limite_seno

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Limites trigonome´tricos - Ca´lculo Diferencial e Integral I
1 Preaˆmbulo matema´tico
Nosso objetivo neste texto e´ o ca´lculo do importante limite
lim
x→0
sen x
x
(1)
Para tanto, precisamos inicialmente lembrar dois importantes teoremas, os quais
na˜o iremos demonstrar.
Teorema 1: Sejam f e g func¸o˜es tais que em uma vizinhanc¸a do ponto a valha
f(x) ≤ g(x) (exceto possivelmente no pro´prio ponto a). Enta˜o
lim
x→a
f(x) ≤ lim
x→a
g(x)
caso os limites existam.
O teorema acima simplesmente nos fala que como f(x) e´ menor que g(x) na
vizinhanc¸a de a, enta˜o esse comportamento e´ refletido no limite.
Teorema 2 (Teorema do Confronto ou Teorema do sandu´ıche): Sejam
f , g e h func¸o˜es tais que em uma vizinhanc¸a do ponto a valha f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
(exceto possivelmente no pro´prio ponto a), e tais que
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L
enta˜o o limite de g(x) quando x tende ao ponto a existe e
lim
x→a
g(x) = L
Usando o teorema 1 podemos entender porque vale o teorema 2; a importante
novidade no segundo teorema e´ que, ao contra´rio do primeiro, ele garante a existeˆncia
do limite de g(x).
2 O limite
Para calcular o limite dado pela equac¸a˜o (1), usaremos ma˜o do c´ırculo trigonome´trico.
Ale´m disso, vamos considerar apenas o ca´lculo do limite lateral
lim
x→0+
sen x
x
1
uma vez que a func¸a˜o f(x) =
sen x
x
e´ par (por que?), o comportamento do limite
lateral a` esquerda e´ completamente similar. Consideraremos, conforme a figura
acima, que x assume valores entre 0 e pi/2, uma vez que estamos interessados no
limite x → 0+. Note que a figura do triaˆngulo OBC e´ menor do que a´rea do setor
circular1 OBC, que e´ menor que a a´rea do triaˆngulo OBD. Temos enta˜o a seguinte
desigualdade para as a´reas:
OB · AC
2
<
x ·OB
2
<
OB ·BD
2
. (2)
Como o raio do c´ırculo e´ OB = 1, temos OA = cosx, AC = sen x. Por semelhanc¸a
de triaˆngulos, temos tambe´m:
BD =
BD
OB
=
AC
OA
=
sen x
cosx
.
Logo a desigualdade da equac¸a˜o (2) pode ser reescrita como
sen x < x <
sen x
cosx
Dividimos o treˆs termos acima por sen x
1 <
x
sen x
<
1
cosx
Por fim tomamos o inverso das desigualdades, esse u´ltimo passo acarreta em uma
mudanc¸a no sentido das inequac¸o˜es.
cosx <
sen x
x
< 1.
1O ca´lculo da a´rea de um setor circular e´ explicado na sec¸a˜o seguinte.
2
Quando tomamos x → 0+, sabemos que cos x → 1. Logo, usando o teorema do
confronto, segue que
lim
x→0
sen x
x
= 1 (3)
3 A´rea de um setor circular
Um fato que talvez escape para a maioria dos estudantes e´ que, dado o setor circular
de raio R e aˆngulo θ conforme figura abaixo, sua a´rea e´
A =
1
2
θR2.
Como caso particular, o c´ırculo completo e´ um setor circular de aˆngulo 2pi, logo sua
a´rea e´ piR2, como conhecido.
Outro fato que muitos estudantes esquecem e´ a definic¸a˜o do valor de um aˆngulo
em radianos. Dado o setor circular da figura, o aˆngulo θ e´ definido por
θ =
l
R
,
onde l e´ o comprimento do arco de aˆngulo do setor em questa˜o.
Assim, a a´rea de um setor circular pode ser reescrita como
A =
1
2
lR
que foi a fo´rmula utilizada no termo central da desigualdade (2).
4 Exerc´ıcios
Calcule os limites:
lim
x→0
cosx− 1
x
, lim
x→0
cosx− 1
x2
, lim
x→0
tg x
x
, lim
x→pi
2
cosx
x− pi
2
, lim
x→0
sen (2x)
x
3