Função Composta e Regra da Cadeia

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Função Composta e Regra 
da Cadeia
Profª Ana Paula
Função Composta
O que é composição?
O que é composição de funções?
Definição de Função Composta
 Dadas duas funções 𝑓 e 𝑔, a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 (também chamada de 
composição de f e g) é definida por
 𝒇 ∘ 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙
Exemplo 1
 Se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 𝑒 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3, encontre as funções compostas 
𝒇 ∘ 𝒈 , 𝒈 ∘ 𝒇 , 𝒇 ∘ 𝒇 e 𝒈 ∘ 𝒈
 SOLUÇÃO
 𝒇 ∘ 𝒈 =
 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝐟 𝐠 𝐱
 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝐟 𝐠 𝐱 = 𝐟 𝐱 − 𝟑
 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝐟 𝐠 𝐱 = 𝐟 𝐱 − 𝟑 = 𝐱 − 𝟑 𝟐
 𝒈 ∘ 𝒇 =
 𝒈 ∘ 𝒇 = 𝒈 𝒇 𝐱
 𝒈 ∘ 𝒇 = 𝒈 𝒇 𝐱 = 𝒈 𝒙𝟐
 𝒈 ∘ 𝒇 = 𝒈 𝒇 𝐱 = 𝒈 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐 − 𝟑
 𝒇 ∘ 𝒇 = 𝒇 𝒇 𝐱
 𝒇 ∘ 𝒇 = 𝒇 𝒇 𝐱 = 𝒇 𝒙𝟐
 𝒇 ∘ 𝒇 = 𝒇 𝒇 𝐱 = 𝒇 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐
𝟐
 𝒇 ∘ 𝒇 = 𝒇 𝒇 𝐱 = 𝒇 𝒙𝟐 = 𝒙𝟐
𝟐
= 𝒙𝟒
 𝒈 ∘ 𝒈 = 𝒈 𝒈 𝐱
 𝒈 ∘ 𝒈 = 𝒈 𝒈 𝐱 = 𝒈 𝒙 − 𝟑
 𝒈 ∘ 𝒈 = 𝒈 𝒈 𝐱 = 𝒈 𝒙 − 𝟑 = 𝐱 − 𝟑 − 𝟑 =
 𝒈 ∘ 𝒈 = 𝒈 𝒈 𝐱 = 𝒈 𝒙 − 𝟑 = 𝐱 − 𝟑 − 𝟑 = 𝐱 − 𝟔
Observações
A notação 𝒇 ∘ 𝒈 significa que a função g é 
aplicada primeiro, e depois f é aplicada
Em geral: 𝒇 ∘ 𝒈 ≠ 𝒈 ∘ 𝒇
Exemplo 2:
 Se 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑒 𝑔 𝑥 = 2 − 𝑥 encontre:
 A) 𝒇 ∘ 𝒈
 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒇 𝒈 𝒙 = 𝒇 2 − 𝑥 = 2 − 𝑥
 B) 𝒈 ∘ 𝒇
 𝒈 ∘ 𝒇 = 𝒈 𝒇 𝒙 = 𝒈( 𝑥) = 2 − 𝑥
 C) 𝒇 ∘ 𝒇
 𝒇 ∘ 𝒇 = 𝒇(𝒇 𝒙 = 𝒇 𝑥 = 𝑥 = 𝟒 𝒙
 D) 𝒈 ∘ 𝒈 =
 𝒈 ∘ 𝒈 = 𝒈 𝒈 𝒙 = 2 − 2 − 𝑥
É possível fazer a composição de três ou 
mais funções...
 Por exemplo, a função composta 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 pode ser 
encontrada calculando-se primeiro h, então g e depois f:
 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 𝒙 = 𝒇(𝒈 𝒉 𝒙 )
 Exemplo: Encontre 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 se 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥+1
, g 𝑥 = 𝑥10 e 
ℎ 𝑥 = 𝑥 + 3
 𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥+1
, g 𝑥 = 𝑥10 e ℎ 𝑥 = 𝑥 + 3
 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙 =
 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 + 𝟑 =
 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 + 𝟑 = 𝒇 𝒙 + 𝟑 𝟏𝟎 =
 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒉 𝒙 = 𝒇 𝒈 𝒙 + 𝟑 = 𝒇 𝒙 + 𝟑 𝟏𝟎 =
𝒙+𝟑 𝟏𝟎
𝒙+𝟑 𝟏𝟎+𝟏
Exemplo 3: Dada a Função 𝐹 𝑥 = cos2(𝑥 + 9), 
encontre as funções f, g e h tais que 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ
 Solução:
 Uma vez que 𝐹 𝑥 = cos2(𝑥 + 9), a fórmula para F dita que:
 Primeiro adicionemos 9, 
 Então tomemos o cosseno do resultado
 E, finalmente, o quadrado.
 Assim fazemos:
 ℎ 𝑥 = 𝑥 + 9 g 𝑥 = cosx f 𝑥 = 𝑥2
 Então:
 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = f(g h x = f g x + 9 =
 = f cos x + 9 = cos x + 9 2 =
 = cos2 x + 9 = F(x)
Encontre as funções...
 A) 𝒇 ∘ 𝒈 , 𝒈 ∘ 𝒇
 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1, g 𝑥 = 2𝑥 + 1
 2) 𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥, g 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
 B) 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉
 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, g 𝑥 = 2𝑥, ℎ 𝑥 = 𝑥 − 1
 2) f 𝑥 = 𝑥 − 3, g 𝑥 = x2, ℎ 𝑥 = 𝑥3 + 2
Expresse as funções na forma:
 A) 𝒇 ∘ 𝒈
 1) F 𝑥 = 𝑥2 + 1 10
 2) F 𝑥 =
3 𝑥
1+3 𝑥
 B) 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉
 1) H 𝑥 = 1 − 3𝑥
2
 2) H 𝑥 = sec4 𝑥
Exercícios
 2.10 – pág 22,
 nº 19 (só função composta)
 Nº 20
A Regra da Cadeia
Se g for derivável em x e f for derivável em g(X), 
então a função composta 𝐹 = 𝑓 ∘ 𝑔, definida por 𝐹 =
𝑓(𝑔 𝑥 ) será derivável em x e F’ será dada pelo 
produto
𝐹′ = 𝑓′(𝑔 𝑥 ). 𝑔′(𝑥) (I)
Na notação de Leibiniz, se y=f(u) e u=g(x) forem 
funções deriváveis, então

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(II) 
Exemplo 01
 Seja 𝐹 = 𝑥2 + 1
 Solução:
 1º Passo: é uma função composta?
 SIM
 Então deveremos usar a regra da Cadeia
 2º Passo - Quem é g(x) e quem é f(x)?
 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1
 𝑓 𝑥 = 𝑥
 4º Passo – Derivamos g(x) 
 5º Passo – Derivar f(x) e aplicar a g(x) em f’(x). Ou seja, f’(g(x))
 6º Passo – Multiplicar os resultados do 4º e 5º passos.
Exemplo 2: 
Derive 𝐹 𝑥 = 4𝑥2 + 1 3
É uma função composta?
Quem é f e g?
Exemplo 3:
 Derive as mesmas funções anteriores usando a fórmula II da definição de Regra 
da Cadeia:

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
(II) 
 a) 𝐹 = 𝑥2 + 1
 b) 𝐹 𝑥 = 4𝑥2 + 1 3
a) 𝐹 = 𝑥2 + 1
u = x2 + 1 ⇒

𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑢 ⇒

𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
2
𝑢−
1
2
.: 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2
𝑢−
1
2. 2x

𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2x
2 𝑥2+1
=
x
𝑥2+1
Observações
 1) A Fórmula II é fácil de ser lembrada. O enunciado formal sugere uma 
“divisão” simbólica de du no numerador e denominador do segundo 
membro. Ou seja, se 
𝑑𝑦
𝑑𝑢
e 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
fossem quocientes, então poderíamos 
cancelar.
 2) Ao usarmos a Regra da CADEIA trabalhamos de fora para dentro. A 
Fórmula I diz que derivamos a função de fora f [na função de dentro g] 
então multiplicamos pela derivada da função de dentro.

𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑔′ 𝑥
função 
de fora
Derivada 
da 
função 
de fora
Derivada 
da 
função 
de 
dentro
calculada
na 
função 
de 
dentro
calculada
na 
função 
de 
dentro
Exemplo
 Derive: 𝑦 = 𝑥3 − 1 100
 Se 𝑦 = 𝑥3 − 1 100, a função de fora é a função potência 𝑥100 e a função de dentro 
é a função do 3º grau.
 Logo a Regra da Cadeia dá:
 𝑦 = 𝑥3 − 1 100 ⇒ 𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑓′ 𝑔 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
 𝑔 𝑥 = 𝑥3 − 1 ⇒ 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥2
 𝑓 𝑥 = 𝑥100 ⇒ 𝑓′ 𝑥 = 100𝑥99, então 𝑓′ 𝑔 𝑥 = 100 𝑥3 − 1 99
 𝑦′ = 𝑥3 − 1 100
′
= 100 𝑥3 − 1 99. 3𝑥2 = 300𝑥2 𝑥3 − 1 99
Derivada 
da 
função 
de fora
Derivada 
da 
função 
de 
dentro
calculada
na 
função 
de 
dentro
Exercícios em grupo
Forme Grupos de 3 ou 4 alunos. Cada grupo deverá 
resolver os exemplos abaixo e expor o resultado no 
quadro.
 Derive:
 Grupo 1
1. ℎ 𝑥 =
2
𝑥−1
5
2. f 𝑥 = 5 𝑥2 + 3
3. f 𝑥 = 3𝑥2 + 2 𝑥2 − 5𝑥 3
Grupo 2:
1. y = 𝑥2 + 5𝑥 + 2 7
2. y =
3𝑥+2
2𝑥+1
5
3. f 𝑥 =
1
4𝑥3+5𝑥2−7𝑥+8
4. y = 3𝑥2 + 1 3 𝑥 − 𝑥2 2
5. Grupo 3
6. f 𝑥 =
3
6𝑥2 + 7𝑥 + 2
7. y = 𝑥8 + 2𝑥 + 4 3 + 𝑥
8. g 𝑡 =
𝑡2
3
𝑡3+1
9. f 𝑥 = 3𝑥 8𝑥3 − 2