Seno de um ângulo no quadrado

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SENO DO ÂNGULO NO QUADRADO
PROF. EDILSON MACHADO
edilson.machado@gmail.com
(FGV-SP) Seja ABCD um quadrado de lado 2l e M e N os pontos médios dos lados BC e
CD, respectivamente. Calcule o seno de β (veja figura).
Solução. Vamos precisar da Lei dos Cossenos:
1
SENO DO ÂNGULO NO QUADRADO 2
Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos da figura temos:
∆MCN : MN2 = l2 + l2
MN2 = 2l2
MN = l
√
2
∆ABM :AM2 = l2 + 4l2
AM2 = 5l2
AM = AN = l
√
5
Nossa figura anterior fica assim:
SENO DO ÂNGULO NO QUADRADO 3
Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo AMN temos:(
l
√
2
)2
=
(
l
√
5
)2
+
(
l
√
5
)2
− 2
(
l
√
5
)(
l
√
5
)
cosβ
2l2 = 5l2 + 5l2 − 2 · 5l2 · cosβ
2l2 = 10l2 − 10l2cosβ
2 = 10− 10cos
10cosβ = 10− 2
cosβ =
8
10
cosβ =
4
5
Para determinarmos o senβ vamos usar a relação:
sen2β + cos2β = 1
Para nosso problema:
sen2β +
(
4
5
)2
= 1
sen2β +
16
25
= 1
sen2β = 1− 16
25
sen2β =
9
25
senβ =
√
9
25
senβ =
3
5