Introdução aos Vetores

Prévia do material em texto

29 
3. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DOS VETORES 
3.1. Conceitos preliminares 
Reta orientada 
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, 
considerado positivo e indicado por uma seta. O sentido oposto é negativo. 
r 
 – + 
 
Chamamos de eixo a reta orientada onde fixamos um ponto, chamado 
de origem, e determinamos uma unidade de comprimento. 
 
Segmento de reta orientado 
Um segmento orientado é um segmento de um eixo e é determinado por 
um par ordenado de pontos, onde o primeiro é a origem do segmento e o segundo é a 
extremidade do segmento. 
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado 
por AB e, geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sen-
tido do segmento. Ex.: 
 A B reta 
suporte 
 – + 
 
Segmento nulo 
Um segmento é nulo quando a extremidade coincide com a origem. 
 
Medida de um segmento 
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-
se associar um número real, não negativo, que é a medida do segmento em relação 
àquela unidade. A medida do segmento orientado é seu comprimento ou seu módulo. 
 
 
 
 30 
Direção e sentido 
Os segmentos orientados não nulos têm mesma direção se estão numa 
mesma reta suporte ou em retas suportes paralelas. 
Os segmentos orientados não nulos têm mesmo sentido se tiverem 
mesma orientação. 
Caso contrário, têm orientações contrárias. 
Obs.: Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm 
mesma direção. 
 
Segmentos opostos 
Se AB é um segmento orientado, o segmento BA é oposto a AB . Os 
segmentos opostos têm mesma direção, mesma medida e orientações (ou sentidos 
contrários). 
 
Características de um segmento orientado 
Um segmento orientado se caracteriza por seu comprimento (ou módu-
lo), sua direção (reta suporte) e sua orientação (sentido). 
 
Segmentos eqüipolentes 
Dois segmentos AB e CD são eqüipolentes quando têm mesmo com-
primento (módulo), mesma direção e mesma orientação (sentido). Representamos a 
equipolência por AB ~ CD . 
 
Espaço Cartesiano 
Na Geometria de René Descartes, consideramos que todo o ponto do 
espaço possui três dimensões, este ponto P está a uma distância finita de um triedro 
OXYZ, correspondente a um sistema de três dimensões reais: 
� x denominada abscissa que é a distância do ponto P ao plano YOZ, 
� y denominado ordenada que é a distância do ponto P ao plano XOZ e, 
� Z denominado pela cota que é a distância do ponto P ao plano XOY 
Tais números x,y,z denominam-se Coordenadas Cartesianas de um 
ponto P. 
 31 
No Espaço Cartesiano um ponto definido P (x,y,z ) é representado por 
um trio ordenado de números reais ( x,y,z ). 
 
 
3.2. Definição de vetor: 
É uma reta orientada quando se fixa nela um sentido de percurso. 
Grandezas escalares e vetoriais. 
 
� Grandeza: é tudo aquilo que pode variar quantitativamente. 
� Grandeza escalar: é aquela que só tem módulo ou valor numérico. 
� Grandeza vetorial: é aquela que, necessita além do módulo, direção e sentido. 
Uma grandeza vetorial se representa por meio de uma flecha numa cer-
ta escala. O comprimento da flecha representa o módulo do vetor, a linha sobre a qual 
se encontra é a direção do vetor e o sentido é indicado pela flecha. 
Dado um segmento orientado AB , chamamos de vetor o conjunto de 
todos os segmentos orientados eqüipolentes ao segmento dado AB . Este segmento é 
um representante do vetor. Ex.: 
 B 
 A 
 
Se indicarmos por V este conjunto, simbolicamente podemos escrever: 
{ }AB~XY/XYV = 
onde XY é um segmento qualquer do conjunto. 
O vetor determinado por AB é indicado por AB ou AB − ou V . 
 32 
Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos 
orientados, chamados representantes desse vetor, e todos eqüipolentes entre si. As-
sim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes repre-
sentantes determina o mesmo vetor. Portanto, com origem em cada ponto do espaço, 
podemos visualizar um representante de um vetor. Usando um pouco mais nossa ca-
pacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de 
origem comum, estaremos caracterizando, através de representante um só vetor. Con-
seqüentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que ima-
ginamos. 
As características de um vetor V são as mesmas de qualquer um de 
seus representantes, isto é:o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a 
direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. 
O módulo de V se indica por V ou por V . 
 
Vetores iguais 
Dois vetores são iguais se e somente se forem eqüipolentes entre si. 
 
Vetor nulo 
Os segmentos nulos, por serem eqüipolentes entre si, determinam um 
único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que é indicado por 0 . 
 
Vetores opostos 
Dado um vetor ABV = , o vetorBA é o oposto de AB e se indica por –
AB ou por V− . 
 B B 
 V
r
 V
r
− 
 A A 
 
Vetor unitário 
Um vetor é dito unitário quando seu módulo é igual a um, isto é, quando 
V = 1. 
 
 33 
Versor 
Versor de um vetor não nulo V é o vetor unitário de mesma direção e 
mesmo sentido de V . Simbolizando o versor por 0V é calculado pela expressão: 
V
VV0 = 
Exemplo: Determinar o versor do vetor j8i6v rrr +−= 
Solução: 
22o 8)6(
)8;6(
v
+−
−
=
r
 ⇒ 
10
)8;6(
vo
−
=
r
 ⇒ 





−=
5
4;
5
3
vo
r
 
 
Vetores colineares 
São vetores que possuem a mesma direção, isto é, se estão numa 
mesma reta suporte ou em retas suportes paralelas. 
 
Vetores coplanares 
São vetores que pertencem a um mesmo plano ou que possuem repre-
sentantes pertencentes a um mesmo plano. 
 
 
3.2.1. Operações com vetores: 
Os vetores se somam por métodos geométricos. 
 
3.2.1.1. Método do polígono para a soma vetorial: 
Este método de achar o vetor resultante consiste em desenhar a escala 
e, a partir de um ponto qualquer, cada um dos vetores dados, de forma que a origem 
de um deles coincida com o extremo do anterior. A ordem em que se vão tomando os 
vetores é arbitrária. O comprimento do segmento que une o ponto de partida com o 
extremo do último vetor é o módulo tanto do vetor resultante como do vetor equilibran-
te. 
O vetor resultante tem por origem o ponto de partida e por extremo o do 
último vetor, isto é, o vetor equilibrante tem por origem o extremo do último vetor e por 
extremo o ponto de partida. 
 34 
B
r
 
 
 A
r
 C
r
 
 
V
r
 
 
3.2.1.2. Método do paralelogramo para soma vetorial: 
A resultante de dois vetores cujas direções formam um ângulo qualquer 
entre si, se representa por um vetor cuja direção é a diagonal do paralelogramo forma-
do com os vetores dados e cuja origem coincide com a origem comum de ambos indi-
cando assim seu sentido. 
 A
r
 V
r
 
 
B
r
 
α⋅⋅⋅++== cosBA2BAVV 22
r
 
Casos particulares: ângulos de 00, 900 e 1800. 
 
3.2.1.3. Subtração de vetores: 
Para subtrair o vetor B
r
 do vetor A
r
 basta somar, geometricamente, o 
vetor A com o oposto a B
r
, isto é, A
r
 – B
r
 = A
r
 + (– Br ). Para isto é possível utilizarmos 
tanto a regra do polígono como a regra do paralelogramo. 
Ex.: BAV
rrr
−= 
 
 A
r
 B
r
 V
r
 
 V
r
 
 
3.2.1.4. Bases vetoriais: 
Dentre as infinitas bases ortogonais no plano, uma delas é particular-
mente importante. Trata-se da base que determina o conhecido sistema cartesiano or-
togonalxOy. Os vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i
r
 e 
jr , ambos com a origem em o e extremidades em (1,0) e (0,1) respectivamente. 
O vetor será V
r
 = x i
r
 +y jr que poderá ser representado por (x,y) par or-
denado (expressão analítica do vetor ). 
Ex: V
r
 = 3 i
r
 -5 jr ou (3,-5). 
 
 35 
3.3. Módulo de um vetor (Norma ou Comprimento): 
Seja kzjyixV rrrr ++= ou Vr = (x , y , z), então 222 zyxVV ++==r 
Onde V
r
 ou V é o módulo do vetor. 
Pode-se interpretar geometricamente o resultado encontrado do módulo 
como sendo o valor do comprimento do vetor. 
 
3.4. Vetor definido por dois pontos: 
Sendo A = (x1 , y1) e B = (x2 , y2) 
Então AB = B – A logo AB = (x2 , y2) – (x1 , y1) 
AB = (x2 – x1 , y2 – y1) isto é, as componen-
tes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da 
extremidade B as coordenadas da origem A. 
3.4.1. Distância entre dois pontos 
dist (A;B) = AB = 212212 )yy()xx( −+− 
 
3.4.2. Paralelismo de dois vetores 
Dois vetores são paralelos se, e somente se, suas componentes forem 
proporcionais. 
Sendo A = (x1 ; y1) e B (x2 ; y2) a condição de paralelismo será 
==
2
1
2
1
y
y
x
x
constante. 
Exemplo: 
Seja ( )10,6u −=r e ( )5,3v −=r então, 2
5
10
3
6
−=
−
=
−
, logo v//u rr . 
 y 
 
y2 B 
 
 
y1 A 
 
 
 x1 x2 x 
 36 
3.5. Ponto médio de um vetor: 
Seja A = (x1 , y1) e B = (x2 , y2) e M = (x , y) o ponto médio do vetor AB , 
então MBAM = . 
Como AM = (x – x1, y –y1) e MB = (x – x2 , y – y2), pode-se escrever 
que AM = MB = (x – x1 , y – y1) = (x – x2 , y – y2) 
Sendo assim pode-se definir: 
M = (x , y) = ( )
2
yy,xx 2121 ++
 
 
3.6. Produto Escalar entre vetores 
Produto escalar e “ vu rr • ” ou produto interno. 
Chama-se produto escalar dos vetores kzjyixu 111
rrrr
++= e kzjyixv 222
rrrr
++= 
como sendo o número real 212121 zzyyxxvu ⋅+⋅+⋅=⋅
rr
 
 
Exemplos: 
 
1) Seja k2j5i2u rrrr −+= e k4j2i3v rrrr ++= . 
Então, 8vu)4()2()2()5()2()3(vu =⋅∴⋅−+⋅+⋅=⋅ rrrr . 
2) Seja k4i3u rrr += e k3j6i2v rrrr −+= . 
Então 6vu)3()4()6()0()3()2(vu −=⋅∴−⋅+⋅+⋅=⋅ rrrr 
 
Propriedades do Produto Escalar 
 
Decorrem da definição as seguintes propriedades: 
 
a) 2uu.u rrr = ; 
b) u.vv.u rrrr = ; 
c) w.uv.u)wv.(u rrrrrrr +=+ e w.vw.uw)v.u( rrrrrrr += ; 
d) )v.u()v..(uv).u.( rrrrrr α=α=α 
 
Ângulos entre Vetores 
 v
r
 
 vu
rr
− 
 α 
 
 u
r
 
 
Sendo ur e vr vetores diferentes de zero e α o ângulo entre eles, pode-
mos constatar através de operações geométricas (lei dos cossenos e lei dos senos) 
 37 
que α= cosv.uv.u rrrr com 0° ≤ α ≤ 180º, então o produto escalar entre dois vetores não 
nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo formado entre eles 
 
Exemplo: 
Seja )2,5,2(u −=r e )4,2,3(v =r , determinar o ângulo entre ur e vr . 
 
Solução: 
α= cosv.uv.u
rrrr
 
 
2
1
2
2
2
1212121 zyxzzyyxx ++=++
. 
α++ coszyx 22
2
2
2
2
 
 
α++−++=−++ cos.)4()2()3(.)2()5()2()4).(2()2).(5()3).(2( 222222 
 
6+10-8 = αcos.29.33 
 
957
8
cos)29).(33(
8
cos =α∴=α 
 






=α −
957
8
cos 1 
 
α = 75° 46’ 
Exercícios propostos 
 
1) Determine o ângulo entre os seguintes pares de vetores 
 
a) k3j2i3 rrr +− e k2j3i rrr ++ resp.= 80° 9’ 26” 
b) ji2 rr + e j2i4 rr − resp.= 53° 7’ 48” 
c) ji rr − e j2i4 rr −− resp.= 108° 26’ 5” 
d) k2ji2 rrr +− e k2j3i rrr ++ resp.= 74° 29’ 55” 
 
2) Determinar os ângulos internos do triângulo cujos vértices são representados pe-
los pontos A(0, 4, 1), B(2, 1, 3) e C(3, 3, 5) 
Resp. A
)
= 36° 2’ 23” B
)
= 90° C
)
= 53° 57’ 36” 
 
 
Condição de Ortogonalidade de dois Vetores: 
 
Dois Vetores são Ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre 
eles for 0. Então vu rr ⊥ se 0v.u =rr 
 
 38 
Exemplo: 
Seja )2,3,2(u −−=r e )2,2,1(v =r , 
então 0462)2).(2()2).(3()1).(2(v.u =−+−=−++−=rr 
logo vu rr ⊥ . 
 
Exercícios propostos 
 
1) Provar que os seguintes pares de vetores são ortogonais 
 
a) ir e kr 
b) k4j10i8u rrrr ++= e k6j4i2v rrrr +−= 
c) )4,4,0(u −−=r e )2,2,0(v −=r 
 
 
Ângulos Diretores e cossenos Diretores de um vetor. 
 
 z 
 u
r
 
 γ 
 k
r
 β 
 α jr y 
 i
r
 
 x 
 
Ângulos diretores de ur são os ângulos βα, e γ que ur forma com os ve-
tores j,i rr e kr , respectivamente 
 
Cossenos diretores de vr são os cossenos de seus ângulos diretores, 
respectivamente, cosα , cosβ e cos γ . 
 
i.u
i.u
cos rr
rr
=α 
u
x
cos r=α 
 
j.u
j.u
cos rr
rr
=β 
u
y
cos r=β 
 
k.u
k.u
cos rr
rr
=γ 
u
z
cos r=γ 
 
então 
u
)z,y,x()cos,cos,(cos
u
u
rr
r
=γβα= 
 
 39 
observe que os cossenos diretores são precisamente os componentes do versor de ur , 
e como o versor é um vetor unitário, tiramos γ+β+α 222 coscoscos 
 
Ex. 
1) Seja k3j2i6u rrrr +−= então seus ângulos diretores são: 
''78,931
7
6
cos o=α∴=α 
 
''' 57,536106
7
2
cos o=β∴−=β 
 
''' 233764
7
3
cos o=γ∴=γ 
 
2) Os ângulos diretores de um vetor são oo 45,60 e .γ 
 
1coscoscos 222 =γ+β+α 
1cos45cos60cos 222 =γ++ oo logo o60=γ ou o120 
 
Projeção Ortogonal de um Vetor sobre o Outro. 
 
Dados os vetores ur e vr não nulos e α o ângulo entre eles. 
Duas situações são possíveis, sendo α um ângulo agudo ou obtuso. 
 
 v
r
 v
r
 
 
 
 α α 
 
 Pv u
r
 Pv u
r
 
 
O vetor projeção é dado por u
uu
uv
vP
r
rr
rr
⋅





•
•
= 
Exemplo: 
Determinar o vetor projetção de kji2v rrrr ++⋅= sobre kj2i3u rrrr −+⋅= . 
 Solução: 
uv
rr
• = 2.(3) + 1.(2)+1.(– 1) = 7 
uu
rr
• = (3)² + (2)² +(– 1)² = 14 
u
uu
uv
vP
r
rr
rr
⋅





•
•
= = ( ) 





−=−⋅





2
1
,1,
2
31,2,3
14
7
 
 
 40 
3.7. Produto Vetorial entre vetores 
Produto Vetorial entre dois vetores kzjyixu 111
rrrr
++= e 
kzjyixv 222
rrrr
++= , aplicados nesta ordem e representados por vu rr × , que se lê, (ur 
vetorial vr ) o qual faremos uso de determinantes, teorema de Laplace ou regra de Sar-
rus. 
k
zy
yxj
zx
zx
i
zy
zy
vu
22
11
22
11
22
11
rrrvr
+−=×
 
ou 
222
111
zyx
zyx
kji
vu
rrr
rr
=×
 
 
Estas maneiras práticas nos propiciam facilidades. 
Note que fazemos uso de determinantes apesar de não ser determinante, pois a primei-
ra linha é formada por vetores e não escalares. 
 
Exemplo: 
Calcule vu
rr
× , sendo kj3i2u
rrrr
−+=
 e k6j5i4v
rrrr
+−=
 
 
Solução 










−
−=×
654
132
kji
vu
rrr
rr
 
a) Aplicando a regra de Sarrus 
j12i5k12j4k10i18vu rrrrrrrr −−−−−=×
 
k22j16i13vu rrrrr −−=×
 
b) Aplicando o teorema de Laplace 
k
54
32j
64
12
i
65
13
vu
rrrrr
−
+
−
−
−
−
=×
 
( ) ( ) ( ) k1210j412i518vu rrrrr −−+−−−=×
 
k22j16i13vu rrrrr −−=×
 
 
 41 
Considerações sobre vu
rr
×
 
 
1º. ( )vuvu rrrr ×−=× o produtovetorial não é comutativo. 
2º. vu
rr
× = 0 se, e somente se u
r
// v
r
. 
3º. o vetor vu
rr
×
 é simultaneamente ortogonal a u
r
e v
r
. 
 
v
r
 
 
vu
rr
×
 
 
 
 
u
r
 
 
Exemplo: 
Dados os vetores u
r
= ( 2,0,3 ) e vr = ( 0,1,4 ) provar que vu rr × é perpen-
dicular aos vetores u
r
e v
r
. 
 
Solução 
( )2,8,3
410
302
kji
vu −−==×
rrr
rr
 
então: 
( ) ( ) ( ) 06063,0,22,8,3uvu =++−=⋅−−=⋅× rrr
 
( ) ( ) ( ) 08804,1,02,8,3vvu =+−=⋅−−=⋅× rrr
 
 
 
Módulo do Produto Vetorial 
 
Quaisquer que sejam os vetores não nulos ur e vr , obtém-se através de 
igualdades algébricas, θ⋅⋅=× senvuvu
rrrr
. Onde θ é o ângulo entre os vetores u
r
 e v
r
. 
 
 
v
r
 
 
 
 
 
 θ 
 
u
r
 
 
 42 
Interpretação Geométrica do módulo do Produto Vetorial. 
 
Dado o paralelogramo definido pelos vetores u
r
 e v
r
 
 
 
v
r
 
 
 h 
 
 θ 
 
 
u
r
 
 
A área deste paralelogramo é dada por Área = (base) (altura) no caso a 
base é u
r
 e a altura h é θ⋅ senv
r
, então: 
Área = vusenvu rrrr ×=θ⋅⋅ logo “o módulo do produto vetorial é numeri-
camente igual a área do paralelogramo determinado pelos vetores u
r
 e v
r
. 
 
Exemplo: 
Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores k4j3i2u
rrrr
−+=
 
e kjiv
rrrr
−−=
. 
 
Solução: 
Área = vu
rr
×
 
k5j2i7
111
432
kji
vu
rrr
rrr
rr
−−−=
−−
−=×
 
Área = |(– 7, – 2, – 5)| = ( ) ( ) ( )222 527 −+−+− = 78 
 
 
Exercícios de Fixação: 
1) Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos A(3,2,1); B(3,3,2) e 
C(3,2,2). Resposta: A = 0,5 
 
2) Determine os ângulos internos do triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2,1), 
B(5,1,3) e C(3,0,4). Resposta: =Aˆ 32º 8’ 1’’ ; =Bˆ 63º 32’ 55’’ ; =Cˆ 84º 19’ 4’’ 
 43 
 
3) Determine a área do paralelogramo formado pelos pontos A(2,4,1), B(4,5,3), 
C(3,3,4) e D(1,2,2). Resposta: 25 
 
4) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores ur = (2,0,-5) e vr = (0,-1,4). 
 
5) Determinar um vetor de módulo 5 ortogonal a ur = (2,4,6) e vr = (2,4,4). 
Resposta: ( )0,5,52v −=r ou ( )0,5,52v −=r 
 
6) Dados os vetores ur = (2,0,-2) e vr = (3,1,0), calcular: 
a) A área do paralelogramo determinado por ur e vr ; 
b) A altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor ur . 
Resposta: a) ± 6 , 63 ; b) 2 , 34 
 
7) Calcule a distância do ponto P(4,2,–2) à reta que passa por dois pontos distintos 
A(2,1,1) e B(3,–1,0). Resposta : 3 , 54 
 
8) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores ur = (2,3,1) e vr = (1,5,-3). 
Resposta: 17 , 15 
 
3.8. Produto Misto entre vetores 
O produto misto entre três vetores v,u rr e wr , é dado utilizando o produto 
escalar e o produto vetorial. Sendo os vetores kzjyixu 111
rrrr
++= , kzjyixv 222
rrrr
++= 
e kzjyixw 333
rrrr
++= definimos o produto misto e indicamos como )).(()),.(( wvuwvu rrrrrr ×× 
ou simplesmente ( )w,v,u rrr . 
 
 Então: 
( ) ( )
333
222
111
333
222111
zyx
zyx
zyx
zyx
zyx
kji
.z,y,xwv.u ==×
rrr
rrr
 
 
Exemplo: 
Calcular o produto misto entre os vetores ( ) ( )2,3,5v,4,0,6u == rr e 
( )5,0,6w =r . 
 44 
 Solução: 
( ) 18
506
235
406
w,v,u ==
rrr
 
 
Obs: O produto misto é uma determinante e para tanto as suas propriedades são váli-
das, porém algumas não possuem sentido como por exemplo, adicionar uma fila à ou-
tra. 
Se dois dos vetores forem paralelos o produto misto é zero, pois os ve-
tores são coplanares. 
 
Exemplo: 
Verificar se os vetores ki3u
rrr
−= , k2ji5v rrrr ++= e k4ji5w rrrr ++= são 
coplanares. 
Solução: ( ) 6
415
215
103
w,v,u =
−
=
rrr
 
Como 6 0≠ os vetores não são coplanares. 
 
Interpretação Geométrica do módulo do Produto Misto. 
 
Sua principal aplicação é na Geometria, pois o valor absoluto do Produto Misto é o vo-
lume do paralelepípedo formado pelos vetores não-coplanares. 
 
Volume = (área da base) . (altura) 
 
θ×= cos.w.vuV
rrr
 
 
 θ w
r
 h vr ( )vu.wV rrr ×= 
 
( )w,v,uV rrr= 
 u
r
 
 
 
Exemplo. 
 45 
Qual o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
kji3wek2jiv,kj5i2u rrrrrrrrrrrr +−=++−=++= 
Solução: 
( ) 39
113
211
152
w,v,uv =
−
−==
rrr
 
Exercícios de fixação: 
 
1) Determinar o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
( ) ( ) ( )5,1,2we4,1,5v,3,1,4u −=== rrr resp. = 6 
 
2) Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores 
a) ( ) ( ) ( )0,2,1we1,0,1v,2,3,0u === rrr resp = 7 
b) ( ) ( ) ( )0,3,1we1,0,2v,1,1,1u =−== rrr resp = 5 
 
3) Dados os vetores ( ) ( ) ( )3,k,2we0,3,2v,2,4,5u === rrr , calcular o valor de k para 
que o volume determinado pelos vetores wevu rrr, seja 5 unidades de volume. 
Resp. = 1k ± ou 
2
7
− 
4) Verificar se os vetores são coplanares 
a) ( ) ( ) ( )2,1,1we3,2,2v,3,1,1u ==−= rrr resp sim 
b) ( ) ( ) ( )4,1,2we7,6,5v,3,0,1u −=== rrr resp não 
 
5) Calcular a distância do ponto D(2, 5, 2) ao plano determinado pelos pontos A(3, 
0,0), B(0, -3, 0) e C(0, 0, 3). Resp. = 2,31 
 
6) Calcular o volume do tetraedro ABCD cujos lados são 
( ) ( ) ( )0,0,4DAe1,1,0CA,0,1,1BA −=== rrr resp = 
3
2
 
 
7) Calcular o volume e a altura do paralelepípedo formado pelos vetores 
( ) ( ) ( )1,1,2we0,1,0v,0,2,2u −−−==−= rrr relativa à base determinada pelos vetores 
veu
rr
 resp. v = 2 h = 1 
 
8) Representar graficamente o tetraedro ABCD e calcular seu volume, dados A(1, 1, 
0), B(6, 4, 1), C(2, 5, 0) e D(0, 3, 3). resp. = 9,5