Lista derivadas

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UEM – CCE – DMA – Cálculo Diferencial e Integral 
Lista para ser entregue como pré-requisito para fazer prova substitutiva. 
 
I. Determine as derivadas das funções dadas a seguir, supondo que , , ,a b c k são constantes, usando apenas as 
regras básicas de integração, isto é, sem usar a regra da cadeia.. 
 
1) 3 8( ) 6 2 3f x x x x= − + − 2) ( ) cos 2sen ln xf x x x x e= + + − 3) ( ) 2 tg arcsen arctgxf x e x x x= + − − 
4) ( ) cosxf x e x= 5) 
2
( ) 2
xf x
x
=
−
 6) 7 3 6
1( ) ln( 2)
6
f x x x e
x
= − + + + 
7) 
2 3 4 5
4
1 2 3 4 5 6( )
2
x x x x xf x
x
+ + + + +
= 8) 
5
5
3 sen 2( ) 3 2 sen
x xf x
xx
= − + − 
9) 4( ) 2( 2 ) sec 3tgf x x x x x= + + − 10) 4( ) (1 2 )f x x x= + 11) 1/3 21 1( ) 3
xf x x x e
xx
= − + − + 
12) 1( ) 2 cosf x x x
−
=
+
 13) 3 21( ) 2( )2f x ax x cxb= + + 14) ( ) 3. 3 arctgf x x x x= − + 
15) 2( ) ln xf x x e= + 16) 2( ) 2x x xf x e e−= + + 17) 3 3( ) lnf x x x e−= + 
18) 3( ) 2(ln ) 5f x x e= − 19) 3 2( ) senxf x e x= + 20) ( ) tgf x x= 
21) ( ) secf x x= 22) ( ) cotgf x x= 23) ( ) cscf x x= 
24) 1 ln( ) 1 ln
xf x
x
+
=
−
 25) ( ) sen cos 2f x x x= 26) 2( ) sen(2 )f x x x= 
 
II. Complete a tabela de derivadas acrescentando as derivadas das funções hiperbólicas senh( )x , cosh( )x , 
tgh( )x , sech( )x , cotgh( )x , csch( )x , Para obter essas derivadas use as definições de a até f dadas a seguir e, 
se necessário, a identidade 2 2cosh ( ) senh ( ) 1x x− = 
a)senh 2
x xe e
x
−
−
= b)
senh
tgh
cosh
x
x
x
= c) coshcotgh
senh
x
x
x
= 
d) cosh 2
x xe e
x
−+
= e)
1
sech
coshx x= f)
1
cossech
senhx x= 
 
III. Para resolver os 3 itens a seguir, suponha que as funções , e f g h , possuem derivadas. Deduza uma 
fórmula para a derivada de 
a) 1( ) ( )F x f x= , explique a fórmula com palavras e aplique-a nos exercícios 21 e 23 do exercício 1.. 
b) ( ) ( ) ( ) ( )F x f x g x h x= , explique a fórmula com palavras e aplique-a para as funções 
i) 2( ) (1 )(3 )( 8)f x x x x= − + + e ii) ( ) .cos .senhxg x e x x= . 
 
c) 2( ) ( ( ))F x f x= e 3( ) ( ( ))G x g x= , explique as fórmulas com palavras e aplique-as no exercício 19 e para a 
função 3 3( ) (3 )f x x x= + . 
IV. Encontre ' (3)g e '(3)h , dado que (3) 2, '(3) 4f f= − = , 2( ) 3 5 ( )g x x f x= − e 2 1( ) ( )
xh x f x
+
= . 
 
V. Uma peça de carne foi colocada no freezer no instante = 0t . Após t horas, sua temperatura em graus 
centígrados, é dada por = − + ≤ ≤
+
4
( ) 30 5 , 0 5
1
T t t t
t
. Com que velocidade a temperatura está diminuindo após 
2 horas? 
 
VI. Determine as derivadas das funções dadas a seguir 
1) 2 22
2( ) ( )f x x
x
= − 2) 2 5( ) (1 )(3 ) 6g t t t t= − + + 3) 
3/ 25 4 4 2( ) x x xf x
x x
+ + −
= 
4) 35 331 2( ) 2
xf x x
xx
= + − + 5) 2 11( ) ( ) 3
3
f x x x
x x
= + + + 6) 5( ) ( 3 ) a x bf x x
x
+
= − 
7) 2( ) 1 2
xf x
x
=
+
 8 ) 3( ) xf x x e= 9) sen( ) cos 2
xf x x x= − 
10) ( ) a x bf x d cx
+
=
+
 11) ( ) ln 4f x x x x= − 12) ( )
x
x
x ef x
x e
−
=
+
 
13) ( ) cosh( ) 3senh( )f x x x= − 14) 2( ) ( 1)arctgf x x x= + 15) ( )2ln ln 3( ) ln 3xf x x+= 
16) 2( ) senxf x x e x= 17) 2
1( )
x
f x
x e
=
+
 18) 2( ) tg3 cosf x xx= ++ 
19) 3 3 5( ) ln1
x xf x x
x
− +
=
+
 20) tg( )
tg
xf x
x
pi
pi
+
=
−
 21) ( ) ( 1)(tg sec )f x x x x= + + 
22) 2 22( ) 1 1f x x x= + + + 23) 
2 1( ) ( 2 5)f x x x −= + + 24) ( )f t a bt= + 
25) 3( ) senf x x= 26) 
1
1( )
1
x
x
ef x
e
−
 
−
=  
+ 
 27) 2 2( ) ( 5)(5 8)f x x x= + + 
28) cos( ) sen 2 3
xf x x= − 29) ( ) ln(2 ) 5f x x= + 30) ( ) 2x xf x e= 
31) 2 ln( ) sec x xf x x e += + 32) 2 4 ln( ) cos( ) xf x x x e= + 33) 2( ) (ln ) 2 ln 2f x x x x x x= − + 
34) 
2
3
3 9cos( )
2
x xf x
x
−
=
+
 35) 2 2( ) ( 8) ln( 8)f x x x= + + 36) 5 2 23
2 1 2( )
33
g t t
t t
= − + + 
37) cos( )
ln
t tF t
t
= 38) 2 23( ) cos ( ) sen ( )f x x x= − − 39) 2( ) ln(3 ) xH x x xe += + 
40) 3 2
1 3( ) 2 5 sen(3 ) 2
7
f x x x x
x
  
= − + + + +  
  
 41) ( )4 2( ) sen ln 2 xxf x x x x x e e xe = − + −   
 
RESPOSTAS: 
I. 1) 2 7' ( ) 3 6 16f x x x= − + 2) ' ( ) sen 2cos 1/ xf x x x x e= − + + − 3) 2 221 1'( ) 2 sec 11
xf x e x
xx
= + − −
+
−
 
4) '( ) ( sen cos )xf x e x x= − + 5) 2(4 )'( ) (2 )
x xf x
x
−
=
−
 6) 6 723
1 1
'( ) 7
3
f x x
xx
= − − 7) 
2 3 5
5
2 3 3 2 3
'( ) x x x xf x
x
+ + + −
= − 
8) 
4
6
5 15 cos
'( ) 2cotg cosec3 2
x xf x x x
x
= + + + 9) 3 2' ( ) 2(1 8 ) sec tg 3secf x x x x x= + + − 10) 31'( ) 9
2
f x x x
x
= + 
11) 2 / 3 3 21 1 2 1'( ) 3 32
xf x e
x x xx
= − + + − 12) 22 sen'( ) (2 cos )
xf x
x x
−
=
+
 13) 2'( ) 2(3 )f x ax x b c= + + 
14) 23 1'( ) 3 12f x xx= − + + 15) 
21
'( ) 22
xf x e
x
= + 16) 2'( ) 2 2 ln 2x x xf x e e−= − + + 
17) 2'( ) (1 3ln )f x x x= + 18) 
26(ln )
'( ) xf x
x
= 19) 3'( ) 3 sen 2xf x e x= + 20) 2'( ) secf x x= 
21) '( ) sec tgf x x x= 22) 2'( ) cscf x x= − 23) '( ) cosec cotgf x x x= − 24) 22ln'( ) (1 ln )
xf x
x x
−
=
−
 
25) '( ) cos( )cos(2 ) 2sen( )cos(2 )f x x x x x= − ; 26) . '( ) 2 ( cos 2 sen 2 )f x x x x x= + 
 
 
 
 
II. a) senh( ) cosh( )d x xdx = b) 
2tgh( ) sech ( )d x xdx = 
2c) cotgh( ) csch ( )d x xdx = − 
d) cosh( ) senh( )d x xdx = e) sech( ) sech( ) tgh( )
d
x x xdx = − f) csch( ) csch( )cotgh( )
d
x x xdx = − 
III. a) 2'( )'( ) [ ( )]
f xF x f x
−
= ; ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )F x f x g x h x f x h x g x g x h x f x= + +b , 
2
2(1 )(3 )
'( ) 6 (1 )( 8) (3 )( 8)
2
x xf x x x x x x
x
− +
= + − + − + + e '( ) (cos cosh senh sen cos .senh )xg x e x x x x x x= − + . 
c) '( ) 2 ( ) '( )F x f x f x= , e 2'( ) 3( ( )) '( )G x g x g x= , 3 2 2'( ) 9(3 ) (1 )f x x x x= + + . 
 
IV. '( ) 6 5 '( )g x x f x= − e '(3) 32g = − ; '(3) 8h = − . 
V. ( )= − − + 2
4
'( ) 5
1
T t
t
. A temperatura estará diminuindo a uma taxa de 49 5,49 ≈ °C/ hora, após 2 horas. 
 
VI. 1) 3 516'( ) 4f x x
x
= − 2) 2 4'( ) 3 2 3 30g t t t t= − + − + 3) 2 25 32'( )f x x x x x x
−
= − + 
4) 2 4345 3 61 1'( ) 235
xf x
xx xx
= − − − 5) 2 2131'( ) 1 2 3f x x x x= − + − 6) 
4
'( ) 45 3
2 2
a bf x x
x x x
= − + 
7) 22 21 2'( ) (1 2 )
xf x
x
−
=
+
 8) 2'( ) ( 3)xf x x e x= + 9) cos'( ) sen 2
xf x x x= − + 10) 2'( ) ( )
ad bcf x
d cx
−
=
+
 
11) 1'( ) 1 ln
2
f x x
x
= + − 12) ( )2
2 ( 1)
'( )
x
x
e xf x
x e
− +
=
+
 13) '( ) senh( ) 3cosh( )f x x x= − 
14) '( ) 1 2 arctgf x x x= + 15) '( ) 0f x = 16) 2'( ) [ (cos sen ) 2 sen ]xf x e x x x x x= + + 
17) ( )22
(2 )
'( )
x
x
x ef x
x e
− +
=
+
 18) 222sen'( ) sec(3 cos )
xf x x
x
= +
+
 19) 3 2 322 3 8 3 5'( ) ln ( 1)( 1)
x x x xf x x
x xx
+ − − +
= +
++
 
20) 2 22 sec'( ) (tg )
xf x
x
pi
pi
−
=
−
 21) '( ) (tg sec )[1 ( 1)sec ]f x x x x x= + + + 22) ( )22
4
'( ) 2
1
xf x x
x
= −
+
 
23) 2 22( 1)'( ) ( 2 5)
xf x
x x
+
=
+ +
 24) '( )f t b= 25) 2'( ) 3sen ( ) cosf x x x= 26) 22'( ) (1 )
x
x
ef x
e
=
−
 
27) 2'( ) (5 3)(20 _16 50)f x x x x= + + 28) sen'( ) 2cos2 3
xf x x= + 29) 1'( )f x
x
= 30) '( ) 2 (ln 2 1)x xf x e= + 
31) 2'( ) 2sec tg (1 )xf x x x e x= + + 32) 2'( ) (2cos( ) sen( ) 4 )f x x x x x x= − + 33) 2'( ) (ln )f x x= 
34) 
4 3 2
3 2
3 12 9( 2)sen 27 cos
'( ) ( 2)
x x x x x xf x
x
− + + + +
=
+
 35) 2'( ) 2 )[1 ln( 8)]f x x x= + + 36) 35 33
2 2 2
'( )
3 35
g t
t t tt
= + − 
37) 2ln [cos sen ] cos'( ) ln
t t t t tF t
t
− −
= 38) ( )' 0f x = 39)
2
25
3(1 ln ) sec
'( )
5 ( ln )
x xf x
tg x x
+
= 
40) ( )3 22 31 2 3'( ) 2 5 sen 3sen cos3cos 2 6 sen(3 ) 2 7f x x x x x x xx x
    
= − + − + + + + + + +    
    
 
41) ( )4 32( 1) 2sen'( ) sen ln 2 cos (1 4ln )2x xx x xf x x x x x e e e x x x x xe e x− +     = − + − + − + − +         .