Lista 3 - MAT 332 - 2015-II

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MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 1
Universidade Federal de Vic¸osa
Centro de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica
MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 2015/II
3a Lista de Exerc´ıcios
To´pico: Permutac¸o˜es
1. Expresse cada uma das seguintes permutac¸o˜es de S8 como produto de ciclos disjuntos e,
depois, como produto de transposic¸o˜es:
(a)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
8 2 6 3 7 4 5 1
)
(b)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 6 4 1 8 2 5 7
)
(c)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 1 4 7 2 5 8 6
)
(d)
(
1 2 3 4 5 6 7 8
7 6 4 1 8 2 3 5
)
(e)
(
4 5 6 8
)(
1 2 4 5
)
(f)
(
6 2 4
)(
2 5 3
)(
8 7 6
)(
4 5
)
Alguma destas permutac¸o˜es pertence a A8? Justifique!
2. Qual a inversa da permutac¸a˜o σ =
(
1 2
)(
3 5
)(
7 8 9
)
no grupo S10 ?
3. Determine as assinaturas das seguintes permutac¸o˜es:
(a)
(
1 2 3 4
2 3 1 4
)
(b)
(
1 2 3 4
3 2 4 1
)
(c)
(
1 2 3 4 5
2 1 3 4 5
)
(d)
(
1 2 3 4 5
3 1 2 5 4
)
(e)
(
1 4 3
)
(f)
(
2 3
)(
4 1 2
)
4. Mostre que os elementos de S9 que enviam os nu´meros 2, 5, 7 neles mesmos, formam um grupo
de S9.
5. Se α, β ∈ Sn, mostre que αβα−1β −1 sempre pertence a An e que αβα−1 pertence a An sempre
que β e´ uma permutac¸a˜o par.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa. DMA - UFV.
MAT 332 - A´lgebra para Licenciatura 2
6. Encontre a ordem das permutac¸o˜es do exerc´ıcio 1.
7. Sejam σ, ϕ ∈ Sn ciclos disjuntos. Mostre que a ordem de σ ◦ ϕ e´ o mmc da ordem dos ciclos
σ e ϕ, isto e´, o(σ ◦ ϕ) = mmc(o(σ), o(ϕ)).
8. Sejam σ, ϕ ∈ Sn. Mostre que sgn(σ) = sgn(ϕ ◦ σ ◦ ϕ−1).
9. Sejam σ, ϕ ∈ Sn ciclos disjuntos tais que σ ◦ ϕ = ε, em que ε e´ a aplicac¸a˜o ideˆntica. Prove
que σ = ϕ = ε.
Lista elaborada por: L´ılian Neves Santa Rosa. DMA - UFV.