teoria limites e derivadas 3

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LIMITES INFINITOS E 
NO INFINITO
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LIMITES NO INFINITO
• Até agora estudamos situações de
limites de uma função quando 𝑥 se
aproxima de um número real 𝑎.
• No entanto há casos em que queremos
analisar o comportamento de uma
função 𝑓 𝑥 quando 𝑥 cresce ou
decresce infinitamente.
Fonte: STEWART (2005).
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lim
'→)
1
𝑥
= 0, lim
'→.)
1
𝑥
= 0
Dizemos que 𝑓(𝑥) possui limite 𝐿 quando 𝑥
tende a +∞, e escrevemos
lim
'→)
𝑓 𝑥 = 𝐿
Se, à medida que 𝑥 se distancia da origem
no sentindo positivo, 𝑓(𝑥) fica cada vez
mais próximo de 𝐿.
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LIMITES NO INFINITO
Dizemos que 𝑓(𝑥) possui limite 𝐿 quando 𝑥
tende a −∞, e escrevemos
lim
'→.)
𝑓 𝑥 = 𝐿
Se, à medida que 𝑥 se distancia da origem
no sentindo negativo, 𝑓(𝑥) fica cada vez
mais próximo de 𝐿.
DEFINIÇÕES
• As propriedades dos limites que já estudamos não se alteram quando substituímos 𝑥 → 𝑎 por 𝑥 → +∞ ou 𝑥 → −∞
• O símbolo ∞ não representa um número real
Teorema
Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então:
lim
'→±)
1
𝑥7
= 0
lim
'→±)
𝑘 = 𝑘
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LIMITES NO INFINITO
Exemplo 1 - lim
'→9)
3 + ;
'
5
LIMITES NO INFINITO
Exemplo 2 - lim
'→.)
< =�
'?
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LIMITES NO INFINITO
Limites de Funções Racionais 
quando 𝒙 → ±∞
Neste caso podemos dividir o numerador e o denominador pela maior potência de 𝑥 que
aparece no denominador.
1. Numerador e Denominador de mesmo grau:
lim
'→9)
3𝑥= + 5𝑥 − 3
2𝑥= + 1
7
Limites de Funções Racionais 
quando 𝒙 → ±∞
2. Grau do Numerador menor que o grau do denominador
lim
'→.)
2𝑥 + 3
3𝑥C − 2
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Limites de Funções Racionais 
quando 𝒙 → ±∞
3. Grau do Numerador maior que o grau do Denominador
lim
'→.)
2𝑥= + 4𝑥 − 5
3𝑥 + 4
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Limites de Funções Racionais 
quando 𝐱 → ±∞
Dica: No cálculo de limites no infinito de funções racionais, poderemos considerar apenas
o limite no infinito do quociente entre os termos de maiores graus, tanto no numerador,
como no denominador.
lim
'→9)
3𝑥F − 2𝑥= + 5𝑥 − 1
2𝑥G + 5𝑥C − 2𝑥=
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LIMITES INFINITOS 
• Às vezes, o valor da função tende a
assumir um valor muito grande ou muito
pequeno, ou seja, ele tende a assumir
um valor que vai a +∞ ou a −∞	a
medida que a variável 𝑥 se aproximar
de um certo valor.
lim
'→I
1
𝑥=
= ∞
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Fonte: STEWART (2005).
LIMITES INFINITOS 
Seja 𝑓(𝑥)uma função definida em ambos
os lados de 𝑎, exceto possivelmente em 𝑎.
Então
lim
'→J
𝑓(𝑥) = ∞
significa que podemos fazer os valores de
𝑓(𝑥) ficarem tão grandes quanto
quisermos, tomando valores de 𝑥
suficientemente próximos de 𝑎 , mas não
igual a 𝑎.
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DEFINIÇÕES
Seja 𝑓(𝑥) uma função definida em ambos
os lados de 𝑎, exceto possivelmente em 𝑎.
Então
lim
'→J
𝑓(𝑥) = −∞
significa que podemos fazer os valores de
𝑓(𝑥) ficarem tão grandes, porém negativos,
quanto quisermos, tomando valores de 𝑥
suficientemente próximos de 𝑎 , mas não
igual a 𝑎.
Teorema
Se 𝑛 é um número inteiro positivo, então:
lim
'→IK
1
𝑥7
= +∞
lim
'→IL
1
𝑥7
= M +∞, 𝑠𝑒	𝑛	é	𝑝𝑎𝑟−∞, 𝑠𝑒	𝑛	é	í𝑚𝑝𝑎𝑟
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LIMITES INFINITO
Exemplo 1 - lim
'→I	
	(𝑥C + 2 𝑥? + ;
'U
)
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LIMITES INFINITO
Exemplo 2 -		lim
'→C
'
'.C
 
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LIMITES INFINITO
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2006.
SOARES, Jolena de Santi. Introdução a limites. E-book. Curitiba: Unifacear,
2021.
STEWART, James. Cálculo. Volume I. Edição 4. São Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2005.
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