CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV - Integrais de linha

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Maria Maceira Pires 
 
Nome: Matr. 
 
 
Integrais de linha1 
 
 
� Introdução 
Uma integral de linha é semelhante a uma integral simples, exceto que ao invés de integrarmos sobre 
um intervalo [a, b], integramos sobre uma curva C. 
As integrais de linha foram inventadas no início do século XIX para resolver problemas envolvendo 
escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. 
 
� Comprimento de arco 
Se uma curva C for descrita pelas equações paramétricas x = f(t) e y = g(t), α ≤ t ≤ β, onde f’ e g’ 
são contínuas, e C for percorrida exatamente uma vez quando t aumenta de α até β, então o 
comprimento de C é dado por: 
dt
dt
dy
dt
dx
 L
22
∫
β
α






+





=
 
 
Exemplo: Determine o comprimento da circunferência de raio unitário. 
 
� Integral de linha 
Assim, a integral calculada ao longo de uma curva C (nas condições estabelecidas acima) é dada por: 
dt
dt
dy
dt
dx
 ) y(t) x(t),f( ds y)f(x, 
22
C ∫∫
β
α






+





=
 
 
 Exemplo: 
 Calcule ∫ +C
2 ds )y x (2 , em que C é a metade superior da circunferência unitária x2 + y2 = 1. 
 
� Observação: Se C for a união de um número finito de curvas lisas C1, C2, C3,... , Cn , então 
∫ ∫ ∫ ∫∫ ++++= 1C 2C 3C nCC ds )y,x(f... ds )y,x(f ds )y,x(f ds )y,x(f ds )y,x(f 
 
1
 STEWART, James. Cálculo. Tradução de Antonio Carlos Moretti e Antonio Carlos Gilli Martins. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011. v.2 
 
Curso de Engenharia Química – EQU2013014NA783 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral IV 
03/11/2015 
2 
 
 
 Exemplo: Calcule ∫C ds2x em que C é formada pelo arco C1 da parábola y = x
2
 de (0, 0) a (1, 1) 
seguido do segmento de reta vertical C2 de (1, 1) a (1, 2). 
 
� Exercite... 
1. Calcule ∫C
2 ds x y em que C é o arco do primeiro quadrante definido por x2 + y2 = 1. 
2. Calcule ∫C ds y em que C é definida por x = t
2
 e y = t para 0 ≤ t ≤ 2 . 
............................................................................................................................................................... 
� Integrais de linha (ou curvilíneas) no espaço 
Suponhamos que C seja uma curva espacial lisa dada pelas equações paramétricas 
x = x(t) y = y(t) z = z(t) para a ≤ t ≤ b 
ou pela equação vetorial 
→→→→
++= k )t(zj )t(yi )t(x)t(r . 
 
Se f é uma função de três variáveis que é contínua em alguma região contendo C, define-se a integral 
de linha de f ao longo de C por: 
dt 
dt
dz
dt
dy
dt
dx
 ) z(t) y(t), x(t),f( ds z) y,f(x, 
b
a
222
C ∫∫ 




+





+





=
 
ou, na notação vetorial, 
dt | (t)'r| . ) (t)r( f ds z) y,f(x, 
b
aC ∫∫
→→
=
 
 
Note que se f(x, y, z) = 1 então L dt | (t)'r| ds 
b
aC
== ∫∫
→
. 
 
Exemplo 1: 
 
Calcule ∫C ds senz y , em que C é a hélice circular dada pelas 
equações x = cost, y = sent, z = t e 0 ≤ t ≤ 2pi. 
 
Lembrete: cos2t 
2
1
2
1
 tsen2 −= 
3 
 
Exemplo 2: Calcule ∫ ++C dz) x dy z dx (y , em que C consiste no segmento de reta que une os pontos 
(2, 0, 0) e (3, 4, 5). 
 Subsídio: 
→→→
+−= 10 rt r)t (1)t(r (para segmento de reta) 
........................................................................................................................................................ 
Esclarecendo o subsídio... 
 
 
 
Note que: 
→→→→
= v t. a então v // a e 
→→→→→→
+==+ vt. r r ou r a r 00 
Para c b, ,av =
→
, 0000 z , y,xr =
→
 e z y,,xr =
→
 tem-se ct tb, ,tav.t =
→
 e 
tc tb, ,taz, y,xz y,,x 000 += resultando nas equações paramétricas: 
x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct (t∈R) 
 
No caso de segmento de reta com 
→
0r é o vetor posição de P0 e 
→
1r é o vetor posição de P1 
 r t r)t(1 r ou )rr t( r r então rr v 1001001
→→→→→→→→→→
+−=−+=−= (0 ≤ t ≤ 1) 
............................................................................................................................................................... 
Aplique e exercite 
1. Calcule ∫ ++C dz) 3z dy yzdx (2x no segmento de reta de (0, 0, 0) a (2, 2, 4). 
2. Calcule ∫C
yzdse x , sendo C o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1, 2, 3). 
3. Calcule ∫C
23 dz z y x , sendo C a curva dada por: x = 2t, y = t2, z = t2 para 0 ≤ t ≤ 1. 
4. Calcule ∫ +−
C
ds )zyx2( , em que C é o segmento de reta que liga A(1, 2, 3) a B(2, 0, 1). 
5. Calcule dz)2y dy zdx (z
C
2 +−∫ em que C é o segmento de reta que une (0, 1, 1) a (1, 2, 3). 
Uma reta é determinada por um ponto e direção. Assim... 
Sejam P0 (x0, y0, z0) e a direção de L dada pelo vetor v. 
→
0r é o vetor posição de P0 
→
r é o vetor posição de P (arbitrário) 
→
a é um representante de 
→
PP0