TD OBMEP SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

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A 
01. (Ufpr) Na figura a seguir, temos o triângulo 
retângulo ABC. Na figura está representado também 
o retângulo CDEF com vértices D, E e F nos lados do 
triângulo. Sabendo que AD = 4cm e BF = 3cm, faça 
o que se pede, apresentando o raciocínio. 
TD de Matemática 
a) 
e) V3. 
Prof. João Guilherme 
E 
a) Qual é a área do retângulo CDEF em cm? 
b) Sabendo que a área do triângulo ADE é o dobro da 
área do triângulo EFB, calcule o valor da tangente do 
ângulo a, indicado na figura. 
lo.s.: 0000/24-Diagramador 
B 
02. (Ita) Seja ABC um triângulo retângulo tal que 
B¦C = 30°. Considere D um ponto na hipotenusa AC 
e retas res passando por D, paralelas aos lados AB e 
BC, respectivamente. Se E =rn BC, F =snABe 
m(BC o menor valor possível para m(EF) é 
F 
03. (Uea-sis 1) Em um triângulo ABC, o ponto F está 
sobre o lado BC e o ponto G está sobreo lado BA, de 
maneira que o ângulo BFG é congruente ao ângulo 
B¦C, conforme mostra a figura. 
7 cm 
a) 6,3 cm. 
b) 6,6 cm. 
Sabendo que a medida do lado BA é 3 cm maior do 
que a medida do lado BC e que o perímetro do 
triângulo BFG é igual a 16 cm, a medida do segmento 
BF é, aproximadamente, 
c) 6,9 cm. 
d) 7,2 cm. 
e) 7,5 cm. 
a) 38. 
04. (Ufrgs) Na figura abaixo, há três quadrados de 
lados 9, 6ex justapostos; os vértices A, B, Ce D são 
colineares; os vértices A, E, F, Ge H são colineares. 
b) 76. 
c) 126. 
4 cm 
d) 133. 
G 
e) 136. 
6 
F 
A soma das áreas dos três quadrados é 
master 
OBMEP- Nvel 3 
X 
E 
5. (Puccamp) Uma folha de papel retangular foi 
cortada ao longo de uma de suas diagonais para dar 
origem a um triângulo ABC retângulo em A, com o 
lado AB medindo 16 cm. Deseja-se realizar mais um 
corte, perpendicular ao lado BC por um ponto P, que 
produza dois polígonos, o triângulo PBQ e o 
quadrilátero PQAC, conforme a figura: 
A 
a) 9/2 
b) 7V2 
c) 8/2 
Sabendo que o triângulo PBQ e o quadrilátero PQAC 
têm a mesma área, a medida do segmento BP, em cm, 
d) 10/2 
e) 11/2 
D 
A 
6. (Upe-ssa 3) A formiga Avelina partiu do vértice A 
do quadrado ABCD e chegou ao vértice C 
caminhando sobre os segmentos AG, GHe HC, cjas 
medidas podem ser observadas na figura a seguir. O 
seu amigo Belinho também partiu do vértice A, mas 
este chegou ao vértice C caminhando sobre os lados 
AB e BC. Considere V13 =3,6. 
H 
5 cm 
15 cm 
10 cm 
TD de Matemática 
16 cm 
G 
os.: 0000/24-DiaRramador 
Prof. Jo·o Guilherme 
B 
Portanto, é CORRETO afirmar que 
a) Avelina percorreu 6 cm a mais que Belinho. 
b) Avelina percorreu 5 cmn a mais que Belinho. 
c) Belinho percorreu 6 cm a mais que Avelina. 
d) Belinho percorreu 5 cm a mais que Avelina. 
e) Avelina e Belinho percorreram a mesma distância. 
7. (Ime) Considere um trapézio de bases AB e CD 
com o ponto I sendo a interseção de suas diagonajs. Se 
as áreas dos triângulos AIB e CID formados pelas 
diagonais são 9 cm' e 16 cm�, respectivamente, a 
área do trapézio, em cm, é: 
b) 63 
a) Não é possível determinar por terem sido 
fornecidos dados insuficientes. 
c) 50 
d) 49 
e) 45 
D 
8. (Obmep) Sabendo que as áreas dos triângulos BCO 
e QCP da figura são, respectivamente, 6 e 2, qual é a 
área do retângulo ABCD? 
A 
a) 48 
b) 50 
c) 52 
d) 54 
e) S6 
master 
OBMEP, - NÍVEL 3 
P 
24 
a) 25 
9. (Fuvest) Na figura, o retângulo ABCD tem lados 
de comprimento AB = 4 e BC 2. Sejam M o ponto 
médio do lado BC e No ponto médio do lado CD. Os 
segmentos AM e AC interceptamno segmento BN nos 
pontos E eF, respectivamente. 
F 
B 
A área do triângulo AEF é igual a 
M 
B 
2 
b 
e 
a 
29 
20 
b) 
10. (Ime) Dado um quadrado ABCD, de lado a, 
marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o 
lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de 
modo que os segmentos formados AE, BE, CG, e DH 
tenham comprimento igual a 4 
d) 
A área do novo quadrilátero formado pelas interseções 
dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede: 
az 
25 
9 
E 
TD de Matemática 
a) 4 cm² 
b) 5 cm? 
c) 6 cm 
d) 7 cm? 
e) 8 cm² 
11. (Obmep) O paralelogramo ABCD tem área 24 
cm e os pontos Ee F são os pontos médios dos lados 
AB e BC, respectivamente. Qual é a área do 
quadrilátero EFGH? 
A 
Prof. João Guilherme 
3a 
/0.s.: 0000/24-Diagramador 
H 
G 
12. (Fuvest) O mapa de uma região utiliza a escala de 
1:200 000. A porção desse mapa, contendo uma 
Área de Preservação Permanente (APP), está 
representada na figura, na qual AF e DF são 
segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o 
ponto E está no segmento DF, ABEG é um retângulo 
A 
e BCDEé um trapézio. Se AF = 15, AG = 12, AB = 
6, CD =3 e DE = 5V5 indicam valores em 
centimetros no mapa real, então a área da APP é 
a) 100 km? 
b) 108 km² 
c) 210 km? 
d) 240 km? 
e) 444 km? 
A 
D 
a) 2(va + vb) 
b (a + b) 
13. (Obmep) A figura mostra um trapézio ABCD de 
bases AB e CD; o ponto Eé o ponto de encontro de 
suas diagonais. Os triângulos ABE e CDE têm áreas a 
eb, respectivamente. Qual é a área do trapézio? 
2 
) (Va+ Vb)* 
d) 2(a + b) 
e) Vab 
D 
2 
master 
m 
E 
OBMEP- Nvel 3 
E 
14. (Obmep) Na figura a baixo, as retas r e s são 
paralelas. O segmento AB é perpendicular a essas 
retas e o ponto P, nesse segmento, é tal que AP = 2 e 
BP = 1. O ponto X pertence à reta r e a medida do 
segmento BX é indicada por x. O ponto Y pertence à 
reta s e o triângulo XPY é retângulo em P. 
3 
B 
1 
P) 
2 
A 
X 
igual a? 
X 
a) Explique por que os triângulos PAY e XBP são 
semelhantes. 
TD de Matemática 
b) Calcule a área do triângulo XPY em função de x. 
c) Para quais valores de x a área do triângulo XPYé 
A 
d) Determine o valor de x para o qual a área do 
triângulo XPY émínima e calcule o valor dessa área. 
/O.s.: 0000/24-Diagramador 
15. (Obmep) Na figura, ABCD e AEFG são 
retângulos e o ponto F pertence à diagonal AC. A área 
do triângulo cinza é igual a da área do retângulo 
AEFG. Qual é o valor de 
Prof. João Guilherme 
G 
AC 
18 
master 
OBMEP. -NÍVEL 3 
4 
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