Lista 1 calculo 2

Prévia do material em texto

UFPB / CCEN / Departamento de Matemática
Período 2011.2
Cálculo Diferencial e Integral II — 1a Lista de Exercícios
Professor:Fred
Fórmulas Básicas de Derivação
(01) [f (x) + g (x)]0 = f 0 (x) + g0 (x) ( Regra da Soma )
(02) [f (x)� g (x)]0 = f 0 (x)� g0 (x) ( Regra da Diferença )
(03) [f (x) :g (x)]0 = f (x) :g0 (x) + f 0 (x) :g (x) ( Regra do Produto )
(04)
�
f (x)
g (x)
�0
=
f 0 (x) :g (x)� f (x) :g0 (x)
[g (x)]2
( Regra do Quociente )
(05) [f (g (x))]0 = f 0 (g (x)) :g0 (x) ( Regra da Cadeia )
NOTAÇÕES
log x = ln x = logaritmo natural de x ex = exp (x) = exponencial de x
sin x = senx = seno de x tan x = tgx = tangente de x
cotx = cotgx = cotangente de x csc x = cosecx = cossecante de x
arcsinx = arco seno de x arctanx = arco tangente de x
Derivadas das Principais Funções Elementares
(01)
d
dx
[xn] = nxn�1, 8n 2 R (02) d
dx
[log jxj] = 1
x
(03)
d
dx
[ex] =
d
dx
[exp (x)] = ex (04)
d
dx
[ax] = ax ln a, a > 0
(05)
d
dx
[senx] = cosx (06)
d
dx
[cosx] = �senx
(07)
d
dx
[tgx] = sec2 x (08)
d
dx
[cotgx] = �cossec2x
(09)
d
dx
[sec x] = secx:tgx (10)
d
dx
[cossecx] = �cossecx:cotgx
(11)
d
dx
[arcsenx] =
1p
1� x2 (12)
d
dx
[arctgx] =
1
1 + x2
Primitivas das Principais Funções Elementares
(01)
Z
xndx =
xn+1
n+ 1
, se n 6= �1 (02) R 1
x
dx = log jxj
(03)
Z
exdx = ex (04)
Z
axdx =
ax
ln a
, a > 0 e a 6= 1
(05)
Z
sinxdx = � cosx (06)
Z
cosxdx = sinx
(07)
Z
sec2 xdx = tanx (08)
Z
csc2 xdx = � cotx
(09)
Z
sec x tan xdx = secx (10)
Z
csc x cotxdx = � csc x
(11)
Z
dxp
1� x2 = arcsinx (12)
Z
dx
1 + x2
= arctan x
[ A ] Calcule as integrais listadas abaixo, usando o método da substituição :
(01)
Z
e5xdx (02)
Z
sin axdx (03)
Z
dx
sin2 3x
(04)
Z
dx
3x� 7
(05)
Z
tan 2xdx (06)
Z
cot (5x� 7) dx (07)
Z
tan x sec2 xdx (08)
Z
(cot ex) exdx
(09)
Z
sin2 x cosxdx (10)
Z
cos3 x sin xdx (11)
Z
x
p
x2 + 1dx (12)
Z
x2dxp
x3 + 1
(13)
Z
cosxdx
sin2 x
(14)
Z
dx
cos2 x
p
tan x� 1 (15)
Z
ln (x+ 1)
x+ 1
dx (16)
Z
cosxdxp
2 sin x+ 1
(17)
Z p
tan x+ 1
cos2 x
dx (18)
Z
cos 2xdx
(2 + 3 sin 2x)3
(19)
Z
arcsinxdxp
1� x2 (20)
Z
arctanxdx
1 + x2
(21)
Z
arccos2 xdxp
1� x2 (22)
Z
(x+ 1) dx
x2 + 2x+ 3
(23)
Z
cosxdx
2 sin x+ 3
(24)
Z
dx
x lnx
(25)
Z
dx
(1 + x2) arctan x
(26)
Z
tan3 x
cos2 x
dx (27)
Z
dxp
1� x2 arcsinx (28)
Z
cos (ln x)
x
dx
(29)
Z
ax
2
xdx (30)
Z
3xexdx (31)
Z
e�3xdx (32)
Z
(e5x + a5x) dx
(33)
Z
ex
2+4x+3 (x+ 2) dx (34)
Z
(ax � bx)2
axbx
dx (35)
Z
e2xdx
2 + e2x
(36)
Z
dxp
1� 3x2
(37)
Z
dxp
16� 9x2 (38)
Z
dx
9x2 + 4
(39)
Z
xdxp
1� x4 (40)
Z
xdx
x4 + a4
(41)
Z
exdxp
1� e2x (42)
Z
cosxdx
a2 + sin2 x
(43)
Z
dx
x
p
1� ln2 x
(44)
Z
(x� arctanx) dx
1 + x2
(45)
Z p
1 +
p
xdxp
x
(46)
Z
dxp
x
p
1 +
p
x
(47)
Z
exdx
1 + e2x
(48)
Z
cosxdx
3
p
sin2 x
(49)
Z
sin 2xdxp
1 + cos2 x
(50)
Z
cos3 xdx
sin4 x
(51)
Z 3p
tan2 xdx
cos2 x
(52)
Z
dx
2 sin2 x+ 3 cos2 x
RESPOSTAS
(01) 1
5
e5x (02) �cos ax
a
(03) �1
3
cot 3x (04) 1
3
ln (3x� 7)
(05) �1
2
ln (cos 2x) (06) 1
5
ln jsin (5x� 7)j (07) 1
2
tan2 x (08) ln jsin exj
(09) 1
3
sin3 x (10) �1
4
cos4 x (11) 1
3
�p
(x2 + 1)
�3
(12) 2
3
p
(x3 + 1)
(13) � 1
sinx
(14) 2
p
tan x� 1 (15) 1
2
ln2 (x+ 1) (16)
p
(2 sin x+ 1)
(17) 2
3
q
(tanx+ 1)3 (18) � 1
12 (2 + 3 sin 2x)2
(19) 1
2
arcsin2 x (20) 1
2
arctan2 x
(21) �1
3
arccos3 x (22) 1
2
ln (x2 + 2x+ 3) (23) 1
2
ln (2 sinx+ 3) (24) ln (ln x)
(25) ln jarctanxj (26) 1
4
tan4 x (27) ln jarcsinxj (28) sin (lnx)
(29)
1
2 ln a
ax
2
(30) 1
1+ln 3
ex3x (31) �1
3
e�3x (32) 1
5
e5x + 1
5 ln a
a5x
CONTINUAÇÃO DAS RESPOSTAS
(33) 1
2
ex
2+4x+3 (34) �
�
a
b
�x � � b
a
�x
ln a� ln b � 2x (35)
1
2
ln (2 + e2x) (36) 1
3
p
3 arcsin
�p
3x
�
(37) 1
3
arcsin 3
4
x (38) 1
6
arctan 3
2
x (39) 1
2
arcsinx2 (40) 1
2a2
arctan x
2
a2
(41) arcsin ex (42)
1
a
arctan
�
sin x
a
�
(43) arcsin (ln x) (44) 1
2
ln (1 + x2)� 1
2
arctan2 x
(45) 4
3
q
(1 +
p
x)
3 (46) 4
p
1 +
p
x (47) arctan (ex) (48) 3
p
sin x
(49) �2p(1 + cos2 x) (50) 1
sin x
� 1
3 sin3 x
(51)
3
5
3
p
tan5 x (52) 1p
6
arctan
�q
2
3
tan x
�
[ B ] Calcule as integrais listadas abaixo,usando integração por partes :
(01)
Z
xexdx (02)
Z
x lnxdx (03)
Z
x sin xdx
(04)
Z
lnxdx (05)
Z
arcsinxdx (06)
Z
xn lnxdx
(07)
Z
x arctanxdx (08)
R
ln(x2 + 1)dx (09)
Z
arcsin
p
xp
x
dx
(10)
Z
arcsin
�p
x
x+1
�
dx (11)
Z
x arctanxdx
(x2 + 1)2
(12)
Z
x arctan
�p
x2 � 1� dx
(13)
Z
arcsinxdx
x2
(14)
Z
ln
�
x+
p
1 + x2
�
dx
RESPOSTAS
(01) xex � ex (02) 1
2
x2 lnx� 1
4
x2
(03) sinx� x cosx (04) x lnx� x
(05) x arcsinx+
p
(1� x2) (06) xn+1
n+1
�
lnx� 1
n+1
�
(07) 1
2
x2 arctanx� 1
2
x+ 1
2
arctanx (08) x ln (1 + x2)� 2x+ 2arctanx
(09) 2
p
x arcsin
p
x+ 2
p
(�x+ 1) (10) x arcsin
�p
x
x+1
�
�px+ arctanpx
(11) � 1
2(1+x2)
arctanx+ x
4(1+x2)
+ 1
4
arctanx (12) x
2
2
arctan
p
x2 � 1� 1
2
p
x2 � 1
(13) ln
���1�p1�x2x ���� 1x arcsinx (14) x ln ��x+p1 + x2���p1 + x2
[ C ] Calcule as integrais listadas abaixo pelo método das frações parciais :
(01)
Z
(2x� 1)
(x� 1) (x� 2)dx (02)
Z
xdx
(x+ 1) (x+ 3) (x+ 5)
(03)
Z
(x5 + x4 � 8) dx
x3 � 4x (04)
Z
x4dx
(x2�1)(x+2)
(05)
Z
dx
(x� 1)2 (x� 2) (06)
Z
(x� 8) dx
x3 � 4x2 + 4x
(07)
Z
(3x+ 2) dx
x (x+ 1)3
(08)
Z
dx
x3 + 1
(09)
Z
x5
x3 � 1 (10)
R (x2 + 2x+ 1) dx
(1 + x2)2
RESPOSTAS
(01) � ln (x� 1) + 3 ln (x� 2) (02) �1
8
ln (x+ 1) + 3
4
ln (x+ 3)� 5
8
ln (x+ 5)
(03) 1
3
x3 + 1
2
x2 + 4x+ 2 lnx+ 5 ln (x� 2)� 3 ln (x+ 2)
(04) 1
2
x2 � 2x+ 1
6
ln (x� 1)� 1
2
ln (x+ 1) + 16
3
ln (x+ 2)
(05)
1
x� 1 � ln (x� 1) + ln (x� 2) (06) �2 ln x+
3
x�2 + 2 ln (x� 2)
(07) 2 ln x� 1
2 (x+ 1)2
+
2
x+ 1
� 2 ln (x+ 1)
(08) 1
3
ln (x+ 1)� 1
6
ln (x2 � x+ 1) + 1p
3
arctan
�
2x�1p
3
�
(09) 1
3
x3 + 1
3
ln (x3 � 1) (10) � 1
1+x2
+ arctanx
[ D ] Calcular as integrais abaixo :
(01)
Z
dx
x2 + 2x+ 5
(02)
Z
dx
3x2 � 2x+ 4
(03)
Z
dx
x2 � 6x+ 5 (04)
Z
dx
2x2 � 2x+ 1
(05)
Z
(6x� 7) dx
3x2 � 7x+ 11 (06)
Z
(7x+ 1) dx
6x2 + x� 1
(07)
Z
(3x� 2) dx
5x2 � 3x+ 2 (08)
Z
(6x4 � 5x3 + 4x2) dx
2x2 � x+ 1
RESPOSTAS
(01)
1
2
arctan
�
1
2
x+
1
2
�
(02)
1p
11
arctan
�
3x� 1p
11
�
(03)
1
4
ln
����x� 5x� 1
���� (04) arctan (2x� 1)
(05) ln j3x2 � 7x+ 11j (06) 1
2
ln (2x+ 1) + 2
3
ln (3x� 1)
(07) 3
10
ln (5x2 � 3x+ 2)� 11
5
p
31
arctan
�
10x� 3p
31
�
(08) x3 � x2
2
+ 1
4
ln j2x2 � x+ 1j+ 1
2
p
7
arctan
�
4x�1p
7
�
[E ]. Resolva os seguintes problemas de valor inicial
(01) ds
dt
= 12t(3t2 � 1)3; s(1) = 3 (02) d2y
dx2
= sec2 x; y(0) = 1; y0(0) = 0
(03) dy
dt
= et sin(et � 2); y(ln 2) = 0 (04) dy
dt
= 1p
1�t2 ; y(0) = 0
RESPOSTAS
(01) s(t) = (3t
2�1)4
2
� 5 (02) y(t) = � ln(jcos tj) + 1
(03) y(t) = � cos(et � 2) + 1 (04) y(t) = arcsin t
� [F]. A velocidade de uma partícula em movimento de um lado para o outro em uma
reta é v = ds
dt
= 6 sin 2t m=s; pata todo t. Se s = 0 quando t = 0, determine o valor
de s quando t = �
2
s. Resp. s(�
2
) = 6m