P3_ALGEBRA (4)

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA DO CCE – UFES 
 
Terceira Prova de Álgebra Linear – 2011/2 
 
Aluno:____________________________________________________________________ 
Data: 29/11/2011 
 
 
Questão 1 (2,0 pontos) 
Sejam 1P o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 1 e { }x,xB 210361 ++= e 
{ }x,B 2322 += bases de 1P . Encontre as matrizes de transição de 2B para 1B e de 1B para 2B . 
 
 
Questão 2 (3,0 pontos) 
Sejam ( ) ( ){ }12101 ,,,B = e ( ) ( ) ( ){ }1101000112 −= ,,,,,,,,B bases de 2ℜ e 3ℜ , respectivamente, e 
32 ℜ→ℜ:T a transformação linear cuja matriz em relação às bases 1B e 2B é 
 
[ ]









 −
=
02
20
01
12 ,BB
T . 
 
a) Determine a matriz canônica de T. 
b) Determine [ ]
1, BB
T , sendo B a base canônica de 3ℜ . 
c) Determine uma base 3B de 3ℜ tal que 
 
[ ]










=
00
10
01
13 , BB
T . 
 
 
Questão 3 (3,0 pontos) 
Para cada um dos operadores lineares de 3ℜ abaixo, verifique se existe uma base B de 3ℜ tal que a matriz 
[ ]BT seja diagonal. Caso exista tal base B, encontre-a, determine [ ]BT e determine uma matriz invertível P 
tal que [ ]PTP 1− seja diagonal, sendo [ ]T a matriz canônica de T. 
 
a) ( ) ( )zx,zyx,zxz,y,xT 42324 ++++= . 
b) ( ) ( )zy,zy,yxz,y,xT 422 +−+= . 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
Sejam T o operador linear de 3ℜ que leva cada vetor em seu simétrico em relação ao plano 02 =+− zyx e 
[ ]T a matriz canônica de T. Resolva os itens abaixo sem determinar ( )z,y,xT . 
 
a) Existe uma base B de 3ℜ tal que [ ]BT seja diagonal? Caso afirmativo, determine tal base B e [ ]BT . 
b) Existe uma matriz ortogonal P tal que [ ] PTPT seja diagonal? Caso afirmativo, determine as matrizes P e 
[ ] PTPT .