Lista 09 - Integrais Duplas em Coordenadas Polares - 2022 (1)

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9ª Lista - Resumo Teórico e Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II
Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Em alguns casos uma integral dupla pode ser mais facilmente escrita e resolvida em
coordenadas polares, veja, por exemplo exemplo, o domínio circular R abaixo:
No caso acima, a equação que limita o domínio de integração R é a circunferência uni-
tária: x2 + y2 = 1. Para calcular uma integral dupla nessa região utilizando coordenadas
retangulares teremos um grande trabalho. Porém, se utilizarmos as chamadas coorde-
nadas polares (r, θ), com r e θ sendo as coordenadas radial e angular, respectivamente,
teremos a região completamente descrita por:
R = {(r, θ)|0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Vale lembrar a relação entre as coordenadas polares (r, θ) e as coordenadas retangu-
lares (x, y):
Temos:
r2 = x2 + y2 ⇔ r =
√
x2 + y2
x = r cos θ
y = r senθ
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Cálculo II (Continuação)
Vamos calcular a área, em coordenadas polares, de uma região R limitada por R =
{(r, θ)|a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} (retângulo polar):
Dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de largura ∆r = b−a
n
e o intervalo [α, β]
em n subintervalos de largura ∆θ = β−α
n
. A somatória desses elementos de área resultará
em um valor aproximado para a área total. Essa aproximação vai se tornando cada vez
melhor a medida que aumentamos o número n.
dA = rdθdr ⇒ A =
∫∫
R
dA =
∫ β
α
∫ b
a
rdrdθ
Mudança de coordenadas numa integral dupla:
∫∫
R
f(x, y)dA =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r senθ)rdrdθ
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Exercícios da 9ª Lista
1. Calcule as áreas a seguir utilizando integração dupla em coordenadas polares:
2. Calcule a área total de uma rosácea de quatro laços cujo contorno é definido pela
equação polar r = 2 · sen(2θ). Dado: sen2(x) = 1−cos(2x)
2 .
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3. Determine a área da região interior ao cardioide r = 1 − sen(θ). Dado: sen2(x) =
1−cos(2x)
2 .
4. Calcule a área da região destacada na figura abaixo definida no interior de um
cardioide e externa a uma semi-circunferência de raio unitário, 1 ≤ r ≤ 1 + cos(θ).
Dado: cos2(x) = 1+cos(2x)
2 .
5. Considere o volume de um sólido S limitado por 0 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2, veja figura a
seguir.
(a) A base do sólido S é a região definida pela curva interseção da superfície
z = 1 − x2 − y2 com o plano−xy (z = 0). Represente graficamente a base de
S no plano−xy.
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(b) Calcule o volume de S.
6. Considere o volume de um sólido S limitado por 0 ≤ z ≤ 4 − x2 − y2, veja figura a
seguir.
(a) A base do sólido S é a região definida pela curva interseção da superfície
z = 4 − x2 − y2 com o plano−xy (z = 0). Represente graficamente a base de
S no plano−xy.
(b) Calcule o volume de S.
7. Determine o volume do sólido limitado pelas funções
√
x2 + y2 ≤ z ≤
√
8 − x2 − y2.
8. A densidade superficial de massa em qualquer ponto (x, y) de uma lâmina semicir-
cular D = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 ≤ 1; y ≥ 0} é igual a σ(x, y) =
√
x2 + y2.
(a) Calcule a massa total da lâmina através da integral M =
∫∫
D σ(x, y)dA.
(b) Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina através das integrais
duplas
xCM = 1
M
∫∫
R
xσ(x, y)dA e yCM = 1
M
∫∫
R
yσ(x, y)dA.
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9. Considere uma chapa R eletricamente carregada, veja figura a seguir.
A densidade superficial de cargas, medida em coulomb por metro quadrado, no
ponto (x, y) ∈ R é σ(x, y) = cos(
√
x2 + y2). Calcule a carga total Q da chapa
através da integral dupla Q =
∫∫
R σ(x, y)dA.
10. Resolva os problemas abaixo fazendo a mudança para as coordenadas polares:
(a) Determine o volume do sólido S cujo topo é o plano z = f(x, y) = x e a base
é o semi-disco D = (x, y ∈ R2|x2 + y2 ≤ 25; x ≥ 0).
(b) Calcule a massa M da placa D = {(x, y) ∈ R2|1 ≤ x2 +y2 ≤ 9} cuja densidade
superficial é σ(x, y) =
√
x2 + y2.
(c) Determine a carga elétrica Q de uma placa isolante R = {(x, y) ∈ R2|2 ≤
x2 + y2 ≤ 4; y ≥ 0} cuja densidade superficial de cargas é σ(x, y) = x2 + y2.
Respostas
1. Áreas
(a) 4π u.a.
(b) 3π/2 u.a.
(c) 3π/8 u.a.
(d) 3π/4 u.a.
(e) 16π/3 u.a.
2. 2π u.a.
3. 3π/2 u.a.
4. (π + 8)/4 u.a.
5. (a) A base é a região circular delimitada por x2 + y2 = 1.
(b) π/2 u.v.
6. (a) A base é a região circular delimitada por x2 + y2 = 4.
(b) 8π u.v.
7. V = 2π
3 (83/2 − 43/2) − 16π
3 = 32π
3 (
√
2 − 1) u.v.
8. (a) M = π/3 u.m.
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(b)
(
0, 3
2π
)
9. π
4 [3 sen(3) + cos(3) − 1] C
10. (a) V (S) = 250/3 u.v.
(b) M = 52π/3 u.m.
(c) Q = 3π u.c.
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