Serie de Taylor

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Departamento Matemática - DFQ
Cálculo Integral e Diferencial II Profa Elisabete de Mello Magalhães
Séries Matemáticas:
Série de Taylor
Departamento de Engenharia Elétrica -DEE :Aluno:
Angelo Antonio de Carvalho Bonvicine – RA 142054909
	11/09/2015
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO	...............................................................................3
2 SÉRIES MATEMÁTICAS...............................................................4
3 SÉRIE DE TAYLOR......................................................................5
3.1	História.....................................................................................5
3.2 Definição...................................................................................5
3.3	Aplicação .................................................................................7
4 REFERÊNCIAS..............................................................................8
1 - Introdução
Iremos abordar neste trabalho conhecimentos referentes a séries matemáticas, apresentando suas histórias, além de conceitos formais e práticos, e nos aprofundar no que se refere a série ou equação de Taylor, definindo sua estrutura e apresentando uma aplicação nas áreas de engenharia e física.
2 – Séries Matemáticas
A consideração de somas infinitas é um problema estreitamente ligado ao problema da passagem ao limite. A falta por longo período de conceitos adequados e de uma teoria razoável levou os matemáticos a numerosas especulações e paradoxos a respeito da natureza das séries infinitas, a exemplo do paradoxo de Zenão.
O paradoxo de Zenão segundo Aristóteles em Física VI, 239 b 9 se consiste basicamente em decompor o movimento em um número infinito de partes. Pressupondo de que é impossível realizar infinitos movimentos em tempo finito, o deslocamento torna-se impossível. O experimento mental tradicional propõe uma competição entre o herói Aquiles e uma tartaruga. A tartaruga parte com uma vantagem inicial. É impossível que Aquiles alcance a tartaruga, porque, quando Aquiles atinge a posição inicial da tartaruga (A), ela já avançou para o ponto (B). Quando Aquiles chega ao ponto (B), a tartaruga já está em (C e assim até o infinito.
O matemático e astrônomo Madhava foi o primeiro, no século XIV, a considerar tais séries. Seus trabalhos receberam continuidade por seus sucessores da escola de Kerala, região ao sul da Índia e foram registrados no livro Yuktibhasa. Madhava se dedica ao estudo das funções trigonométricas, propondo-lhe desenvolvimento em séries de Taylor e em séries trigonométrica. Ele utiliza esses conceitos para o cálculo de aproximações (notavelmente para estimar o valor numérico da constante ) e estabelece estimativas para o erro assumido. Também introduz os primeiros critérios de convergência.
No século XVII, James Gregory redescobre vários desses resultados, em especial o desenvolvimento de séries trigonométricas em séries de Taylor e sua série que permita calcular o valor numérico de . Em 1715, Brook Taylor, ao publicar a construção geral das séries que recebem seu nome, estabelece uma frutífera ligação da teoria de séries infinitas com o cálculo diferencial.
3 – Série de Taylor
	Na matemática, a Série de Taylor é uma representação de uma função com soma infinita de termos que são calculados através de valores da derivada dessa função em um único ponto.
3.1 – História
O conceito de uma série Taylor foi formulado pelo matemático escocês James Gregory e formalmente introduzida pelo matemático Inglês Brook Taylor em 1715. A função pode ser aproximada por meio de um número finito de termos de sua série de Taylor. Teorema de Taylor dá estimativas quantitativas sobre o erro introduzido pelo uso de tal aproximação. O polinômio formado tomando alguns termos iniciais da série de Taylor é chamado de um polinômio Taylor. A série de Taylor de uma função é o limite de polinômios Taylor da função com o aumento dos graus, desde que o limite exista. 
3.2 – Definição
Seja : I⟶R uma função que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo real I. O polinômio de Taylor de ordem n de no ponto c, que denotaremos como Pn(x), é dado por :
 
 Observamos que x = c, Pn(c) =.
Exemplo:
Determinaremos o polinômio de Taylor de ordem 4 na função no ponto c = 0.
Temos, , assim,
 
Portanto:
Esse polinômio de Taylor de grau 4 da função no ponto c = 0
	Dado então o polinômio de grau n de uma função, denotaremos por a diferença entre e . (figura 3.1.1)
		 figura 3.1.1 – fonte [1]
Temos então que 
 (1)
Para os valores de x nos quais apresenta um valor “pequeno”, o polinômio se aproxima bem da , dessa forma nosso se chama resto. Podemos determinar o resto através da Formula de Taylor com resto de Lagrange, obtida combinando a equação (1) na sua forma de formula de Mac-Laurin, onde o c = 0, e atribuindo definições de derivada.
 (2)
Onde z é um termo entre c e x.
Existe uma outra forma mais refinada de encontrar o resto, que é através da formula do Integral do resto, essa possui uma dedução complexa, dessa forma, definiremos diretamente como:
 (3)
Fonte[1]
3.3– Aplicação	
Dentre as aplicações da série de Taylor, na física e na engenharia, ela se torna presente nas teorias de Movimento Harmônico, no pêndulo simples por exemplo, temos uma série de Taylor em seno em seu período, quando tratamos de ângulos que sejam grandes:
 (4) 
Em grande parte dos cálculos, são utilizados ângulos muito pequenos, para justamente reduzir a série e simplificar a equação:
Fonte[2]
4 – Referências
[1]- Livro: Diva, Flamming, Calculo A, 12° ed, Makron Books
[2]- Livro: Halliday Resnick, Fundamentos da Física VOL II, 9°ed
[3]- Livro: Guidorizzi, H. L. Um Curso de C´alculo, vol 1, 5 ed., LTC Editora, 2001.
[4]- https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series (traduzido pelo autor) 
 Link acessado em 07/09/2015
[5]- Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira MAT145 - Calculo II - IO – 2° semestre de 2010. 
Material disponível em: http://www.ime.usp.br/~oliveira/MAT145FORMULATAYLOR.pdf
 Link acessado em 07/09/2015