P3_CalculoI_2010_1_chave_corr

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Universidade Federal do Espir´ıto Santo
Terceira prova de Ca´lculo 1 - manha˜
Vito´ria, 2 de julho de 2010
Questa˜o 1:
(a) Seja u = 2x2+3. Enta˜o du = 4x dx. Para x = 0, u = 3 e para x = 1, u = 5. Substituindo
na integral temos:
∫ 1
0
x
√
2x2 + 3 dx =
1
4
∫ 5
3
√
u du =
1
4
∫ 5
3
u1/2 du =
1
4
[
u3/2
3/2
]5
3
=
1
6
(
53/2 − 33/2) =
=
(
5
√
5
6
−
√
3
2
)
(b) Fatorando o denominador temos x3 + 2x2 + x = x(x+ 1)2.
Uando frac¸o˜es parciais, e´ poss´ıvel determinar A, B e C tais que
3x2 + 4x+ 2
x3 + 2x2 + x
=
A
x
+
B
x+ 1
+
C
(x+ 1)2
.
Calculando os valores das constantes encontramos A = 2, B = 1 e C = −1. Substituindo
na integral:∫
3x2 + 4x+ 2
x3 + 2x2 + x
dx =
∫
2
x
+
1
x+ 1
− 1
(x+ 1)2
dx = 2
∫
1
x
dx+
∫
1
x+ 1
dx−
∫
1
(x+ 1)2
dx =
= 2 ln |x|+ ln |x+ 1|+ 1
x+ 1
+ k, k ∈ R.
(c) Podemos reescrever a integral da seguinte forma:∫
x3 cos(x2) dx =
∫
xx2 cos(x2) dx.
Seja w = x2. Enta˜o dw = 2x dx. Substituindo na integral temos
∫
xx2 cos(x2) dx =
1
2
∫
w cosw dw.
Agora, sejam u = w, com du = dw e dv = cosw dw com v = senw. Integrando por partes
temos que
1
2
∫
w cosw dw =
1
2
(
w senw −
∫
senw dw
)
=
1
2
(w senw + cosw) + k.
Voltando para a varia´vel original temos que:∫
x3 cos(x2) dx =
1
2
∫
w cosw dw =
1
2
(w senw + cosw) + k =
=
1
2
(
x2 sen(x2) + cos(x2)
)
+ k, k ∈ R.
(d) Completando o quadrado no denominador temos que
x2 + 2x+ 5 = (x+ 1)2 + 4.
Enta˜o
I =
∫
1
x2 + 2x+ 5
dx =
∫
1
(x+ 1)2 + 4
dx =
∫
1
4[ (x+1)
2
4
+ 1]
dx =
1
4
∫
1(
x+1
2
)2
+ 1
dx.
Seja u = x+1
2
, com du = 1
2
dx. Substituindo na integral:
I =
1
4
∫
1(
x+1
2
)2
+ 1
dx =
1
2
∫
1
u2 + 1
du =
1
2
arctg u+ k, k ∈ R.
Voltando a` varia´vel original, temos que
I =
∫
1
x2 + 2x+ 5
dx =
1
2
arctg u+ k =
1
2
arctg
(
x+ 1
2
)
+ k, k ∈ R.
Questa˜o 2: Pontos de intersec¸a˜o entre as curvas: x = −1 e x = 3. Enta˜o
A´rea =
∫ 3
−1
10− x2 − (x2 − 4x+ 4) dx =
∫ 3
−1
−2x2 + 4x+ 6 dx =
=
[
−2x
3
3
+
4x2
2
+ 6x
]3
−1
=
64
3
obs: o gra´fico das func¸o˜es esta´ no anexo gra´fico1.gif.
Questa˜o 3: Pontos de intersec¸a˜o entre as curvas: x = 0 e x = 1. Enta˜o
Volume =
∫ 1
0
A(x) dx =
∫ 1
0
pi(
√
x)2 − pix2 dx = pi
∫ 1
0
x− x2 dx = pi
[
x2
2
− x
3
3
]1
0
=
= pi
[
1
2
− 1
3
]
=
pi
6
obs: o gra´fico das func¸o˜es esta´ no anexo gra´fico2.gif.
2