Elemat (Derivadas)

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Universidade Federal de Goia´s Professor: Maxwell
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica Turma: Biologia
Equac¸a˜o da reta
Dado um ponto (a, b) do plano R2(o plano XY) e uma inclinac¸a˜o m, equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (a, b) e possui
inclinac¸a˜o m e´ dada por
y − b = m [x− a]
[Exemplo]: Encontre a equac¸a˜o da reta que passa pelo ponto (1, 2) e possui inclinac¸a˜o 7.
Soluc¸a˜o: Em vista da equac¸a˜o acima, a = 1, b = 2, e m = 7. Portanto a equac¸a˜o sera´ y − 2 = 7(x− 1).
Reta tangente
Dada uma func¸a˜o f(x), vimos que a INCLINAC¸A˜O da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto (a, f(a)) e´ dada por
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Uma vez conhecendo o valor da inclinac¸a˜o f ′(a), podemos encontrar a EQUAC¸A˜O da reta tangente:
[y − f(a)] = f ′(a)[x − a].
[Exemplo] Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x3 no ponto
(√
2 , 2
√
2
)
.
[Soluc¸a˜o] Como f(x) = x3, temos que f ′(x) = 3x2. O ponto onde a reta passa sera´
(√
2 , 2
√
2
)
=
(√
2 , f(
√
2)
)
.
A inclinac¸a˜o da reta tangente e´ f ′(
√
2) = 3(
√
2)2 = 3(2) = 6. A equac¸a˜o da reta tangente e´ y − f(
√
2) = f ′(
√
2) (x−
√
2).
Ou seja, y − 2
√
2 = 6(x−
√
2).
Regras de derivac¸a˜o
Pelo que vimos acima, a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico y = f(x) no ponto (a, f(a)) e´ dada por [y−f(a)] = f ′(a)[x−a].
Isso significa que nosso maior esforc¸o e´ o ca´lculo de f ′(a). Ou seja, precisamos Encontrar a derivada f ′(x) e depois calcular o
valor de f ′(a). Por este motivo temos a regras de derivac¸a˜o! (para SIMPLIFICAR nossas vidas!!!)
Sejam f(x) e g(x) duas func¸o˜es que conseguimos calcular suas derivadas! Ou seja, f ′(x) e g′(x) existem! Portanto
•[Derivada da soma]: [f(x) + g(x)]′ = f ′(x) + g′(x).
Exemplo: [x2 + x9]′ = (x2)′ + (x9)′ = 2x+ 9x8.
•[Derivada da diferenc¸a]: [f(x)− g(x)]′ = f ′(x)− g′(x).
Exemplo: [x−3 − x9]′ = (x−3)′ − (x9)′ = −3x−4 − 9x8.
•[Derivada do produto]: [f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
Exemplo: [(x2 + x9)(x − x5)]′ = [x2 + x9]′(x− x5) + (x2 + x9+)[x− x5]′ = (2x+ 9x8)(x − x5) + (x2 + x9)(1 − 5x4).
•[Derivada do quociente]:
[
f(x)
g(x)
]
′
=
f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)
g2(x)
.
Exemplo:
[
(x2 + x9)
(x − x5)
]′
=
[x2 + x9]′(x− x5)− (x2 + x9+)[x− x5]′
(x− x5)2 =
(2x+ 9x8)(x− x5)− (x2 + x9)(1− 5x4)
(x− x5)2 .
•[Derivada da constante]: [k]′ = 0. Exemplo: Se f(x) ≡ 3, ou seja, a func¸a˜o e´ SEMPRE igual a 3, enta˜o f ′(x) = 0.
•[Derivada do produto por constante]: [kf(x)]′ = kf ′(x). Exemplo: [4x20]′ = 4 · 20x19 = 80x19.
COM TUDO ISSO EM MENTE, ATAQUE A LISTA 4 !
Lembre-se que [xn]′ = nxn−1, [sin(x)]′ = cos(x), [cos(x)]′ = − sin(x) e finalmente, a derivada da tangente sera´
[tg(x)]′ =
[
sin(x)
cos(x)
]
′
=
[sin(x)]′ cos(x)− sin(x)[cos(x)]′
cos2(x)
=
(cos(x)) cos(x)− sin(x)(− sin(x))
cos2(x)
=
cos2(x) + sin2(x)
cos2(x)
=
1
cos2(x)
= sec2(x).