Exame de Mecânica Clássica na UFPE

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2014
Mecaˆnica Cla´ssica
08/08/2014 - 09:00 a`s 12:00 h
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecaˆnica Cla´ssica 1
Questa˜o 1 – Leis de Newton
Dois blocos unidos por um fio inextens´ıvel de massa desprez´ıvel se
encontram dispostos numa rampa fixa ao solo, como mostrado na fi-
gura. O bloco de massa 2M desliza sem atrito sobre a superf´ıcie.
A polia e´ composta por um disco fino
raio R e massaM uniformemente dis-
tribu´ıda. O fio passa pela polia sem
deslizar e o segundo bloco de massa
M se encontra pendurado sob ac¸a˜o da
gravidade. A polia gira sem atrito.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2M 
M 
M 
R 
β 
z 
x 
(a) [20%] Encontre o aˆngulo cr´ıtico βc para o qual as forc¸as sobre o bloco
de massa M se anulam.
(b) [10%] Nas condic¸o˜es do item (a), encontre o vetor momento angular
(em relac¸a˜o ao eixo da polia) para o sistema formado pelos dois blo-
cos e a polia, sabendo que o bloco de massa M se movimenta com
velocidade constante ~v = v0zˆ.
(c) [10%] Nas condic¸o˜es do item (a), encontre a variac¸a˜o de energia po-
tencial do sistema formado pelos dois blocos e a polia quando o bloco
de massa M desce por uma altura h.
Suponha nos itens abaixo que o aˆngulo formado pela rampa e´ β < βc.
(d) [30%] Encontre a acelerac¸a˜o do bloco de massa 2M .
(e) [30%] Encontre a trac¸a˜o no fio nos dois lados da polia.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecaˆnica Cla´ssica 2
Questa˜o 2 – Oscilac¸a˜o e ressonaˆncia
A posic¸a˜o unidimensional x(t) de uma part´ıcula com massa m sujeita
a` ac¸a˜o de uma forc¸a externa perio´dica, com magnitude F e frequeˆncia Ω,
obedece a equac¸a˜o de movimento
x¨+ γx˙+ ω2
0
x =
F
m
cos(Ωt), (1)
em que γ e ω0 sa˜o constantes (com dimensa˜o de inverso de tempo) associ-
adas, respectivamente, a uma forc¸a dissipativa e a uma forc¸a restauradora
atuando sobre a part´ıcula.
(a) [25%] Encontre a soluc¸a˜o oscilato´ria geral do movimento para o caso
em que F = 0. Determine a frequeˆncia ω de oscilac¸a˜o.
(b) [25%] Aplique as condic¸o˜es iniciais x(t = 0) = x0 e x˙(t = 0) = 0 a`
soluc¸a˜o do item (a). Esboce x(t) graficamente, indicando as escalas
relevantes dessa func¸a˜o.
(c) [25%] Determine a soluc¸a˜o particular da Eq. (1) com forc¸a externa na˜o
nula. Encontre a frequeˆncia, a amplitude A e a fase φ da oscilac¸a˜o.
(d) [25%] A poteˆncia fornecida pelo agente causador da forc¸a externa e dis-
sipada pelo oscilador e´ proporcional a |A|2. Esboce |A|2 graficamente
como func¸a˜o da frequeˆncia Ω da forc¸a externa, indicando no gra´fico as
escalas relevantes. Suponha que a dinaˆmica seja dominada pela forc¸a
restauradora (i.e. ω0 ≫ γ) e desconsidere efeitos transientes.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecaˆnica Cla´ssica 3
Questa˜o 3 – Modos normais de vibrac¸a˜o
Um peˆndulo e´ formado por uma part´ıcula com massa m1 = 3m sus-
pensa por uma haste r´ıgida (com massa desprez´ıvel e fixa a um suporte)
com comprimento ℓ. Um segundo peˆndulo, com massa m2 = m e mesmo
comprimento, e´ fixado a` part´ıcula com massa m1, formando um peˆndulo
duplo. Esse sistema e´ livre para oscilar num plano fixo.
(a) [35%] Escreva a lagrangiana do sistema e as equac¸o˜es de movimento
para as posic¸o˜es das part´ıculas 1 e 2 em termos das coordenadas ge-
neralizadas que voceˆ achar mais convenientes. Desenhe esquematica-
mente o sistema, apontando as coordenadas escolhidas.
(b) [35%] Determine as frequeˆncias normais de vibrac¸a˜o para pequenas
oscilac¸o˜es.
(c) [15%] Determine os modos normais de vibrac¸a˜o no regime de pequenas
oscilac¸o˜es.
(d) [15%] Escreva a soluc¸a˜o para as posic¸o˜es das part´ıculas como func¸a˜o
do tempo para a configurac¸a˜o inicial (t = 0) em que um agente ex-
terno, encontrando o sistema em repouso em seu ponto de equil´ıbrio,
aplica uma forc¸a impulsiva a` massa m2 fornecendo-lhe velocidade ini-
cial v2(t = 0) = v0.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecaˆnica Cla´ssica 4
Questa˜o 4 – Corpo r´ıgido
Considere duas part´ıculas de massas m1 e m2 conectadas por uma haste
r´ıgida de massa desprez´ıvel. O conjunto esta´ em rotac¸a˜o como mostrado
na figura, sendo ~vi a velocidade e ~ri a posic¸a˜o da part´ıcula i (i = 1, 2).
O sistema de eixos de re-
fereˆncia e´ definido pelos ver-
sores de base eˆ1, eˆ2 e eˆ3 mos-
trados na figura. O versor eˆ3
se encontra ao longo da linha
que une as part´ıculas e eˆ2 esta´
no plano definido por eˆ3 e ~ω.
Considere a distaˆncia entre as
part´ıculas e a origem das co-
ordenadas igual a b.
 
m1 
m2 
v1 
v2 
O 
e2 
r2 
r1 
ωωωω 
|r1| = |r2| = b 
α 
(a) [50%] Encontre o momento angular ~L do sistema.
(b) [30%] Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular
na˜o apontam na mesma direc¸a˜o.
(c) [20%] Determine o torque necessa´rio para manter o movimento con-
forme descrito.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecaˆnica Cla´ssica 5
Formula´rio
L(q1, . . . , qn, q˙1, . . . , q˙n) = T (q1, . . . , qn, q˙1, . . . , q˙n)− U(q1, . . . , qn)
∂L
∂qj
−
d
dt
∂L
∂q˙j
= 0
Ixω˙x − (Iy − Iz)ωyωz = Nx
Iyω˙y − (Iz − Ix)ωzωx = Ny
Izω˙z − (Ix − Iy)ωxωy = Nz
{I} =


∑
j mj
(
y2j + z
2
j
)
−
∑
j mjxjyj −
∑
j mjxjzj
−
∑
j mjxjyj
∑
j mj
(
x2j + z
2
j
)
−
∑
j mjyjzj
−
∑
j mjxjzj −
∑
j mjyjzj
∑
j mj
(
x2j + y
2
j
)

