01 - FOC T2

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Juros Simples
FOC T2
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Juro e Montante
Juro:
Custo do crédito;
Remuneração do capital aplicado;
Pagamento pelo uso de poder aquisitivo.
Hipótese de mercado perfeito:
Qualquer valor pode ser obtido ou aplicado à taxa de juros de equilibrio;
As taxas consideradas são únicas e estáveis ao longo do tempo;
Nas aplicações serão introduzidas as correções e ressalvas necessárias.
FOC T2 – Juros Simples
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Definições
Taxa de juros:
Forma porcentual: 10% ao ano;
Forma unitária: 0,10 a.a.
Cálculo do Juro
J = C . i . n
Em que:
J : Juros simples
C : Capital inicial
i : taxa de juros
n : prazo de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa de juros 
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Exemplo
Quanto rende um principal de $200,00 aplicado à taxa de 3 % ao semestre pelo prazo de quatro anos?
C = $200,00
i= 3 % a.s. ou i = 0,03 a.s.
n = 8 semestres
J = C . i . n
J = 200,00 × 0,03 × 8 = $ 48,00
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Montante
É a soma do juro mais o capital que foi aplicado a uma taxa i pelo prazo de n períodos.
N = C + J
N = C + C . i . n
N = C (1 + i . n)
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Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 4.000,00 aplicado à taxa de 14 % a.a. pelo prazo de 3 anos?
C = $ 4000,00
i = 14 % a.a. ou i = 0,14 a.a.
n = 3 anos
N = C . ( 1 + i . n )
N = 4000 . (1 + 0,14 . 3)  N = $ 5.680,00
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Taxa proporcional
Duas taxas i1 e i2 são proporcionais se houver igualdade de quociente das taxas com os quocientes dos respectivos períodos referidos à unidade comum de tempo das taxas:
ou 
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Taxa equivalente
Duas taxas se dizem equivalentes se, aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.
No regime de juro simples taxas de juros proporcionais são taxas equivalentes.
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Período não-inteiro
Contudo, como resolver um problema semelhante ao anterior se o número de períodos não é inteiro ou não está na mesma unidade da taxa?
Qual é o montante de um capital de $ 4.000,00 aplicado à taxa de 12 % a.a. pelo prazo de 2 anos e 5 meses?
A resolução deve ser obtida em duas etapas:
1ª etapa: calcula-se o juro correspondente à parte inteira de períodos;
2ª etapa: calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente.
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Exemplo
Qual é o montante de um capital de $ 4.000,00 aplicado à taxa de 12 % a.a. pelo prazo de 2 anos e 5 meses?
Cálculo do juro correspondente à parte inteira de períodos:
J = C . i . n  J = 4000 × 0,12 × 2  JINT = $ 960,00
Cálculo da taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente:
J = C . i . n  J = 4000 × 0,01 × 5  JF = $ 200,00
JT = 960,00 + 200 = $ 1.160,00  N = C + JT  N = $ 5.160,00
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Juro exato e juro comercial
Ano civil: 365 dias
Ano comercial: 360 dias
Mês comercial: 30 dias
Desse modo, por exemplo, a taxa de 36 % a.a. corresponde à:
Considerando o ano civil: i365 = 36%  365 = 0,0986 % a.d.
Considerando o ano comercial: i365 = 36%  360 = 0,1 % a.d.
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Juro exato e juro comercial
Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período está expresso em dias e quando é adotado a convenção de ano civil.
Chama-se juro comercial (ou ordinário) aquele que é calculado quando se adota o ano comercial. De modo análogo, o período deve estar expresso em dias.
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Exemplo
Qual o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36 % a.a.?
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Exemplo
Qual o juro comercial de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36 % a.a.?
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Diagramas de capital × tempo
A reta horizontal é uma escala de tempo;
As flechas significam entradas ou saídas de dinheiro.
Uma flecha para baixo representa uma saída ou aplicação (valor negativo);
Uma flecha para cima representa uma entrada ou recebimento de dinheiro (valor positivo).
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Valor nominal
Valor de um compromisso na data de seu vencimento.
Exemplo: Uma pessoa aplica$ 1.400,00 e irá será resgatar por $ 2.000,00 daqui a 18 meses. Ou seja, o valor nominal da aplicação é $ 2.000,00 no mês n = 18.
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Valor atual
É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento.
Para o cálculo do valor atual é necessário:
O valor nominal;
A data de cálculo;
A taxa de juros a ser utilizada na aplicação.
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Exemplos
O capital de $ 15.000,00 é aplicado por 12 meses, e será resgatado por $ 24.000,00. Qual é a taxa de juros?
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Exemplos
Uma aplicação de valor nominal de $ 24.000,00, foi realizada considerando a taxa de 6 % a.m. Qual o valor atual hoje (data zero)? Considere n = 1 ano.
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Exemplos
Uma aplicação de valor nominal de $ 24.000,00, foi realizada considerando a taxa de 6 % a.m. Passados 6 meses a pessoa precisou de dinheiro. Qual o valor futuro da aplicação na data 6?
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Exercícios propostos – Lista 1
1. Calcular a taxa quadrimestral proporcional às seguintes taxas: 
a) 21% a.a. 
b) 33% ao biênio. 
c) 10% a cada cinco meses. 
2. Determinar a taxa proporcional referente a 5 meses, dadas as taxas seguintes: 
a) 1% a.m. 
b) 2,5% ao bimestre. 
c) 12% a.s. 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
3. Calcular o juro simples e o montante de: 
a) $ 500,00 a 25% a.a. por 8 meses. 
b) $ 2.200,00 a 30,2% a.a. por 2 anos e 5 meses. 
c) $ 3.000,00 a 34% a.a. por 19 meses. 
4. Qual é a taxa de juro que, de um capital de $ 1.200.00, gera um montante de: 
a) $ 1.998,00 em 3 anos e 2 meses. 
b) $1.470,00 em 10 meses. 
c) $ 2.064,00 em 1 ano e 8 meses. 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
5. Qual é o capital que rende: 
a) $ 150,00 a 18% a.a. em 10 meses. 
b) $ 648,00 a 21,6% a.a. em 2 anos e 6 meses. 
c) $ 1.500,00 a 30% a.a. em 3 anos e 4 meses. 
6. Em quanto tempo um capital de $ 10.000,00 aplicado a 26,4% a.a. 
a) renderá $ 4.620,00. 
b) elevar-se-á a $16.160,00. 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
7. Qual é a taxa bimestral equivalente a 28,2% a.a.? 
8. Assinalar as proposições corretas: 
a) 1%ao mês equivale a 12% ao ano. 
b) 2,25% ao bimestre equivalem a 26,80% ao biênio. 
c) 3,4% ao trimestre equivalem a 13,6% ao ano. 
d) 50% ao ano equivalem a 20% em 5 meses. 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
9. Calcular o juro simples comercial e o exato das seguintes propostas:
a) $ 800,00 a 20% a.a. por 90 dias. 
b) $1.100,00 a 27%a.a. por 135 dias. 
c) $ 2.800,00 a 30% a.a. por 222 dias. 
10. Qual é o valor nominal e a data de vencimento de cada um dos compromissos abaixo (juro comercial): 
a) $1.000,00 em 12/02 para 90 dias a 26% a.a. 
b) $ 1.500,00 em 20/04 para 180 dias a 28% a.a. 
c) $ 2.400,00 em 06/01 para 8 meses a 30% a.a. 
d) $ 3.500,00 em 30/05 para 65 dias a 24% a.a. 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
11. Tem-se um título com valor nominal de $ 15.000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros correntes é de 28% a.a., qual o valor atual deste título nas seguintes datas: 
a) hoje.
b) daqui a 1 ano. 
c) 4 meses antes de seu vencimento. 
12. O valor nominal de um título é igual ao dobro de seu valor de face (valor da aplicação). Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 12,5% a.a., qual é o prazo da aplicação? 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
13. Se o valor atual for igual a 2/3 do valor nominal e o prazo de aplicação for de 2 anos, qual será a taxa de juros considerada? 
14. Uma
loja oferece um relógio por $ 3.000,00 a vista ou por 20% do valor a vista como entrada e mais um pagamento de $ 2.760,00 após 6 meses. Qual é a taxa de juros cobrada? 
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Exercícios propostos – Lista 1
15. João emprestou $ 20.000,00 de Carlos para pagá-lo após 2 anos. A taxa ajustada foi de 30% a.a. Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da divida João quisesse resgatá-la e se nesta época o dinheiro valesse 25% a.a.?
16. João tomou emprestado certa quantia de Carlos à taxa de 28,8% a.a. Sabendo-se que João pagou $ 2.061,42 para Carlos, saldando a dívida 2 meses antes de seu vencimento e que nesta época a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto João tomou emprestado e qual era o prazo inicial se os juros previstos montavam $ 648,00?
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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Respostas – Lista 1
1. a) 7% a.q. b) 5,5% a.q.
c) 8% a.q.
2. a) 5% b) 6,25% c) 10%
3. a) $83,33; $583,33 
b) $ 1.605,63; $ 3.805,63 
c) $1.615,00; $ 4.615,00
4. a) 21%a.a. b) 27%a.a.
c) 43,2%a.a. 
5. a) $ 1.000,00 
b) $ 1.200,00 c) $ 1.500,00
6. a) 21 meses b) 28 meses 
7. 4,7% ao bimestre
8) a) e c)
9. a) $ 40,00; $ 39,45
b) 5111,37; $ 109,5 
c) $ 518,00; $ 510,90
10. a) $1.065,00 vencendo em 13/05
b) $1.710,00 vencendo em 17/10 
c) $ 2.880,00 vencendo em 03/09 
d) $ 3.651,66 vencendo em 03/08
11.a) $9.615,38 b) $11.718,75 
c) $ 13.719.52 
12. 8 anos 
13. 25% a.a.
14. 30% a.a.
15.$ 28.444,44
16. $1.500,00; 18 meses
GOMES, José Maria; MATHIAS, Washington Franco. Matemática Financeira. 4.ed. São Paulo: Atlas, 2004.
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