Relatório Experimental 3 - Movimento Harmônico Amortecido e Experiência de Cavendish

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RELATÓRIO EXPERIMENTAL 
 
 
Movimento Harmônico Amortecido e Experiência de Cavendish 
Aluno: Jonathan Georg Rieff (cartão: 00231418) 
Professor: Jonder Morais 
 
Resumo: O presente relatório trata de dois experimentos: Movimento harmônico amortecido e a experiência de 
Cavendish. Os objetivos principais são: entender o movimento harmônico amortecido na forma de gráfico e obter 
β e descobrir experimentalmente o valor da Constante de Gravitação Universal 𝐺. Utilizando-se modelos 
matemáticos preestabelecidos para as devidas experiências, pudemos obter que 𝛽 = 1,12 ± 0,02𝑠−1 , 𝑡1
2⁄
=
0,573 ± 0,00015𝑠 e 𝐺 = 6,64. 10−11 ± 0,2. 10−11 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2. 
 
Introdução 
 
Neste relatório, vamos explorar duas experiências realizadas em sala de aula. Uma delas é chamada 
de Movimento harmônico simples a outra de Experiência de Cavendish. Nossa primeira experiência consiste 
em utilizar um pêndulo formado por uma haste, um fio pouco extensível com uma bola de pingue-pongue 
em sua ponta e um sensor de movimento para que, ao pôr o pêndulo a oscilar horizontalmente possamos 
capturar o período de nossa oscilação e também a velocidade máxima do movimento. O objetivo deste 
experimento é entender o movimento harmônico amortecido na forma de gráfico e obter β. Para isso, será 
utilizado um modelo matemático já preestabelecido onde a amplitude é dada por 𝐴(𝑡) = 𝐴0. е
−𝛽𝑡. Na segunda 
experiência temos como objetivo obter a Constante de Gravitação Universal 𝐺, através de uma experiência 
que foi realizada pela primeira vez por Henri Cavendish, entre 1797 e 1798, utilizando-se de uma balança 
de torção idealizada por Coulomb em 1784, para medir forças eletrostáticas. Neste experimento foi usada 
uma balança similar, onde duas esferas pequenas são presas em um suporte e suspensas por um fio 
metálico muito fino. Ao se aproximar dois pesos às esferas, pode-se perceber uma pequena perturbação no 
equilíbrio, causada pela gravidade, fazendo com que ocorra uma oscilação na balança. É possível 
determinar o valor da constante medindo o período desta oscilação e algumas distâncias, especificadas 
mais adiante. 
 
Materiais Utilizados 
 
Movimento harmônico amortecido: 
 Haste metálica; 
 Bola de pingue-pongue; 
 Fio pouco extensível; 
 Um cronômetro (precisão ms) ligado a um sensor de movimento; 
 Régua (mm). 
 Paquímetro, com precisão de 0,05 𝑚𝑚 
 
Experiência de Cavenish: 
 Balança de torção; 
 Laser comum; 
 Espelhos; 
 Cronômetro manual (precisão 0,01 𝑠) 
 
Sistema de Montagem e Coleta de Dados 
 
 Movimento harmônico amortecido: 
Para realizar as medidas, foi posicionado o sensor do 
cronômetro abaixo do pêndulo no nível do centro de massa da bola. 
Para medir a amplitude inicial, a régua foi deixada na horizontal com o 
zero coincidindo com o ponto de equilíbrio do pêndulo. Um esquema do 
material montado pode ser visto ao lado (Figura 1). Os dados coletados 
para experiência foram: 
Diâmetro da bola de pingue-pongue (utilizando-se do 
parquímetro); Período (utilizando-se do cronômetro com sensor de 
movimento no modo “pend”); Amplitudes (utilizando-se de uma fórmula Figura 1: montagem movimento 
harmônico amortecido 
dada por 𝐴(𝑡) =
𝑣𝑚𝑎𝑥𝑇
2𝜋
, sendo que 𝑣𝑚𝑎𝑥 =
𝑑
∆𝑡
). Obs: a Régua somente serviu para ter uma base de que altura 
estávamos soltando o pêndulo. A amplitude utilizada nos cálculos foi obtida através das formulas 
apresentadas anteriormente. 
 
 Experiência de Cavendish: 
 Para realizar as medidas necessárias, a balança foi posicionada a uma distância 𝐿 de um anteparo, 
munido de uma régua. Para determinar a amplitude, foi projetado o laser à um espelho, fixado à balança, e 
este, por sua vez, fez refletir a luz até outro espelho e ao anteparo. Esta projeção da luz possibilitou uma 
melhor visualização da perturbação causada pelos pesos ao se aproximarem. Para um melhor 
entendimento, segue abaixo uma representação gráfica da balança utilizada: 
 
Figura 2: Balança de torção 
 Onde o suporte das esferas grandes pode girar de modo a se aproximarem de uma ou outra esfera 
pequena. Isso permite que, após partir de uma posição de equilíbrio, onde as esferas estão mais próximas, 
para uma posição oposta, a balança de torção começa a oscilar devido à mudança no diagrama de forças. 
Em outra representação, e especificando algumas distâncias, pode-se verificar a mesma balança vista de 
cima (Figura 3) e é possível ver a projeção do laser através dos espelhos até o anteparo na Figura 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 3: Balança vista de cima Figura 4: Projeção do laser 
 
 As medidas efetuadas foram: 
 A diferença entre a posição do laser no anteparo antes e depois da oscilação, 𝑆; 
 O período de oscilação da balança, 𝑇. 
Outras medidas, também necessárias para estimar a constante, foram fornecidas pelo professor na 
proposta do experimento. As medidas são: 
 A distância percorrida pelo feixe de luz da balança ao anteparo, 𝐿; 
 A distância mínima entre as esferas de diferentes tamanhos, 𝑟; 
 A metade da distância entre as esferas menores, 𝑑; 
 A massa de uma esfera grande, 𝑀. 
Para o período, foram registradas as medidas do feixe de luz no anteparo de dez em dez segundos. 
Desta forma, foi possível estruturar um gráfico dessa medida em função do tempo. A distância entre os 
máximos ou mínimos absolutos da linha formada no gráfico nos forneceu o período. O valor de 𝑥 foi 
obtido através do Teorema de Pitágoras, onde: 𝑥 = √(2𝑑)2 + 𝑟2. 
 
Dados Experimentais e Análise de Dados: 
 
Movimento Harmônico Amortecido: 
 Diâmetro da bola de pingue-pongue, 𝑑 = 0,0380 ± 0,0005𝑚 
 Período de oscilação, 𝑇 = 3,1530 ± 0,00005𝑠 
Nesse experimento foi posto o pêndulo a oscilar e com o cronômetro e o sensor pudemos obter o 
tempo em que a bolinha passava no sensor, ou seja, quando ela entrava no laser do sensor até a saída 
do laser. Assim obtemos o ∆𝑡 para cada velocidade máxima e então a Amplitude da oscilação. Também 
conseguimos, desta forma, o tempo total de 10 medidas, 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1,762 ± 0,0005𝑠. . Segue a tabela 1: 
𝑣
max(
𝑚
𝑠 )±(0,001)
 ∆𝑡(𝑠) ± 0,0005 𝐴(𝑚) ± 0,0015 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑠) ± 0,0005 
1,027 0,0370 0,5153 0,0370 
0,826 0,0460 0,4145 0,1250 
0,666 0,0570 0,3342 0,2340 
0,559 0,0680 0,2805 0,3660 
0,469 0,0810 0,2354 0,5230 
0,404 0,0940 0,2027 0,7070 
0,345 0,1000 0,1731 0,9210 
0,301 0,1260 0,1510 1,1660 
0,271 0,1400 0,1350 1,4420 
0,234 0,1620 0,1174 1,7620 
Tabela 1: velocidade máxima, tempo de passagem, amplitude e tempo total 
 
Podemos verificar, através da análise do Gráfico 1(anexado na última página) ou da equação 
 𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝛽𝑡, que o decaimento tem caráter logarítmico. A fim de se obter o parâmetro 𝛽, pode-se 
linearizar a equação da amplitude transformando-a em uma reta. Para isso, basta calcular o logaritmo 
natural nos dois lados da equação. Desta forma: ln(𝐴(𝑡)) = 𝑙𝑛𝐴0е
−𝛽𝑡 
ln(𝐴(𝑡)) = 𝑙𝑛𝐴0 + [−𝛽𝑡𝑙𝑛(е)] 
ln(𝐴(𝑡)) = 𝑙𝑛𝐴0 − 𝛽𝑡 
Para criar um gráfico da reta com os dados experimentais, foi necessário calcular o logaritmo 
natural das amplitudes obtidas na Tabela 1. Pode-se conferir os dados abaixo: 
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑠) ± 0,0005 ln (𝐴) ± 0,001 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝑠) ± 0,0005 ln (𝐴) ± 0,001 
0,0370 -0,663 0,7070 -1,596 
0,0790 -0,789 0,8110 -1,754 
0,0250 -0,880 0,9210 -1,754 
0,1770 -1,004 1,0400 -1,832 
0,2340 -1,096 1,1660 -1,890 
0,2980 -1,210 1,3020 -1966 
0,3660 -1,272 1,4420 -2,002 
0,4420 -1,386 1,6000 -2,117 
0,5230 -1,446 1,7620 -2,142 
0,6130 -1,552 1,9290 -2,168 
Tabela 2: tempo total e ln(A) 
Utilizando a ferramenta de gráficos do programa Microsoft Word, foi obtida a equação linear da reta 
dos pontos experimentais: 𝑦 = −1,21𝑥 − 1,0727 (ver Gráfico 2). Esta retapode ser interpretada como 
ln(𝐴(𝑡)) = 𝑙𝑛𝐴0 − 𝛽𝑡, onde, ln (𝐴0) = −1,073 ± 0,0015) e 𝛽 = 1,12 ± 0,02𝑠
−1. Com o parâmetro 𝛽 já 
definido, foi calculado o tempo de meia vida 𝑡1
2⁄
, que nos mostra o tempo que leva para a amplitude 
diminuir à metade. Para isso, foi usado a equação do logaritmo da amplitude, onde a amplitude escolhida 
foi a metade da inicial. Desta forma, obtemos: 𝑡1
2⁄
=
ln (2)
𝛽
, assim : 𝑡1
2⁄
= 0,573 ± 0,00015𝑠. 
 
Gráfico 2: ln da amplitude x Tempo (s) 
y = -1,21x - 1,0727
-3
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Ln
 d
a 
A
m
p
lit
u
d
e
Tempo (s)
 Experiência de Cavendish: 
 𝐿 = 12,155𝑚 
 𝑆 = 0,0501 ± 0,0024𝑚 
 𝑚 = 0,020𝑘𝑔 
 𝑀 = 1,5𝑘𝑔 
 𝑟 = 0,0468𝑚 
 𝑑 = 0,05𝑚 
 𝑥 = 0,11𝑚 
Os dados da Posição do laser em função do tempo são visualizados através do gráfico 3. 
 
 
Gráfico 3: decaimento da amplitude 
 
Aplicando média aritmética nos pontos de máximos e mínimos relativos obtemos que o período 
 𝑇 = 220,00 ± 0,01 𝑠. Utilizando de um modelo já preestabelecido dada por: 
 
𝐺 = 2𝜋2
𝐿
𝑇2
(
𝑆
𝑅
)
𝑟2
𝑀(1−
𝑟3
𝑥3
)
, 
e tendo todos os valores necessário obtemos que 𝐺 = 6,64. 10−11 ± 0,2. 10−11 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2. 
O valor encontrado de 𝐺 é apenas uma aproximação do valor verdadeiro. Pode-se estimar 
inúmeras fontes de erros relacionados ao experimento que fazem com que este erro aumente. Entre eles 
temos o fato de que os valores que formam o Gráfico 1 foram medidos usando-se duas pessoas, onde 
uma marcava o tempo em um cronômetro e outra a amplitude do laser. Este processo, por ser manual, 
acarreta um certo grau de imprecisão. Outra fonte de erro que pode alterar o valor final foi descrita 
anteriormente em uma observação, onde foi constatado que o valor inicial não pôde ser verificado com 
precisão devido à balança estar com uma leve oscilação. 
 
Conclusão: 
Através de toda essa análise pudemos entender como funciona o movimento harmônico simples, 
obter que 𝛽 = 1,12 ± 0,02𝑠−1 e ainda determinar quanto seria a meia vida 𝑡1
2⁄
= 0,573 ± 0,00015𝑠. 
Descobrimos experimentalmente quanto vale a Constante Gravitacional Universal 𝐺 = 6,64. 10−11 ±
0,2. 10−11 𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2 chegando em um valor muito próximo do valor teórico 𝐺𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 =
6,67428. 10−11𝑚3𝑘𝑔−1𝑠−2. 
 
Referências: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_gravitacional_universal, 20 de abril 2015 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Oscilador_harm%C3%B4nico, 22 de abril 2015 
17
19
21
23
25
27
29
31
33
0 100 200 300 400 500 600 700
P
o
si
çã
o
 x
 (
cm
)
Tempo (s)