1-Maximos_e_Minimos

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4.3	
  Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Material	
  online:	
  h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-­‐2010_2.html	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
   	
  	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
+
b2
4a2
− b
2
4a2
2 2
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
2 2≥ p
�
− b
2a
�
x0 = − b2a é mínimo global, pois 	

 p
�
− b
2a
�
≤ p(x),∀x
. Logo, 	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Note que	
  
p
�
− b
2a
�
= a
�
− b
2a
�2
+ b
�
− b
2a
�
+ c
=
�
b2
4a
�
−
�
b2
2a
�
+ c
=
�
b2 − 2b2 + 4ac
4a
�
=
�−b2 + 4ac
4a
�
=
∆
4a
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Exercício:	
  
y = 2− x
p(x) = x(2− x)
p(x) = −x2 + 2x
x0 = − b2a = −
2
−2 = 1
y = 2− x0 = 2− 1 = 1
p�(x) = −2x+ 2
−2x+ 2 = 0� x = 1
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Exercício:	
  
f �(x) = 1− cos(x)
f �(x) = 0� 1− cos(x) = 0
cos(x) = 1
x = {. . . ,−4π,−2π, 0, 2π, 4π, . . . }
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
f(x)− f(x0) ≥ 0Note que	
  
x− x0 > 0
x− x0 < 0
pois	
  
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
f �(x0) = lim
x→x+0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≤ 0
f �(x0) = lim
x→x−0
f(x)− f(x0)
x− x0 ≥ 0
f �(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0 = 0
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
f �(x) = 3x2
f �(x) = 0� 3x2 = 0� x = 0
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Onde podem estar os pontos de mínimo e máximo globais?	
  
Pontos críticos: 	
   f �(x) = 0 Extremos do intervalo: 	
  f(a), f(b)
Máximos	
  e	
  Mínimos	
  
Vamos restringir o domínio da função ao intervalo [-1, 3]	
  
f �(x) = 0� 3x2 − 3 = 0� x2 = 1� x = ±1
Calculando a derivada de f:	
  
Calculando os pontos críticos: 	
  
Calculando o valor da função nos extremos do intervalo: 	
  
Calculando o valor da função nos pontos críticos: 	
  
f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 4 = 6 f(1) = (1)3 − 3(1) + 4 = 2
f(3) = (3)3 − 3(3) + 4 = 22
Máximo: 22, atingido em x=3	
   Mínimo: 2, atingido em x=1	
  
Obs.: Faça 	
  f(x) = x(x2 − 3) + 4