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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro EP11 – Gabarito – Métodos Determinísticos I – 2015-2 Neste EP vamos trabalhar o conteúdo estudado nas Aula 10 e 11 do Caderno Didático. Exercício 1 Em cada um dos itens abaixo, represente, no plano cartesiano R2, os pontos A e B e calcule a distância entre eles usando o Teorema de Pitágoras. a) A = (−1, 3) e B = (2, 4) b) A = (3, 1) e B = (2, 2) c) A = (2,−1) e B = (−2, 2) Solução: a) b) c) 1 unid 3 unid A B -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y 1 unid 1 unid A B -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y 3 unid 4 unid A B -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y Figura 1: Exercício 1 a) No gráfico da Figura 1 - a) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[ d(A,B) ]2 = (2− (−1))2 + (4− 3)2 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10 Daí, deduzimos que d(A,B) = √ 10. b) No gráfico da Figura 1 - b) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[ d(A,B) ]2 = (2− 3)2 + (2− 1)2 = (−1)2 + 12 = 1 + 1 = 2 Daí, deduzimos que d(A,B) = √ 2. c) No gráfico da Figura 1 - c) estão marcados os pontos A e B. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo desenhado na Figura mencionada, obtemos:[ d(A,B) ]2 = (−2− 2)2 + (2− (−1))2 = (−4)2 + 32 = 16 + 9 = 25 Daí, deduzimos que d(A,B) = √ 25 = 5. Métodos Determinísticos I EP11 2 Exercício 2 Represente geometricamente os conjuntos abaixo: a) {(x, y) ∈ R2; y = 4 e − 2 ≤ x ≤ 2} b) {(x, y) ∈ R2;x = 3 e y ∈ (0, 5]} c) {(x, y) ∈ R2;−1 < x ≤ 2} d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−1, 1] e y ∈ (1, 2)} Solução: A solução está plotada na Figura 2. a) b) -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y c) d) -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y Figura 2: Exercício 2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 3 Exercício 3 Represente algebricamente os conjuntos A, B, C e D representados na Figura 3 - a), b), c), d). a) b) A -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y B -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y c) d) C -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y D -2 -1 1 2 3 4 5 x -2 -1 1 2 3 4 5 y Figura 3: Exercício 3 Solução: a) {(x, y) ∈ R2;x = 2 e 1 ≤ y < 3}. b) {(x, y) ∈ R2; y = 1 e 1 ≤ x < 5}. c) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [1, 5) e y ∈ [2, 4]}. d) {(x, y) ∈ R2;x ∈ [−2,−1] e y ∈ (1, 3]}. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 4 Exercício 4 Determine a equação da circunferência de centro C e raio r em cada um dos itens a seguir. a) C = (1, 1) e r = 5 b) C = (0,−1) e r = 3 c) C = (0, 0) e r = 2 Solução: A circunferência é formada pelos pontos P = (x, y) que distam r do centro C = (a, b). Então esses pontos devem satisfazer d(P,C) = r ou seja, √ (x− a)2 + (y − b)2 = r, elevando cada membro da igualdade ao quadrado, obtemos(√ (x− a)2 + (y − b)2 )2 = r2 ⇐⇒ (x− a)2 + (y − b)2 = r2. Portanto, a equação de uma circunferência de raio r e centro C = (a, b) é escrita usualmente na forma (x− a)2 + (y − b)2 = r2 . a) Como C = (1, 1) e r = 5, (x− 1)2 + (y − 1)2 = 25 ⇐⇒ x2 − 2x+ 1 + y2 − 2y + 1 = 25 ⇐⇒ x2 + y2 − 2x− 2y = 23 b) Como C = (0,−1) e r = 3, (x− 0)2 + (y − (−1))2 = 9 ⇐⇒ x2 + (y + 1)2 = 9 ⇐⇒ x2 + y2 + 2y + 1 = 9 ⇐⇒ x2 + y2 + 2y = 8 c) Como C = (0, 0) e r = 2, (x− 0)2 + (y − 0)2 = 4 ⇐⇒ x2 + y2 = 4 Exercício 5 Represente graficamente as equações a seguir a) y = −2 b) y = 0 c) x = −3/2 d) −x+ 2y = 4 e) y = 3x+ 1 2 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 5 Solução: Todas as equações dos itens acima são representadas graficamente por retas. Para determinar cada uma delas, basta determinar dois pontos pertencentes a ela. a) Sendo (x, y) um ponto da reta y = −2, temos que a segunda coordenada deste ponto deve ser −2. Quanto a primeira coordenada, que é x, ela pode assumir qualquer valor real. Em particular, para x = 0 temos que o par ordenado (0,−2) é um ponto da reta. E, para x = 2, temos o par ordenado (2,−2) da reta. Unindo estes dois pontos temos a reta desenhada na Figura 4-a) que é paralela ao eixo x. a) b) c) 1 2 x -2 -1 y 1 x 1 y 1 3 2 2 x 1 y d) e) -4 -3 -2 -1 x 1 2 y -1 x 1 2 1 y Figura 4: Exercício 5 b) A reta deste item está sobre o eixo x, já que a segunda coordenada do ponto (x, y) desta reta é y = 0 para qualquer valor da primeira coordenada x. Ela está plotada na Figura 4-b). c) Note que nos pares ordenados (x, y) da reta dada, a primeira coordenada x é igual a 3/2 e a segunda coordenada y pode assumir qualquer valor real. Assim, essa reta é paralela ao eixo y. Veja que, em particular, os pontos (3/2, 0) e (3/2, 1) pertencem à reta. Ela está plotada na Figura 4-c). d) Vamos determinar dois pontos da reta −x+ 2y = 4. • para x = 0, temos −(0) + 2y = 4⇐⇒ y = 2. Logo, o ponto (0, 2) pertence à reta. • para y = 0, temos −x+ 2(0) = 4⇐⇒ x = −4. Logo, o ponto (−4, 0) pertence à reta. Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados. Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-d). Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 6 e) Vamos determinar dois pontos da reta −x+ 2y = 4. • para x = 0, temos y = 3(0) + 1 2 ⇐⇒ y = 1 2 . Logo, o ponto ( 0, 1 2 ) pertence à reta. • para y = 0, temos 0 = 3x+ 1 2 ⇐⇒ x = −1 6 . Logo, o ponto ( −1 6 , 0 ) pertence à reta. Note que os pontos encontrados são os pontos de interseção da reta com os eixos coordenados. Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 4-e). Exercício 6 Um operário tem seu salário representado pela equação y = 2000 + 15x 4 , onde y representa o valor do salário e x, com x ≥ 0, representa o tempo de horas extras trabalhadas em um mês. a) Represente graficamente a equação do salário do operário. b) Quando o salário é igual a R$ 2030,00 qual a quantidade de horas extras trabalhadas naquele mês? c) Quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, qual o valor do salário? Solução: a) A equação que forma o salário do operário é representada graficamente por uma reta, temos de determinar dois pontos pertencentes à reta. Temos que: • para x = 0, y = 2000 + 15(0) 4 = 2000. Logo, o ponto (0, 2000) pertence à reta. • para y = 0, 2000 + 15x 4 = 0. Ou seja, 15x 4 = −2000⇐⇒ x = −2000 · 4 15 ⇐⇒ x = −1600 3 . Logo, o ponto ( −1600 3 , 0 ) pertence à reta. Unindo os dois pontos encontrados acima, determinamos a reta plotada na Figura 5. b) Quando y = 2030, temos que 2000 + 15x 4 = 2030. Ou seja, 2000 + 15x 4 = 2030⇐⇒ 15x 4 = 2030− 2000⇐⇒ 15x 4 = 30⇐⇒ x = 30 · 4 15 ⇐⇒ x = 8. Portanto, quando o sálario é igual R$ 2030,00, a quantidade de horas extras trabalhadas naquele mês é igual a 8 h. c) Quando x = 12, temos que y = 2000 + 15(12) 4 = 2045. Portanto, quando a quantidade de horas extras trabalhadas é igual a 12 h, o valor do salário é igual a R$ 2045,00. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 7 - 1600 3 x HhorasL 2000 y HreaisL Figura 5: Gráfico de y = 2000 + 15 4 x Exercício 7 Construa o gráfico, em R2, de cada equação a seguir e, quandopossível, fatore-a. a) y = x2 − 2x− 3 b) y = −3x2 + 6x− 3 c) y = 3x2 − 4x+ 2 d) y = −x 2 2 − x− 3 2 Solução: Para construir o gráfico da equação y = ax2 + bx + c que é representada graficamente por uma parábola, vamos seguir o seguinte roteiro: • determinar onde a parábola intercepta o eixo x, o que significa que y = 0. Ou seja, devemos resolver a equação ax2 + bx+ c = 0. • determinar onde a parábola intercepta o eixo y, o que significa que x = 0. Ou seja, devemos substituir x = 0 na equação y = ax2 + bx+ c para determinar o valor de y. • determinar o vértice (xv, yv) da parábola, a partir da fórmula (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) . E, finalmente, lembramos a fatoração ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2), onde x1 e x2 são soluções de ax2 + bx+ c = 0. a) Temos que • y = 0⇐⇒ x2 − 2x− 3 = 0. Usando a fórmula de Baskara para determinar a solução da equação acima, com a = 1, b = −2 e c = −3, temos ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4(1)(−3) = 4 + 12 = 16 > 0, e x = −b±√∆ 2a = −(−2)±√16 2 = 2± 4 2 . Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 8 Logo, os valores que satisfazem x2 − 2x− 3 = 0, são x1 = 2 + 4 2 = 3, x2 = 2− 4 2 = −1. E, portanto, a parábola intercepta o eixo x nos pontos (−1, 0) e (3, 0). • x = 0 ⇐⇒ y = (0)2 − 2(0) − 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3). • (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( −−2 2 ,−16 4 ) = (1,−4) Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Seu gráfico está plotado na Figura 6-a). Além disso, temos que y = x2 − 2x− 3 = (x− 3)(x+ 1). a) b) V -4 -3 -2 -1 1 2 3 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y V -4 -3 -2 -1 1 2 3 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y c) d) V -4 -3 -2 -1 1 2 3 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y V -4 -3 -2 -1 1 2 3 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 y Figura 6: Exercício 7 Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 9 b) Temos que • y = 0⇐⇒ −3x2 + 6x− 3 = 0. Notemos que esta equação é equivalente a equação −x2 + 2x − 1 = 0, cujas raízes deter- minamos usando a fórmula de Baskara, com a = −1, b = 2 e c = −1, temos ∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(−1)(−1) = 4− 4 = 0, e x = −b±√∆ 2a = −(2)±√0 −2 = −2 −2 = 1. Logo, temos que x1 = x2 = 1 satisfazem a equação −x2+2x−1 = 0, bem como a equação −3x2 + 6x− 3 = 0. Portanto, a parábola dada por −3x2 + 6x− 3 = 0 intercepta o eixo x no ponto (1, 0). • x = 0⇐⇒ y = −3(0)2 + 6(0)− 3 = −3. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0,−3). • (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( − 2−2 ,− 0 −4 ) = (1, 0) Como em y = −3x2 + 6x − 3, a = −3 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Seu gráfico está plotado na Figura 6-b). Além disso, temos que y = −3x2 + 6x− 3 = −3(x− 1)(x− 1) = −3(x− 1)2. Observe que as parábola dadas pelas equações y = −3x2 + 6x − 3 e y = −x2 + 2x − 1 são diferentes, apesar de ambas interceptarem o eixo x nos mesmos pontos e terem o mesmo vértice. c) Temos que • y = 0⇐⇒ 3x2 − 4x+ 2 = 0. Usando a fórmula de Baskara, com a = 3, b = −4 e c = 2, temos ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4(3)(2) = 16− 24 = −8 < 0. Logo, a equação 3x2 − 4x+ 2 = 0 não tem raízes reais. Ou seja, a parábola não intercepta o eixo x. • x = 0⇐⇒ y = 3(0)2 − 4(0) + 2 = 2. Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto (0, 2). • (xv, yv) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( −(−4) 2(3) ,−(−8) 2(3) ) = ( 2 3 , 4 3 ) Como a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Seu gráfico está plotado na Figura 6-c). Neste caso, não temos como fatorar y = 3x2 − 4x+ 2. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 10 d) Temos que • y = 0⇐⇒ −x 2 2 − x− 3 2 = 0. A última equação é equivalente a x2 + 2x+ 3 = 0. Usando a fórmula de Baskara nesta equação, com a = 1, b = 2 e c = 3, temos ∆ = b2 − 4ac = (2)2 − 4(1)(3) = 4− 12 = 8 < 0. Logo, temos que x2+2x+3 = 0 não tem raízes reais, assim como a equação−x 2 2 −x−3 2 = 0. Ou seja, a parábola y = −x 2 2 − x− 3 2 = 0 não intercepta o eixo x. • x = 0⇐⇒ y = −(0) 2 2 − 0− 3 2 = −3 2 . Portanto, a parábola intercepta o eixo y no ponto ( 0,−3 2 ) . • (xv, yv) ( − b 2a ,−∆ 4a ) = ( −(2) 2 ,−(−8) 4 ) = (−1,−2) Como em y = −x 2 2 − x − 3 2 , a = −1 2 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. Seu gráfico está plotado na Figura 6-d). Observe que as parábolas dadas pelas equações y = −x 2 2 −x− 3 2 e y = x2+2x+3 são diferentes, apesar de ambas não interceptarem o eixo x e terem o mesmo vértice. Exercício 8 Em uma certa plantação, a produção, P, de tomate depende da quantidade, q, de fertilizante utilizada, e tal dependência pode ser expressa pela equação P = −q2 + 28 q + 60, onde a produção é medida em kg e a quantidade de fertilizante em g/m2. a) Determine em que ponto(s) o gráfico da equação corta o eixo q e em que ponto(s) corta o eixo P . Faça um esboço do gráfico no plano cartesiano. b) Determine o valor da produção, quando o fertilizante não é utilizado. c) Determine a quantidade de fertilizante que deve ser usado para que a produção seja máxima, bem como o valor da produção máxima. d) Determine a partir de que quantidade de fertilizante utilizada, a planta é prejudicada e impedida de produzir. Solução: Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 11 a) Notemos que a equação P = −q2 + 28 q + 60 que representa a produção de tomate em termos da quantidade de fertilizante é uma equação quadrática. Logo, seu gráfico é uma parábola. Como o coeficiente de q2 é negativo, a concavidade da parábola é voltada para baixo. A parábola corta o eixo q quando P = 0, o que nos leva a −q2 + 28 q + 60 = 0 cujas raízes, se existirem, são obtidas pela fórmula de Báskara q = −28±√(28)2 − 4(−1)(60) −2 = −28±√1024 −2 = −28± √ 210 −2 = −28± 32 −2 . Assim, temos duas raízes reais e distintas q1 = −28 + 32 −2 = −2 e q2 = −28− 32 −2 = 30. O que significa que a parábola corta o eixo q nos pontos q1 = −2 e q2 = 30. A parábola intercepta o eixo P quando q = 0. Isto é, P (0) = −02 + 28(0) + 60 = 60. Ou seja, a parábola corta o eixo P no ponto P = 60. Na Figura 7, plotamos o gráfico da parábola. -2 14 30 q 60 256 P Figura 7: Exercício 8-a) b) Quando o fertilizante não é utilizado, isso significa que q = 0. Logo, substituindo esse valor na equação dada, vem que: P = −(0)2 + 28(0) + 60 = 60, Nesse caso, o valor da produção será de 60 kg. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ Métodos Determinísticos I EP11 12 c) Como o gráfico da equação é uma parábola, a produção máxima Pv ocorrerá em qv, primeira coordenada do vértice V = ( qv, Pv ) = ( − b 2a ,−∆ 4a ) da parábola. Ou seja, V = ( − (28) 2(−1) ,− 1024 4(−1) ) = (14, 256). Portanto, deverá ser usado 14 g/m2 de fertilizante para que a produção seja máxima. O valor dessa produção será de 256 kg. d) Os pontos em que a curva corta o eixo q indicam quantidades que fazem a produção se anular (P = 0) sendo que q1 = −2 não apresenta significado prático neste contexto e q2 = 30 g/m2 representa uma quantidade tão grande de fertilizante a ponto de prejudicar a planta, impedindo-a de produzir. Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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