Sistemas lineares

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35 
SISTEMAS LINEARES 
 
Equação linear: é toda equação da forma: bxaxaxa nn =+++ L2211 , onde naaa ,,, 21 L são números 
reais que recebem o nome de coeficientes das incógnitas nxxx L,, 21 e b é um número real chamado termo 
independente. 
Obs: Quando b = 0, a equação recebe o nome de linear homogênea. 
 
Exemplos: 
Equações Lineares Equações Não-Lineares 
3x – 2y + 4z = 7 xy - 3z + t = 8 
x + y –3z - 7 t = 0 (homogênea) x 2 - 4y = 3t - 4 
–2x + 4z = 3t – y + 4 x - y + z = 7 
 
 
Sistema Linear: Um conjunto de equações lineares da forma: 







=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
L
M
L
L
332211
22323222121
11313212111
 
é um sistema linear de m equações e n incógnitas. 
 
O sistema acima pode ser rescrito na forma de um produto de matrizes AX=B, ou seja: 












=




























m
n
mnmmm
n
n
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
M
M
2
1
3
2
1
321
2232221
1131211
.
...
............
...
...
 
 
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: 
 
















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
............
...
...
21
22221
11211
 . 
















nx
x
x
...
...
2
1
 = 
















nb
b
b
...
...
2
1
 
 ↑ ↑ ↑ 
 matriz constituída matriz coluna matriz coluna 
 pelos coeficientes constituída pelas dos termos 
 das incógnitas incógnitas independentes 
 
 
Solução do Sistema Linear: Chamamos de solução do sistema a n-upla de números reais ordenados 
( )nrrr ,,, 21 L que é, simplesmente, solução de todas equações do sistema. 
 
 
 
 
36 
Matrizes associadas a um Sistema Linear 
Matriz incompleta: É a matriz A, formada pelos coeficientes da incógnitas do sistema. 
Matriz Completa ou matriz aumentada: É a matriz B, que obtemos ao acrescentarmos à matriz incompleta 
uma última coluna formada pelos termos independentes das equações do sistema. 
 
Ex: Considere o sistema: 





=++−
=++
=−+
42
74
032
zyx
zyx
zyx
 
Matriz incompleta: A=










−
−
1 12
1 14 
132 
 
 
Matriz completa: B = 










 
4
7
0
 
1 
1 
1-
 
1
1
3
 
2-
4 
2 
 
 
 
Sistemas Homogêneos: Um sistema é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são 
nulos. 
Ex: 





=+
=−+−
=+−
0 3 2
034
0 23
yx
zyx
zyx
 
Soluções de um Sistema Homogêneo: A n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre solução de um sistema linear 
homogêneo com n incógnitas e recebe o nome de solução trivial. Quando existem, as demais soluções são 
chamadas não-triviais. 
 
Classificação de um sistema linear quanto ao número de soluções 
 
Exemplos: 
S1: 



=−
=+
12
8
yx
yx
 Tem solução única: o par ordenado (3, 5). Portanto, é SPD. 
 
S2: 



=+
=+
1622
8
yx
yx
 Tem infinitas soluções: {(x,8-x)}, Portanto, é SPI. 
 
 
 
37 
S3:



=−−
=+
10
10
yx
yx
 Não tem solução. Portanto, é SI. 
 
Sistema Normal: Um sistema é normal quando tem o mesmo número de equações (m) e de incógnitas (n) e 
o determinante da matriz incompleta associada ao sistema é diferente de zero, ou seja, se m = n e det A ≠ 0, o 
sistema é normal. 
Obs.: Todo sistema normal é possível e determinado, portanto tem solução única. 
 
Ex: Determinar Rk ∈ , de modo que o sistema 



=+
=+
5
3
kyx
ykx
 seja normal. 
Resposta: { }11/ −≠≠∈ kekRk 
 
 
 
Regra de Cramer: 
Todo sistema normal tem uma única solução dada por 
D
D
x ii = , onde { }ni , 3, ,2 ,1 L∈ , D = detA é o 
determinante da matriz incompleta associada ao sistema e iD é o determinante obtido através da 
substituição, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. 
 
Ex: Resolver com o auxílio da Regra de Cramer, os seguintes sistemas: 
a) 



=−
=+
332
72
yx
yx
 
Resposta: S={(x, y)} = {(3, 1)} 
 
b) 





=+−
=−+
=++
++
+
2222
9222
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
 ou 





=+−
=−+
=++
22.22.22
9222.2
7222
11
1
zyx
zyx
zyx
 
Dica: Substituir: cba yx === z2 e 2,2 , obtendo um sistema linear: 





=+−
=−+
=++
222
92
7
cba
cba
cba
 
Resposta: {(2, 1, 0)} 
 
c) 





=−+−
=−−
=++
03
0 2 
043 
zyx
zyx
zyx
 
Resposta: {(0, 0, 0)}. 
 
 
 
 
 
38 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
 
Para discutir um sistema linear de n equações e n incógnitas, calculamos o determinante D da matriz 
incompleta. Assim: 
Se ⇒≠ 0D Sistema é possível e determinado (SPD), ou seja tem solução única. 
Se ⇒= 0D Sistema pode ser possível e indeterminado (SPI) ou impossível (SI). 
 
Observações: 
Se o 0=D , sistema poderá ser SPI ou SI. Para identificar se é SPI ou SI será necessário encontrar todos os 
iD ’s tal que: 
• Se todos os iD forem iguais a 0, é um SPI 
• Se pelo menos um iD diferente de zero, é um SI. 
 
Exemplos: 
S1: 





=+−
=−+
=+−
623
432
3 
zyx
zyx
zyx
, é SPD. 
S2: 





=−+
=−+
=++
0233
43 2
1 2 
zyx
zyx
zyx
, é SI. 
S3: 





−=++−
−=++−
=++
134 
2 2
12 3 
zyx
zyx
zyx
, é SPI. 
 
 
Sistemas equivalentes: Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo conjunto solução. 
Ex: 



=+
=+
=
832
3 
1 yx
yx
S e 



=+
=+
=
52
3 
2 yx
yx
S 
o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos e é único. Logo, 21 e SS são equivalentes: . ~ 21 SS 
 
 
Propriedades dos sistemas equivalentes 
1) Trocando de posição as equações de um sistema, obtem-se um outro sistema equivalente. 
Ex: 





=++
=+
=
=





=+
=
=++
=
 Izyx
III zy
II - zx
S
III z y
II - zx
Izyx
S
)(12 
)(2 
)(3 
 e 
)(2
)(3 
)(12 
21 
 
2) Multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número k, k *R∈ , obtemos um sistema 
equivalente ao anterior. 
Ex: Dado 
( )
( )

=−
=+
=
IIyx
Iyx
S
0 
32 
1 , multiplicando a equação (II) por 3, obtem-se: 



=−
=+
=
03 3
 32 
2 yx
yx
S . 
 
3) Adicionando a uma das equações de um sistema o produto de outra equação desse mesmo sistema por 
um número k, k *R∈ , obtemos um sistema equivalente ao anterior. 
 
 
39 
Ex: Dado 
( )
( )

=−
=+
=
IIyx
Iyx
S
1 
42 
1 , substituindo neste sistema a equação (II) pela soma da equação (I), 
multiplicada por (-1), com a equação (II), obtemos: 
33 
42 
2



−=−
=+
=
y
yx
S 
 
 
Sistema escalonado 
Considerando um sistemas genérico m x n, ou seja: 







=++++
=++++
=++++
=
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
L
M
L
L
332211
22323222121
11313212111
, 
ele está escalonado quandoos coeficientes aij, com i > j , são todos nulos. 
 
Ex: 



=
=−
=
32 
6 3)1 1 y 
yx
S 





=
=−
=+−
=
-54z 
2 32 
9 z 4
)2 2 zy 
yx
S 



=−
=+−
=
0z 4 
8542)3 3 y 
zyx
S 





=
=++
=+−+
=
73 
422 
1232
)4 4
t
tzy 
tzyx
S 
 
Observação: A técnica de escalonar um sistema linear é muito utilizada, pois pode-se encontrar soluções para 
sistemas que não tenham o mesmo número de equações e incógnitas (o que não é permitido na Regra de 
Cramer). Além disso, quando resolver sistemas lineares cujo número de equações (e de incógnitas) excede 
três, não é conveniente utilizar a Regra de Cramer, por se tornar muito trabalhosa. 
 
Procedimentos para escalonar um sistema 
Utilizar as operações elementares. 
 
1) Resolver os sistemas a seguir, por escalonamento: 
a. 





=+
=−+
=+−
2z 2y- x
0 423x
5 z 2
zy
yx
 
Resposta: forma escalonada 





=
−=−
=+
 
 67 8 
2 2 
8
 26
8
13 z
zy
 zyx-
 e solução: {(2, 1, 2)} 
 
 
 
40 
b. 





=+
=++
=+−
22 3
12
32
z - yx
 z yx
 zy x
 
Resposta: forma escalonada 





=
−=−
=+
 2- 0 
 5 5 
3 2 
zy
 zyx-
 e o sistema é impossível. 
 
c. 





−=++
−=+−+
=−++
322 
1 22
6 
t zy- x
tz yx
 t zy x
 
Resposta: forma escalonada 





=−+
=+−−
=−++
 30 612 
13- 3 4 
 6 
tz
tzy
t z yx
 e o sistema possível e indeterminado. 
 
O sistema está escalonado. Entretanto, o número de equações (m) é menor que o número de incógnitas (n). 
Assim, o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções. A diferença entre o número de 
incógnitas (n) e o número de equações (m) de um sistema nessas condições é chamada grau de liberdade 
GL. 











 +
+
−
= α
α
α
α
,
2
5
,3,
2
1S , sendo R∈α . 
Para cada valor que seja atribuído a α , é possível encontrar uma quádrupla que é solução para o sistema. 
 
OBS.: Se GL >1, então escolhe-se valores K , , βα a todas as incógnitas livres (que não iniciam equações). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
EXERCÍCIOS
 
1) Verifique se os sistemas abaixo são normais: 
a) 





−=+−
=++
=++
4z2yx
5z2y3x2
1zyx
 
b) 





=++−
=++
=−−
19z6y6x
17z7y4x
6zy3x
 
c) 





=+
=−+
=++
9y4x3
0zyx
8zy3x2
 
 
2) Determine os valores de k∈R, para que os sistemas sejam normais: 
a) 





=++−
=++−
=++
0kzyx2
0z3kyx
0z2kyx
 
b) 



+=−+
=+−
k31y2x)1k(
k2y4x)1k(
 
c) 





=++
=++
=++
1z9y4xk
7z3y2kx
1zyx
2
 
 
3) Resolva os seguintes sistemas lineares: 
a) 



−=−
=+
4y3x2
5yx3
 
b) 





=++
−=+−
=−+
0zyx2
5z4yx3
9z3y2x
 
c) 



=
−
−
=
−
− 1
3x5
2y7
y3
x21
 
 
4) Determine para quais valores de k o sistema 



=+
=+
2kyx2
3y2x
 é: 
a) possível e determinado; 
b) possível e indeterminado; 
c) impossível. 
 
5) (UFPR) O sistema de equações 





=++
=++
=−+
QPzyx4
6zyx
10z3yx7
 é: 
a) Impossível, se P ≠ -1 e Q ≠ 8. 
 
 
42 
b) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q ≠ 8. 
c) Indeterminado, se P ≠ -1 e Q=8. 
d) Impossível, se P=-1 e Q ≠ 8. 
e) Impossível, se P ≠ -1 e Q=8. 
 
6) Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo: 
a) 



=+
=+
2yx5
1y3x
 
b) 




=++
=+−
0zyx4
6
2
zyx2
 
c) 





=+−
−=−+
=+−
8z3yx3
5z2y2x
9zy3x2
 
d) 





=−+
=−+
=++
6zy4x3
4z2y3x2
2zyx
 
e) 





=+
=+
=−
34y3x5
3yx3
7y4x
 
 
7) (Fatec-SP) Dois casais foram a um barzinho. O primeiro pagou R$ 5,40 por 2 latas de refrigerante e uma 
porção de batatas fritas. O segundo pagou R$ 9,60 por 3 latas de refrigerante e 2 porções de batatas fritas. 
Nesse local e nesse dia, a diferença entre o preço de uma porção de batas fritas e o preço de uma lata de 
refrigerante era de: 
a)R$2,00 b)R$1,80 c)R$1,75 d)R$1,50 e)R$1,20 
 
8) (Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro 
do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há: 
a) igual número de balas dos dois tipos 
b) duas balas de hortelã a mais que de laranja 
c) 20 balas de hortelã 
d) 26 balas de laranja 
e) duas balas de laranja a mais que de hortelã 
 
9) (UCDB-MT) O sistema 







=−−+
=−+−
=−+
=−++−
02572
06104
022
022
zyx
zyx
zyx
zyx
 é: 
a) impossível 
b) homogêneo 
c) determinado 
d) indeterminado com uma variável arbitrária. 
e) Indeterminado com duas variáveis arbitrárias. 
 
10) (Cefet-PR) Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de 
R$370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$2,00 cada, bonecas a R$3,00 e bolas a R$3,50. Se o número 
de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: 
 
 
43 
a) 60 bonecas, 30carrinhos e 30 bolas 
b) 20 bonecas, 40carrinhos e 60 bolas 
c) 30 bonecas, 30carrinhos e 60 bolas 
d) 25 bonecas, 45carrinhos e 70 bolas 
e) 40 bonecas, 20carrinhos e 60 bolas 
 
11) (Unificado- RJ) Para que valores de k existe uma única matriz 





y
x
, tal que ?
0
0
1
21






=





⋅





−
−−
y
x
k
k
 
a) k ≠ -1 
b) k=-2 
c) k=-2 ou k=1 
c) k ≠ -2 e k ≠ 1 
d) k ≠ 2 e k ≠ -1 
 
12) (UF-AL) O sistema 



=−
=+
1
32
ybx
yax
, nas variáveis reais x e y, é: 
a) possível e determinado, ∀ a, b∈R. 
b) possível e indeterminado se a = 2b. 
c) possível e determinado se a ≠ 2b.∀ a, b∈R. 
d) possível e indeterminado se a = -2b. 
e) impossível se a = -2b. 
 
13) (F. M. Triângulo Mineiro-MG) Em três mesas de uma lanchonete o consumo ocorreu da seguinte forma: 
Mesa 
Hambúrguer Refrigerante Porção de fritas 
1ª 4 2 2 
2ª 6 8 3 
3ª 2 3 1 
A conta da 1ª mesa foi R$18,00 e da 2ª mesa R$30,00. Com esses dados: 
a) é possível calcular a conta da 3ª mesa e apenas o preço unitário do refrigerante. 
b) é possível calcular a conta da 3ª mesa, mas nenhum dos preços unitários dos três componentes do lanche. 
c) é possível calcular a conta da 3ª mesa e além disso, saber exatamente os preços unitários de todos os 
componentes do lanche. 
d) não é possível calcular a conta da 3ª mesa, pois deveriam ser fornecidos os preços unitários dos 
componentes do lanche. 
e) é impossível calcular a conta da 3ª mesa e os preços unitários dos componentes do lanche, pois deve ter 
havido um erro na conta da 1ª ou da 2ª mesa. 
 
 
14) Resolva os sistemas abaixo e classifique-os como SPS, SPI ou SI. 
 
a) 





=−+
=++
=−+
12274
5432
432
zyx
zyx
zyx
 
b) 





=+−
=++
=−+
13427
5423
432
xzy
zxy
zyx
 
c) 





=+−
=+−
=+−
12962
5642
432
zyx
zyx
zyx
 
 
 
44 
d) 





=++
=++
=++
11464573221342134670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
 
e) 







=+++
=+++
=+++
=+++
16537
4375
0753
12753
wzyx
wzyx
wzyx
wzyx
 
f) 







=++
=+
=+
=+
0
5
4
2
zyx
yx
zy
zx
 
g) 





−=+
=+−+
=++−
26
0222
12
yx
tzyx
tzyx
 
15) Determine para que valores de m e n o sistema 





=++
=−+
=+−
nmzyx
zyx
zyx
3
42
132
 seja: 
a) Indeterminado 
b) impossível 
 
 
16) Seja o sistema 





−=++−
=+−
=−+
2
52
032
321
321
321
1
xxx
xxx
xxx
:S . 
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S. 
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S. 
 
17) Seja o sistema: 



+=−
−=+
32
93 2
kyx
kyx
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo. 
 
18) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: 



=+
=−
52
1
yx
yx
 e 



=+
−=−
2
1
mynx
nymx
 
 
19) Determine m para que ( )2,1,1 −− seja solução da equação 62 =−+ zymx . 
 
20) Dada a equação 1
32
−=+
yx
, ache α para que ( )1, +αα torne a sentença verdadeira. 
 
21) Expresse matricialmente os sistemas: 
 
 
45 
a) 



=−
=+
03
52
yx
yx
 
b) 





=−+−
=+
−=++
253
0
12
cba
ca
cba
 
 
22) A expressão matricial de um sistema S é: 




−
=










 −
7
4
13
52
b
a
. . Determine as equações de S. 
 
23) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer. 
a) 



−=−
=+
432
52
yx
yx
 
b) 



=+
=−
93
143
yx
yx
 
 
24) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas: 
a) 





=−+
=+−
=−+
3233
932
22
zyx
zyx
zyx
 
b) 





=−−
=−−
=−+
03
05
010
zy
zx
yx
 
 
25) Resolva as equações matriciais: 
a) 





−
=











− 13
9
31
12
y
x
. 
b) 










=




















− 8
2
2
115
632
741
z
y
x
. 
 
26) Discuta os sistemas, analisando o valor de m, k, p e q: 
a) 



=−
=+
myx
ymx 2
 
b) 



=+
=+
2
1
yx
ykx
 
 
 
46 
c) 





=++
=++
=−+
qpzyx
zyx
zyx
4
6
1037
 
 
27) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos. 
a) 



=+−
=−
086
043
21
21
xx
xx
 
b) 





=++
=++
=++
03
0422
0
zyx
zyx
zyx
 
c) 





=+
=−−
=++
04
03
02
yx
zyx
zyx
 
 
28) Determine a e b para que o sistema 



=+
=+
byx
ayx
44
126
seja indeterminado. 
 
29) Calcule os valores de a para que o sistema



=−
=+
04
123
yax
yx
 seja compatível e determinado. 
 
30) Dê os valores de a para que o sistema 





−=+−
=++
−=+−
542
2
zyax
azyx
azy
seja compatível e determinado. 
 
31) Dê o valor de a para que o sistema





=+++
=−+−
=++
054
02
02
azyx
azyx
yax
 seja impossível. 
 
32) Determine o valor de k para que o sistema





−=−
=−
=−
kxy
zx
yz
332
224
143
 seja indeterminado. 
 
33) Ache m para que o sistema 





=++
=−+
=+−
023
054
032
zmyx
zyx
zyx
 tenha soluções próprias. 
 
 
47 
34) Qual o valor de p para que o sistema





=−
=++
=−+
2
0
4
yx
zpyx
zypx
 admita uma solução única? 
35) (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear 





−=+
=+−
=++
2
323
1
kzy
zyx
zyx
é compatível e determinado? 
36) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo: 
a) 





=+
=+−
=++
02
833
132
zy
zyx
zyx
 
b) 



=++
=−+
5232
2
zyx
zyx
 
c) 



=++
=++
032
3
zyx
zyx
 
 
Respostas 
1) a) Sim b) Sim c) Não 
2) a) S={k∈R | k ≠
2
111± } 
b) S={k∈R | k ≠
3
1
− } 
c) S={k∈R | k ≠ 2 e k ≠ 3} 
3) a) S={(1, 2)} 
 b) S={(2, -1, -3)} 
 c)S={(-4, -3)} 
4) a) k ≠ 4 b) ∃/ k ∈ R c) k = 4 
5) d 
6) a) possível e determinado; S=












14
3
,
14
5
 
b)possível e indeterminado; S=






∈α∀





α−
α− R p/ ,4 ,
4
4
 
c) possível e determinado; S= ( ){ }1 ,2,1 − 
d)possível e indeterminado; S= ( ){ }R p/ ,4 ,52 ∈α∀ααα− 
e) sistema impossível; S= { } 
7) b 
8) a 
9) c 
10) e 
11) e 
12) e 
13) a 
14) a) SI (0 = -1) b) SPI S={(x, y, z) = ( )ααα ,103,172 +−− } c) SI (0 = -3) 
d) SPD S={(x, y, z) = (1, -1, 2)} e) SPD S={(x, y, z, w) = (1, -1, 0, 2)} f) SI (0 = -11/2) 
 
 
48 
g) S={(x, y, z, t) = 




 ++−−
α
ααα
,
27
51
,
27
410
,
27
246 } 
15) a) m = 2 e n = 5 b) m = 2 e n ≠ 5 
16) a) é b) não é 
17) k = -3 
18) m = 0 e n = 1 
19) -1 
20) -8/5 
23) a) {(1,2)} b) {(3,2)} 
24) a) {(1,2,3)} b) {(6,4,1)} 
25) a) 





5
2
 b) 










−1
2
1
 
26) a) SPD se 1−≠m SI se m = –1 b) SPD se 1≠k SI se k = 1 
c) SPD se 1−≠p ; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e 8≠q 
27) a) indeterminado. b) indeterminado. c) determinado 
28) a = 6 e b = 8 
29) 6−≠a 
30) { }1 e 4 ≠−≠∈ aa/Ra 
31) 1ou 4 =−= aa 
32) k = 5 
33) 
13
3
=m 
34){ }1−≠∈ p/Rp 
35)





 ≠∈
4
1k/Rk 
36) a) Sistema possível e determinado, com S = {(1,-1,2)} 
b) Sistema possível e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)} 
c) Sistema possível e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)} 
 
 
 
 
49 
APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES 
 
 
1. Três irmãos, Paula, Júlia e André, ao confrontarem suas contas de telefone celular, ficaram curiosos em 
saber quanto custou um minuto de cada tipo de ligação realizada. As rrês contas apresentaram ligações para 
telefones fixos e móveis (celulares) e ligações internacionais para Buenos Aires, onde moram seus primos. 
A tabela informa o tempo (em minutos) das ligações que cada um efetuou e o valor correspondente da conta, 
já descontado o preço da assinatura. 
 Fixo Móvel Internacional 
(Buenos Aires) 
Valor 
Paula 10 min 6 min 2 min 12,20 
Júlia 14 min 4 min 3 min 13,40 
André 8 min 5 min 5 min 14,70 
Vamos denominar x, y e z os preços do minuto de ligação para telefones fixos, para telefones móveis e para 
Buenos Aires, respectivamente. 
Desta forma, 
• A conta de Paula é dada por: 10x + 6y + 2z = 12,20 
• A conta de Júlia é dada por: 14x + 4y + 3z = 13,40 
• A conta de André é dada por: 8x + 5y + 5z = 14,70 
As três equações acima constituem um exemplo de aplicação de sistema linear. 
 
 
 
2. (EU-RJ) Observe a tabela de compras realizadas por Mariana: 
 
Loja Produtos 
Preço unitário 
(R$) 
Despesa (R$) 
Caneta 3,00 
A Lapiseira 5,00 
50,00 
Caderno 4,00 B 
Corretor 2,00 
44,00 
Sabendo que ela adquiriu a mesma quantidade de canetas e cadernos, além do maior número possível de 
lapiseiras, o número de corretores comprados foi igual a: 
a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 
 
 
 
3. (PUC) Alfeu, Bento e Cintia foram a uma certa loja e cada qual comprou camisasescolhidas entre três 
tipos, gastando nessa compra os totais de R$134,00, R$ 115,00 e R$ 48,00, respectivamente. 
Sejam as matrizes: 










=










=
z
y
x
XeA
012
501
430
 tais que: 
• os elementos de cada linha de A correspondem às quantidades dos três tipos de camisas compradas por 
Alfeu (1ª linha), Bento (2ª linha) e Cíntia (3ª linha); 
• os elementos de cada coluna de A Correspondem às quantidades de um mesmo tipo de camisa; 
• os elementos de X correspondem aos preços unitários, em reais, de cada tipo de camisa. 
Nessas condições, o total a ser pago pela compra de uma unidade de cada tipo de camisa é: 
a) R$53,00 b) R$55,00 c) R$57,00 d) R$62,00 e) R$65,00 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
4. (Vunesp-SP) Um orfanato recebeu uma certa quantidade x de brinquedos para ser distribuída entre as 
crianças. Se cada criança receber três brinquedos, sobrarão 70 brinquedos para serem distribuídos; mas, para 
que cada criança possa receber cinco brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos. O número de 
crianças do orfanato e a quantidade x de brinquedos que o orfanato recebeu são, respectivamente: 
a) 50 e 290 b) 55 e 235 c) 55 e 220 d) 60 e 250 e) 65 e 265 
 
 
5. (U.F. Uberlândia-MG) Gumercindo decidiu dividir sua fazenda de 30 alqueires entre seus dois filhos João 
e José. Essa divisão seria diteramente proporcional à produção que cada filho conseguisse em uma plantação 
de soja. Eles produziram juntos 1,5 tonelada de soja, sendo que José produziu 250 kg a mais que João. Como 
foi dividida a Fazenda? 
 
 
6. Ao ser indagado sobre o valor do pedágio, um caixa respondeu: “Quando passaram 2 carros de passeio e 3 
ônibus, arrecadou-se a quantia de R$26,00; quando passaram 2 ônibus e 5 caminhões, a quantia arrecadada 
foi de R$47,00, e quando passaram 6 carros de passeio e 4 caminhões, arrecadou-se a quantia de R$52,00”. 
Qual foi o valor do pedágio para cada tipo de veículo citado?