Prova 02 Cálculo A 2015/1

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Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01199 - Cálculo A
Segunda Verificação 2015/1
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Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h40min. (2) Calculadoras não podem ser
usadas; você pode escrever à lapis. (3) A correta interpretação dos enunciados faz parte
da verificação. Leia atentamente. (4) Nesta prova: e = número de Euler.
Questão 1. (1.5pt) Qual é a maior área possível de um triângulo retângulo cuja
hipotenusa mede 10cm ? Quais as dimensões de tal triângulo ?
Questão 2. (2.0pt) Relativamente a y� = y −√y, y > 0:
(a) Identifique os valores de equilíbrio. Quais são estáveis e quais instáveis ?
(b) Faça a reta de fase e identifique os sinais de y� e y��;
(c) esboçe curvas solução para vários y(0) ≥ 0.
Questão 3. (1.5pt) Uma empresa foi contratada para cunhar moedas para o
governo federal. Que variação dr pode ser tolerada no raio r das moedas para
que o peso das moedas não exceda 1/1000 do peso ideal ? Suponha que não
haja variação da espessura das moedas.
Questão 4. (2.0pt) ESCOLHA e resolva DOIS ITENS:
(a)
� √
3
0
4x√
x2 + 1
dx
(b)
dy
dx
= x
√
2 + 3x , y(0) = 2
(c)
�
e
1
ln(x)
x2
dx
Questão 5. (1.5pt) Calcule a área da região compreendida entre a curva y =
−x2 − 2x e a reta y = x− 10.
Questão 6.(1.5pt) Calcule o volume do sólido obtido com a rotação, em torno
do eixo x, da região limitada pelos gráficos de y = e−x, y = 1
4
e x = 0.