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Volumes por Cascas Cilíndricas Definição 0.1 (Volume por cascas cilíndricas em torno do eixo y) Sejam f uma função contínua não negativa em [a, b] (0 ≤ a < b) e R a região limitada acima por y = f(x), abaixo pelo eixo x e nas laterais pelas retas x = a e x = b. Então, o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y é dado por V = 2pixf(x)dx onde x é o raio da casca e f(x) a altura da casca. A figura abaixo ilustra uma casca cilíndrica: e as figuras abaixo ilustram o processo para se calcular o volume de um sólido de revolução por cascas cilíndricas: 1 2 Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo indicado. 1. Gira em torno de Oy. Resp.: 15pi/2 2. Gira em torno de Ox. Resp.: pi/3 3-6. Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo y. 3. y = x3, x = 1, y = 0. Resp.: 2pi/5 4. y = 1/x, y = 0, x = 1, x = 3. Resp.: 4pi 5. y = 2x− 1, y = −2x+ 3, x = 2. Resp.: 20pi/3 6. y = 1 x2 + 1 , x = 0, x = 1, y = 0. Resp.: pi ln 2 7-9. Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno do eixo x. 7. y2 = x, y = 1, x = 0. Resp.: pi/2 8. y = x2, x = 1, y = 0. Resp.: pi/5 9. Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y = ex e y = 0 para 1 ≤ x ≤ 2 gira em torno do eixo y. Resp.: 2pie2 10. Seja R a região plana limitada pelos gráficos de y = x3/2 (veja gráfico na figura abaixo), y = 1, x = 1 e x = 3, e seja S o sólido gerado pela revolução de R em torno do eixo y. Use o método das cascas cilíndricas para determinar o volume V de S. Resp.: 2pi [ 54 √ 3−30 7 ] . 3 11. Seja R a região plana limitada pelos gráficos de y = √ x, y = 1 e x = 4. Use o método das cascas cilíndricas para calcular o volume V do sólido S gerado pela rotação de R em torno da reta y = −2. Resp.: 67pi/6. 4
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