Lista de exercicios de derivadas Maximos e Minimos + Gabarito

Prévia do material em texto

Universidade Estadual de Feira de Santana DEXA 
Disciplina: Calculo Diferencial e Integral I-E Curso: Eng Computação 
Prof: Eduardo Sales 
Lista 02 – Parte II Derivadas 
TAXA DE VARIAÇÃO 
1) Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: 
a) a taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este 
varia de 2,5 a 3m. 
b) a taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4m. 
2) Analistas de produção verificaram que, em uma montadora x, o número de peças 
produzidas nas fábricas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado 
por:









84),1(200
40),(50
)(
2
tparat
tparatt
tf
 
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7 
horas? 
b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho? 
3) Um líquido goteja em um recipiente. Após t horas, há 5t – t
1/2 
 litros no recipiente. Qual a 
taxa de gotejamento de líquido no recipiente, em L/hora, quando t = 16 horas? 
4) Suponha que um corpo em movimento retilíneo tenha função horária definida por 
2( ) 12 2s t t t 
e no instante t=0 ele inicia o movimento. Considere o espaço medido em 
metros e o tempo em segundos. Determine 
a) 
A velocidade media do corpo no intervalo de tempo 
 1,3 
b) A velocidade do corpo no instante t=1 
c) A aceleração media do corpo no intervalo de tempo 
 1,3
 
d) A aceleração do corpo no instante t=1 
5) Suponha que um óleo derramado através de uma ruptura do tanque de um navio se 
espalhe em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de
2 /m h
 . Com que velocidade a 
área do derramamento está crescendo no instante em que o raio atingir 60m? 
6) No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é 
dada por s(t) = 16 t – t
2
.Determinar: 
a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2,4]; 
b) a velocidade do corpo no instante t = 2s; 
c) a aceleração média no intervalo [0,4] 
d) a aceleração no instante t = 4. 
7) Um objeto se move ao longo de uma linha reta com deslocamento s(t) = t
3
 – 3t
2
 + 4t. 
Encontre a aceleração do objeto no instante t. 
8) Se daqui a t anos o número N de pessoas que utilizarão a internet em determinada 
comunidade for dado por , determine: 
a) o número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos nessa comunidade. 
b) a taxa de variação do número de pessoas que utilizarão a internet daqui a 2 anos. 
9) O volume de uma esfera de raio r é dado por . Qual é a taxa de variação do volume da 
esfera com o raio quando o raio vale 3 cm? 
10) No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. Como a 
velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é: 
216 16 32H t t   
 
a) Em que instante o mergulhador atinge a água? 
b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 
11) Determine a taxa de variação do volume V de uma esfera em relação ao seu raio r para: 
a) r arbitrário b) r = 1 m 
12) Despeja-se areia sobre o chão fazendo um monte que tem, a cada instante, a forma de um 
cone com diâmetro de base igual à altura. Quando a altura do monte é de 3 m, a taxa de 
variação com que a areia é despejada é de 0,01 m3/ min. Qual a taxa de variação da altura 
do monte quando esta for de 3 m? 
13) Um quadrado de lado l está se expandindo segundo a equação 22l t  , onde a 
variável t representa o tempo. Determinar a taxa de variação da área desse quadrado 
quando t = 2. 
14) Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da 
base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da 
base quando a altura do monte é de 4 m? 
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
15) Para cada função, determine os pontos de máximos ou de mínimos locais. 
a) 2( ) ( 1)f x x  
b) 3 2( ) 6f x x x  
c) 2( ) 2 4 3f x x x    
d) 3 2( ) 3 12 15f x x x x  
16) Suponha que a equação da velocidade V(m/s) de um ponto material em função do tempo 
t(s) é dada por V(t) = -3t² + 18t + 8. Determine o instante no qual a velocidade do ponto 
material é máxima. 
17) Uma partícula em movimento retilíneo tem a função horária dada por 
3 2( ) 2 21 60 3s t t t t   
. Considere o espaço medido em metros e o tempo em 
segundos. Determine. 
a) Em que instante a partícula para, isto é, tem velocidade nula? 
b) Determine a aceleração da partícula no instante t= 4,5s 
18) Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eixos , 
os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máximos e mínimos, os intervalos 
onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é convexo e os pontos de inflexão. 
a) 2 3( ) 10 12 3 2f x x x x    
b) 
2
2
( )
1
x
f x
x

 
 
c) 
2
2
4 3
( )
x x
f x
x
 

 
d) 
3
2
( )
1
x
f x
x


19) Determine as constantes nas funções abaixo, de modo que: 
a) 
2
( ) ; 0xf x axe a  tenha uma Maximo em 
1
2
x 
 
b) 3 2( )f x x ax bx c   tenha pontos críticos em x=-2 e x=3. Qual é o de Maximo 
e qual é o de mínimo? 
c) 2( )f x ax bx c   tenha um Maximo relativo no ponto P(1,7) e o gráfico 
( )y f x passe pelo ponto Q(2,-2). 
d) 3 2( )f x x ax bx c    tenha um extremo em x=4 e o gráfico de f tem um ponto 
de inflexão em x=1 
Gabarito Parte 2
1. 
a. 5,5 
b. 
2. 
a. 
b. 200 peças 
 
3. 
4. 
a. 
b. 
c. 
d. 
5. 
6. 
a. 
b. 
c. 
d. 
7. 
8. 36 
a. 15100 
b. 70 pessoas /ano 
9. 
10. 
a. T=2s 
b. V(2)=-48 m/s 
11. 
a. 
b. 
12. 
13. A’(2)=48 unidades de 
área/unidade de tempo 
14. 
15. 
a. Ponto de mínimo (1,0) 
b. Ponto de máximo (0,0), Ponto 
de Mínimo (4,-32) 
c. Ponto de máximo (1,5) 
d. Máx em (-5/3 , -50/9) 
16. T=3s 
17. 
a. T=2s e t=5s 
b. 
18. 
a. D(f)=IR; interseção com Oy: 
P(0, 10); não tem assíntotas; 
crescente em [-2, 1]; 
decrescente em ]-∞, -2] 
e em [1, +∞[; máx. em Q(1, 17); 
mín. em R(-2, -10); concavidade 
para cima em ]-∞, -1/2[; 
concavidade para baixo em ]-
1/2, +∞[; ponto de inflexão M(-
1/2, 7/2). 
b. D(f)=IR ; intersecta os eixos na 
origem; assíntota: y= 0; 
interseção com a assíntota em 
(0,0); 
crescente em [-1, 1]; 
decrescente em (-∞, -1] e em 
[1,+∞); máx. em Q(1,1 ); mín. 
em P (-1,-1 ) ; 
concavidade para baixo em (− 
∞, − )e em (0 , ) ; 
concavidade para cima em 
[(− ) e em ( , +∞ ); pontos 
de inflexão: ), o(0,0) e 
) 
c. Em sala 
d. Em sala 
19. 
a. 
b. a= -3/2,b= -18 e c ∈R, x max= -
2, x min= 3; 
c. a = -9, b = 18, c=-2 
d. a=-3 e b=-24 c é real