P2 Leonardo Guidi 2015/2 Nota 8 - Cálculo Numérico UFRGS

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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico – turma �1
Prova 2-✁ – 16 de outubro de 2015
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1 ponto): Considere um sistema de equações lineares da forma Ax = b, onde a matriz de
coeficientes A possui componentes não nulas da forma (A)
1,1 = −2, (A)1,2 = 10, (A)1,3 = 3, (A)n,n−2 = −5,
(A)n,n−1 = 8, (A)n,n = 1 e para i = 2, . . . , n − 1, (A)i,i−1 = −3, (A)i,i = 1, (A)i,i+1 = −3. Em um sistema
com n = 25, dado que a incerteza relativa em norma 1 para b vale aproximadamente 1,5×10−8, a estimativa
para incerteza relativa no valor da solução em norma 1 vale aproximadamente :
a) 3,13× 10−6
b) 3,34× 10−6
c) 3,41× 10−6
d) 3,60× 10−6
e) 3,85× 10−6
Questão 2 (1 ponto): Considere o seguinte conjunto de reações químicas em um recipiente fechado e a
volume constante:
Reação 1
Reação 2
Reação 3
Reação 4
2S1 + 3S3 → S3 + 2S5
S2 + S3 → 3S4
S1 + 3S5 → 2S4 + 2S6
S4 + S6 → 3S7
A matriz estequiométrica N desse sistema é construída de
modo que (N)i,j representa o coeficiente da susbtância j na i-
ésima reação (o sinal é positivo se a substância estiver do lado
direito e negativo caso contrário, se uma mesma substância
estiver dos dois lado, faz-se a soma dos coeficientes levando
em conta o sinal),
por exemplo, a 1ª linha é da forma [-2,0,-2,0,2,0,0] e a 2ª linha [0,-1,-1,3,0,0,0]. A partir da taxa de produção
e/ou consumo de cada uma das substâncias é possível determinar a taxa de reação de cada uma das reações
a partir da solução do sistema de equações lineares
(
N ∗NT
)
∗ τ = N ∗R, onde τ é a matriz coluna com a
taxa de cada uma das equações e R é a matriz coluna com as taxas de produção/consumo das substâncias.
Dado que R =[-1.5;-0.91;-1.2;1.6;-0.24;0.88;1.3] mol/(l s), a partir da solução do sistema é correto afirmar
que:
a) a taxa da reação mais rápida é maior do que duas vezes a taxa da mais lenta.
b) nenhuma das reações possui taxa superior a 0,6.
c) duas reações possuem a mesma taxa.
d) a taxa da reação 2 é de aproximadamente 0,5015.
e) apenas uma das reações possui taxa menor de que 0,5.
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Pedro Ziebell Ramos 244002
Questão 3 (1 ponto): Considere o sistema de equações
{
ey + xy + x2 = 3
(x+ y)3 + ex = 3
Partindo da aproximação inicial x0 = 2, y0 = 2 qual será o valor aproximado para (x− y) dado pelo método
Newton-Raphson após 3 iteradas?
a) -1,2116
b) -1,2441
c) -1,2617
d) -1,2832
e) -1,3043
Questão 4 (1 ponto): A trajetória de um satélite orbitando a Terra é descrita em coordenadas polares pela
equação
r(θ) = A
1− ε2
1 + ε sen (θ + φ)
,
onde A é o semieixo maior da órbita (em km), ε ∈ [0, 1) é a sua excentricidade e φ ∈ [0, 2pi) é uma fase. A
tabela abaixo possui dados com a relação entre raio e ângulo em três instantes distintos:
θ(rad) −0.54 0 0.51
r(km) 6993 6828 6715
A partir desses três dados, é possível construir um sistema para as incógnitas A, ε e φ. Utilize a informação
de que o semi-eixo maior é aproximadamente igual aos valores de r e determine o valor de ε:
a) ε ≈ 0,04415.
b) ε ≈ 0,04628.
c) ε ≈ 0,04807.
d) ε ≈ 0,05019.
e) ε ≈ 0,05223.
Questão 5 (1 ponto): Abaixo seguem algumas medições da relação entre temperatura e a densidade da
água
temperatura (ºC) 0 4 5 10 15 20
ρ(g/cm3) 0.99984 0.99997 0.99996 0.99970 0.99910 0.99820
A partir da interpolação polinomial de quatro dados mais próximos da temperatura 17ºC determime uma
aproximação para ρ (17).
a) 0,99885g/cm3
b) 0,99881g/cm3
c) 0,99877g/cm3
d) 0,99872g/cm3
e) 0,99866g/cm3
Questão 6 (1 ponto): Dado que p é um polinômio de grau menor ou igual a n−1 que interpola um conjunto
de pontos A = {(xi, yi)}
n
i=1, qual é a forma do polinômio q de grau menor ou igual a n+ 1 que interpola os
pontos do conjunto A e também os pontos (0, 3) e (−1, 5)?
a) p(x) + α
∏n
i=1
(x− xi) + β x
∏n
i=1
(x− xi)
b) p(x) + α(x− 5)
∏n
i=1
(x− xi) + β(x− 3)
∏n
i=1
(x− xi)
c) p(x) + α(x− 3)(x− 5)
∏n
i=1
(x− xi)
d) p(x) + αx (x+ 1)
∏n
i=1
(x− xi)
e) p(x) + α
∏n
i=1
(x− xi) + β(x− 3)
∏n
i=1
(x− xi)
Questão 7 (1 ponto): O coeficiente de expansão térmica de um vidro, αvidro, em função da temperatura é
dado pela tabela abaixo.
temperatura (°C) 500 550 600 650 700 750
αvidro (10
−3/°C) 4.43 4.96 5.56 6.37 7.49 6.68
A partir da interpolação polinomial de todos os dados da tabela, a temperatura na qual o coeficiente é igual
4,6× 10−3°C−1 é aproximadamente:
a) 518°C
b) 520°C
c) 522°C
d) 524°C
e) 526°C
Questão 8 (1 ponto): Os dados a seguir contêm a informação sobre a tajetória de um corpo no plano.
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x(cm) 1.03 1.66 2.22 2.67 2.95 3.03 2.91 2.60 2.13 1.55 0.91
y(cm) -2.33 -2.76 -3.94 -5.52 -7.04 -8.07 -8.31 -7.68 -6.38 -4.77 -3.33
A partir dos spline cúbicos do tipo completo construídos para cada coordenada com x′(0) = 0, 64, x′(10) =
−0, 64, y′(0) = 0 e y′(10) = 1, 22, determine a distância aproximada desse corpo ao ponto de coordenadas
(1, 1) no instante t∗ = 6,6 :
a) 8,96cm
b) 9,03cm
c) 9,11cm
d) 9,20cm
e) 9,27cm
Questão 9 (1 ponto): A partir da interpolação spline cúbica s(x) do tipo natural para o conjunto de dados
xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
yi 1 0.905 0.670 0.407 0.202 0.0821
o valor de s′′ (0,35) vale aproximadamente:
a) 8,634
b) 8,613
c) 8,585
d) 8,562
e) 8,546
Questão 10 (1 ponto): Utilize o seguinte conjunto de dados
xi 1.00 1.56 2.11 2.67 3.22 3.78 4.33 4.89 5.44 6.00
fi -0.899 1.78 3.04 4.98 6.63 6.78 6.99 5.99 5.81 4.09
para realizar o ajuste de mínimos quadrados do modelo
φ(x) := a1x
2 + a2sen(x) + a3 ln(x).
O valor da constante a2 ajustada aos dados vale aproximadamente:
a) -0,9884
b) -0,9902
c) -0,9933
d) -0,9956
e) -0,9971