = d
⌠
⌡

( )ln x
x
x ; 
 Solução 
 considerando u = ln(x) => du = 1
x
 dx 
 dv = 
1
x
 dx => v = ln(x) 
 substituindo em I , temos:
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = ln(x) ln(x) − d
⌠
⌡

( )ln x
x
x = ( )ln x 2 - I => 
 
 I + I = ( )ln x 2 => 2 I = ( )ln x 2 => I = 1
2
 ( )ln x 2 + K 
 -------------------------------------------
 
6) I = d⌠⌡x ( )ln x
2
x ; 
 Suloção 
 considerando u = ( )ln x 2 => du = 2 ( )ln x 1
x
 dx 
 dv = x dx => v = 
x
2
2
 
 substituindo em I , temos;
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = 
x
2
2
 ( )ln x 2 − d⌠⌡x ( )ln x x 
Page 4
 considerando w = ln(x) => dw = 1
x
 dx 
 dz = x dx => z = 
x
2
2
 
 substituindo nesta última integral de I , temos:
 I = 
x
2
2
 ( )ln x 2 − d⌠⌡w z = 
x
2
2
 ( )ln x 2 - ( − w z d⌠⌡z w ) = 
x
2
2
 ( )ln x 2 − x
2
2
 ln(x) + 
d
⌠
⌡

x
2
2 x
x = 
 = 
x
2
2
 ( )ln x 2 − x
2
2
 ln(x) + 1
2
 d⌠⌡x x = 
x
2
2
 ( )ln x 2 − x
2
2
 ln(x) + x
2
4
 + K 
 
 ------------------------------------------
7)
 I = d
⌠
⌡x
3 ( )cos x2 x ; 
 
 
Solução
 
 I = d
⌠
⌡
x2 ( )cos x2 x x 
 considerando u = x2 => du = 2 x dx => 
1
2
 du = x dx
 substituindo em I , temos:
 I = 
1
2
 d⌠⌡u ( )cos u u 
 considerando w = u => dw = du 
 dz = cos(u) du z = sen(u) 
 substituindo nesta última I , temos:
 
 I = 
1
2
 d⌠⌡w z = 
1
2
 ( − w z d⌠⌡z w ) = 
1
2
 ( − u ( )sen u d⌠⌡ ( )sen u u ) = 
1
2
 ( u sen(u) + 
Page 5
cos(u) ) + k 
 substituindo u nesta última I , temos:
 
 I = 
1
2
 ( + x2 ( )sen x2 ( )cos x2 ) + K = 1
2
 x
2 ( )sen x2 + 1
2
 ( )cos x2 + K 
 -----------------------------------------
 
8) I = d⌠⌡e
( )−x ( )cos 2 x x ;
 Solução 
 considerando u = e( )−x => du = −e( )−x dx => −du = e( )−x dx 
 dv = cos(2x) dx => v = 1
2
 sen(2x) 
 subtituindo em I , temos:
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = e
( )−x
 
1
2
 sen(2x) + 1
2
 d
⌠
⌡ ( )sen 2 x e
( )−x
x 
 fazendo J = 
1
2
 d
⌠
⌡ ( )sen 2 x e
( )−x
x 
 
 considerando w = e( )−x => dw = −e( )−x dx => −dw = e( )−x dx
 dz = sen(2x) dx => z = − 1
2
 cos(2x) 
 substituindo em J , temos:
 J = 
1
2
d⌠⌡w z = 
1
2
( − w z d⌠⌡z w ) = 
1
2
( − 1
2
 cos(2x) e( )−x − 1
2
 d
⌠
⌡ ( )cos 2 x e
( )−x
x ) 
= 
 = −
1
4
 cos(2x) e( )−x − 1
4
 I 
 
 logo, I = e( )−x 
1
2
 sen(2x) − 1
4
 cos(2x) e( )−x − 1
4
 I + K =>
 
Page 6
 => I + 
1
4
 I = 
1
2
 e( )−x ( )sen 2 x − 1
4
 e( )−x ( )cos 2 x + K => 
 
 => 
5
4
 I = 
1
2
 e( )−x ( )sen 2 x − 1
4
 e( )−x ( )cos 2 x + K => 
 => I = 
2
5
 e( )−x( )sen 2 x − 1
5
 e( )−x ( )cos 2 x + K 
 
 ------------------------------------------
9) I = d⌠⌡x ( )cossec 3
2
x ; 
 Solução 
 considerando u = x => du = dx 
 dv = ( )cossec 3 x 2 dx => v = − 1
3
 cotg(3x) 
 substituindo em I , temos: 
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = −
1
3
 x cotg(3x) + 1
3
 d⌠⌡ ( )cotg 3 x x 
 fazendo J = 
1
3
 d⌠⌡ ( )cotg 3 x x = 
1
3
 d
⌠
⌡

( )cos 3 x
( )sen 3 x x 
 considerando w = sen(3x) => dw = 3 cos(3x) dx => 1
3
 dw = cos(3x) dx
 substituindo em J, temos: 
 J = 
1
9
 d
⌠
⌡

1
w
w = 
1
9
 ln( | w | ) + K = 1
9
 ln( | sen(3x) | ) + K 
 logo,
 I = −
1
3
 x cotg(3x) + 1
9
 ln( | sen(3x) | ) + K 
 Page 7
 -----------------------------------------
10) I = d⌠⌡ ( )arctg x x ; 
 Solução 
 considerando u = arctg(x) => du = 1
 + 1 x2
 dx 
 dv = dx => v = x 
 substituindo em I , temos: 
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = x arctg(x) − d
⌠
⌡

x
 + 1 x2
x 
 fazendo J = − d
⌠
⌡

x
 + 1 x2
x 
 considerando w = 
 + 1 x2 => dw = 2 x dx => 
1
2
 dw = x dx 
 substituindo em J , temos:
 
 J = −
1
2
 d
⌠
⌡

1
w
w = −
1
2
 ln( | w | ) + K = − 1
2
 ln( 1 + x2 ) + K 
 logo,
 I = x arctg(x) − 1
2
 ln( 1 + x2 ) + K 
 -------------------------------------------
11) I = d⌠⌡x ( )arctg x x ; 
 
 Solução Page 8
 considerando u = arctg(x) => du = 1
 + 1 x2
 dx 
 dv = x dx => v = 
1
2
 x
2
 
 substituindo em I , temos:
 I = d⌠⌡u v = − u v d
⌠
⌡v u = 
1
2
 x
2
 arctg(x) − 1
2
 d
⌠
⌡

x
2
 + 1 x2
x = 
 = 
1
2
 x
2
 arctg(x) − 1
2
 d
⌠
⌡
 − 1
1
 + 1 x2
x = 
1
2
 x
2
 arctg(x) − 1
2
 d⌠⌡1 x + 
1
2
 d
⌠
⌡

1
 + 1 x2
x = 
 = 
1
2
 x
2
 arctg(x) − 1
2
 x + 
1
2
 arctg(x) + K 
 ------------------------------------------
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 Jailson Marinho Cardoso
Aluno do curso de Matemática
Universidade Federal da Paraíba
Campus I 
20/07/2000 
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Page 9