lista_calculo1_04_2012

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Ca´lculo I
Unifesp - 1o semestre de 2012
Lista de Exerc´ıcios 4
1. Calcule as integrais a` seguir
(a)
∫ 5
1
(2 + 3x− x2) dx (Resposta: 8/3)
(b)
∫ 1
0
dx√
1−x2 (Resposta:
pi
2
)
(c)
∫ 1
0
(3 + x
√
x) dx (Resposta: 17
5
)
(d)
∫
(1− t)(2 + t2) dt (Resposta: 2 t+ t3
3
− t2 − 1/4 t4 + C)
(e)
∫
x+1
x
dx (Resposta: x+ ln|x|+ C)
(f)
∫ (
x2 + 1 + 1
x2+1
)
dx (Resposta: x
3
3
+ x+ tan−1 (x) + C)
(g)
∫
( 5
u2+1
− 7
u
)du (Resposta: 5arctan(u)− 7ln|u|+ C)
(h)
∫ pi/2
0
(2ex + 4cos(x))dx (Resposta: 2epi/2 + 2)
(i)
∫ sen(2x)
sen(x)
dx (Resposta: 2sen(x) + C)
(j)
∫ pi/4
0
1+cos2(x)
cos2(x)
dx (Resposta: 1 + pi/4)
(k)
∫
(3ex +
√
5
x
)dx (Resposta: 3ex + 2
√
5x+ C)
(l)
∫ pi
0
(4sen(θ)− 3cos(θ)) dx (Resposta: 8)
2. Determine a a´rea limitada pelo eixo das abscissas, a curva y =
√
x e as retas x = 2
e x = 4 utilizando dois me´todos diferentes:
(a) Soma de Riemann, dividindo o intervalo em n=2 partes, tomando como pontos
amostrais as extremidades esquerdas dos subintervalos (Resposta:
√
2+
√
3u.a.)
(b) Integral definida (Resposta: 16
3
− 4
√
2
3
u.a.)
Compare os resultados.
3. Determine a a´rea limitada pela curva y = x3− x, o eixo x e as retas x = −1 e x = 1.
Resposta: 1
2
u.a.
4. Determine a a´rea da regia˜o limitada pela para´bola x = y2 − 4 e pelo eixo y.( Su-
gesta˜o: considere y como varia´vel independente e x como varia´vel dependente) Res-
posta: 32
3
u.a.
1
5. Um ve´ıculo move-se em linha reta, sendo que a sua velocidade varia com o tempo de
acordo com a func¸a˜o v(t) = t2−2t−8. A a´rea sob a curva de um gra´fico de velocidade
por tempo equivale a` distaˆncia percorrida, enquanto que a integral definida em um
certo intervalo de tempo representa o deslocamento. Calcule a distaˆncia percorrida
e o deslocamento do ve´ıculo no intervalo 1 ≤ t ≤ 6. (Resposta: -3,33 e 99,33)
6. Determine qual das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira. (Sugesta˜o: na˜o e´ necessa´rio
fazer as integrais indefinidas para verificar se o resultado, sendo dado, e´ correto ou
na˜o!)
(a) A integral
∫
dx
x2
e´ 1
x3
+ C
(b) A integral de
∫ 2
1
(
1
x
+ 1
x3
)
dx e´ 8 ln(2)+1
8
(c) y = x ln(x)− x+ C na˜o e´ o resultado da integral definida ∫ ln(x) dx
(d)
∫
sen3(x)cos(x)dx = 1
4
sen4(x) + C
(e)
∫
x
1+x4
dx = arctg(x2) + C
(Resposta: D)
7. Ca´lcule as integrais indefinidas a` seguir.
(a)
∫
dx
(b)
∫
(x2 + 2x+ 4)dx
(c)
∫
(x3 + x
2
3 )
√
xdx
(d)
∫
(8x3 + 5x4 − 7√x)dx
(e)
∫ (
3u2 − 1
u
+
√
u
u
)
du
Resposta:
(a) x+ C
(b) x
3
3
+ x2 + 4x+ C
(c) 2
9
√
x9 + 6
13
6
√
x13 + C
(d) 2x4 + x5 − 14
3
√
x3 + C
(e) u3 − ln|u|+ 2√u+ C
8. Ache a equac¸a˜o da curva para o qual d
3y
dx3
= 12x, x = 1 e´ abscissa do ponto de inflexa˜o,
a declividade no ponto onde x = 1 e´ −3 e ela tem um zero em x = 2. (Resposta:
y = x
4
2
− 3x2 + x+ 2)
9. Determine y = y(x) tal que
(a)
dy
dx
= x2
Resposta: y = x
3
3
+ C
2
(b)
dy
dx
= x2, y(0) = 2
Resposta: y = x
3
3
+ 2
3