Lista_Algebra_Linear

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LISTA EXERCÍCIOS ÁLGEBRA LINEAR 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS 
DIRETORIA DE GRADUAÇÃO 
1. Verifique quais das seguintes transformações são lineares: 
a) T: R²  R²; T(x,y) = (2x - y, 0) b) T: R³  R²; T(x,y,z) = (x - 1, y + z) 
c) T: R  R³; T(x) = (x, 2x, -x) d) T: R²  R²; T(x,y) = (y, x³) 
 
2. Encontre uma transformação linear em cada caso: 
a) T : R² → R² tal que T(1, 2) = (3,−1) e T(0, 1) = (1, 2). 
b) T: R²  R² tal que T(1,2) = (1,1) e T (0,1) = (1,0) 
 
3. Determinar uma transformação linear T : R³  R³ cuja imagem seja gerada pelos vetores 
(1; 2; 0) e (1; 1; 1): 
 
4. Seja T : R³  R³ a transformação linear dada por T(x; y; z) = (x + z; y + z; x + y + 2z): 
Encontre as matrizes de T com relação `a base canônica, C; e com relação `a base B formada 
pelos vetores u = (1; 1; 2); v = (-1; 1; 0);w = (-1;-1; 1) 
 
5. Considere a transformação linear T:R³→R² definida por T (x,y,z)=(3x+y−2z,2y+2z). Determine a 
matriz representativa de T supondo fixadas: 
a) As bases canônicas tanto em R³ como em R²; 
b) A base {(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)} em R³ e a base canônica em R² 
 
6. Considere a transformação linear T: R³→ R³ definida por T(x,y,z) = (2x,4x−y,3y−z). Determine 
a matriz representativa de T supondo fixadas em R³: 
a) A base canônica; b) A base {(1,0,1),(0,1,0),(0,−1,1)}. 
 
7. Seja T: R³  R² uma transformação linear e B = {u = (0,1,0),v = (1,0,1), w = (1,1,0)} uma base 
do R³. Sabendo que T(u) =(1,-2); T(v) = (3,1) e T(w) = (0,2), determinar: 
a) A lei de transformação T(x,y,z) 
b) O núcleo de T 
c) a Imagem de T 
 
8. Encontrar a transformação linear T, sabendo que T(-1,1) = (1,2,0) e que (0,2) ϵ N(T). 
 
9. Para cada uma das transformações lineares abaixo encontre uma base e dê a dimensão do 
núcleo e da imagem: 
a) T: R²  R² ;T(x,y) = (2x - y, 0) b) T: R³  R³ ; T(x,y,z) = (x + 2y, y - z, x + 2z) 
c) T: R²  R² ; T(x,y) = (x + y, x + y) d) T: R³  R² ; T(x,y,z) = (x + y, y + z) 
e) T: R³  R³ ; T(x,y,z) = (x + z, x - z, y) f) T: R³  R² ; T(x,y,z) = (x + 2z, z) 
 
10. Considere T, S ϵ L(R²) dadas por T(x, y) = (x + y, 0) e S(x, y) = (x, 2y). Encontre T ◦ S e S ◦ T.