Vamos resolver passo a passo usando o Teorema da Divergência (Gauss), que permite calcular o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada integrando a divergência do campo no volume interno. Dado: \[ \mathbf{F} = (xy)\mathbf{i} + (yz)\mathbf{j} + (xz)\mathbf{k} \] e o cubo no primeiro octante limitado por \(x=0\) a 1, \(y=0\) a 1, \(z=0\) a 1. 1. Calcular a divergência de \(\mathbf{F}\): \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) + \frac{\partial}{\partial y}(yz) + \frac{\partial}{\partial z}(xz) \] \[ = y + z + x \] 2. Integrar a divergência sobre o volume do cubo: \[ \iiint_V (x + y + z) \, dV = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x + y + z) \, dx\, dy\, dz \] 3. Separar a integral: \[ = \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x \, dx\, dy\, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 y \, dx\, dy\, dz + \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z \, dx\, dy\, dz \] 4. Calcular cada integral: - Para \(x\): \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 x \, dx\, dy\, dz = \int_0^1 \int_0^1 \left[ \frac{x^2}{2} \Big|_0^1 \right] dy\, dz = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1}{2} dy\, dz = \int_0^1 \frac{1}{2} dz = \frac{1}{2} \] - Para \(y\): \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 y \, dx\, dy\, dz = \int_0^1 \int_0^1 \left[ y \cdot \int_0^1 dx \right] dy\, dz = \int_0^1 \int_0^1 y \cdot 1 \, dy\, dz = \int_0^1 \left[ \frac{y^2}{2} \Big|_0^1 \right] dz = \int_0^1 \frac{1}{2} dz = \frac{1}{2} \] - Para \(z\): \[ \int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 z \, dx\, dy\, dz = \int_0^1 \left[ z \cdot \int_0^1 \int_0^1 dx\, dy \right] dz = \int_0^1 z \cdot 1 \, dz = \int_0^1 z \, dz = \frac{1}{2} \] 5. Somar os resultados: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] Resposta correta: D) 3/2