limites_aula_4

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Ca´lculo I
Prof. Dennis Bessada
UNIFESP - 1o semestre de 2012
Limites - Aula 4
1 Limites infinitos
1.1 Motivac¸a˜o
• Nas aulas anteriores vimos como calcular limites de func¸o˜es que, aparentemente, sa˜o
malcomportadas para um determinado valor x = a.
• Enta˜o, buscamos simplificac¸o˜es na forma das respectivas func¸o˜es para podermos cal-
cular, via a propriedade de substituic¸a˜o direta, o valor do limite das mesmas.
• Pore´m, ha´ casos em que tais simplificac¸o˜es na˜o sa˜o poss´ıveis, como no caso da func¸a˜o
a seguir:
f(x) =
1
x2
(1)
x f(x)
± 1 1
± 0.5 4
± 0.2 25
± 0.1 100
± 0.05 400
± 0.01 10.000
± 0.001 1.000.000
• Com isso, a` medida que x tende a zero, f(x) = 1/x2 assume valores cada vez maiores,
sem se aproximar de um valor limite.
1
• Do mesmo modo, para a func¸a˜o f(x) = −1/x2,
x f(x)
± 1 -1
± 0.5 -4
± 0.2 -25
± 0.1 -100
± 0.05 -400
± 0.01 -10.000
± 0.001 -1.000.000
• Com isso, a` medida que x tende a zero, f(x) = −1/x2 assume valores cada vez
maiores em valor absoluto, pore´m negativos, sem se aproximar de um valor
limite.
1.2 Definic¸o˜es
Definic¸a˜o - Limite infinito Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto,
possivelmente, em a. Enta˜o,
lim
x→a
f(x) =∞ (2)
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (ta˜o
grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas na˜o igual a a.
Definic¸a˜o - Limite infinito Seja f uma func¸a˜o definida em ambos os lados de a, exceto,
possivelmente, em a. Enta˜o,
lim
x→a
f(x) = −∞ (3)
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes, pore´m
negativos, tomando x suficientemente pro´ximo de a, mas na˜o igual a a.
1.3 Exemplos
Pelas definic¸o˜es anteriores, fica claro que
• lim
x→a
1
x2
=∞
• lim
x→a
(
− 1
x2
)
= −∞
2
Para limites infinitos, temos tambe´m a existeˆncia de limites laterais:
3
Definic¸a˜o - Ass´ıntotas verticais A reta x = a e´ chamada ass´ıntota vertical da curva
y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condic¸o˜es estiverem satisfeitas:
lim
x→a
f(x) =∞ lim
x→a−
f(x) =∞ lim
x→a+
f(x) =∞
lim
x→a
f(x) = −∞ lim
x→a−
f(x) = −∞ lim
x→a+
f(x) = −∞
(4)
Exemplo:
• Encontre lim
x→3+
2x
x− 3 e limx→3−
2x
x− 3
(Resoluc¸a˜o no quadro.)
O gra´fico da func¸a˜o e´:
2 Limites no infinito
2.1 Motivac¸a˜o
• Tratamos anteriormente o caso func¸o˜es que se tornam arbitrariamente grandes a`
medida que x→ a. Nesse caso, a e´ um nu´mero.
• Analisaremos, agora, o caso em que e´ a varia´vel x que tenda ao infinito.
• Consideremos, como exemplo, o caso da func¸a˜o
f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
(5)
cujo gra´fico e´ dado por:
4
Nesse caso, pelas pro´prias propriedades do gra´fico, vemos que:
lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
= 1. (6)
Definic¸a˜o - Limite no infinito Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo (a,∞).
Enta˜o,
lim
x→∞
f(x) = L (7)
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente pro´ximos de L tomando x
suficientemente grande.
Definic¸a˜o - Limite no infinito negativo Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo
(−∞, a). Enta˜o,
lim
x→−∞
f(x) = L (8)
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariamente pro´ximos de L tomando x
suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.
Definic¸a˜o - Ass´ıntota horizontal A reta y = L e´ chamada ass´ıntota horizontal da
curva y = f(x) se
lim
x→∞
f(x) = L, ou lim
x→−∞
f(x) = L. (9)
Um limite no infinito muito importante e´ o de uma func¸a˜o rec´ıproca,
f(x) =
1
x
(10)
5
Pelo gra´fico da func¸a˜o rec´ıproca,
fica claro que
lim
x→∞
f(x) =
1
x
= 0, , lim
x→−∞
f(x) =
1
x
= 0. (11)
Teorema Se r > 0 for um nu´mero racional, enta˜o
lim
x→∞
1
xr
= 0 (12)
Se r > 0 for um nu´mero racional tal que xr seja definida para todo x, enta˜o
lim
x→−∞
1
xr
= 0. (13)
2.2 Exemplos
II.4 Encontre os limites para as func¸o˜es dadas abaixo:
• (a) lim
x→∞
x2 − 1
x2 + 1
; lim
x→−∞
x2 − 1
x2 + 1
6
• (b) lim
x→∞
3x2 − x− 2
5x2 + 4x + 1
• (c) lim
x→∞
√
2x2 + 1
3x− 5
• (d) lim
x→∞
(√
x2 + 1− 1
)
3 Limites infinitos no infinito
3.1 Motivac¸a˜o
• Nessa aula discutimos os limites infinitos, onde o valor de f(x) torna-se arbitraria-
mente grande para valores de x se aproximando de um determinado nu´mero a.
• Tambe´m discutimos os limites no infinito, onde o valor de f(x) torna-se arbitraria-
mente pro´ximo de um nu´mero L para valores de x suficientemente grandes.
• Em ambos os casos ha´ um valor finito para o qual ou x tende, ou f(x).
• Ha´ casos, pore´m, em que tanto x quando f(x) assumem valores arbitrariamente
grandes. Nesse caso, temos os limites infinitos no infinito:
II.5 Encontre os limites para as func¸o˜es dadas abaixo:
• (a) lim
x→∞
x3; lim
x→−∞
x3
• (b) lim
x→∞
x2 + x
3− x
• (c) lim
x→∞
√
x2 − 4x + 3
3x− 4
7