Algebra linear 2 lista 6 (1)

Prévia do material em texto

Sexta lista de exerc´ıcios de IC-239 A´lgebra Linear II
Nos exerc´ıcios a seguir, considere as matrizes
A =

2 3 4 1
1 1 1 1
0 −1 −1 1
3 4 5 1
 , B =

1 1 4 2
1 2 3 0
1 2 3 −2
1 4 1 −4
 , C =

1 1
−1 0
1 1
−1 1
 , D =

1 2 4 3
0 1 2 2
0 0 0 1
1 0 5 0

F =
(
0 −1 0 0
0 0 1
2
1
2
)
1. Calcule
a)det(A) b)det(B) c)det(CF ) d)det(FC) e)det(D)
2. Sem fazer contas elaboradas, calcule
a)det(AB) b)det(DA) c)det(AD) d)det(Dt) e)det(D−1)
3. Seja bt = (1,−1,−2, 11) simultaneamente, calcule D−1, det(D) e resolva
o sistema DX = b
4. Seja b uma matriz coluna qualquer. Usando os resultados dos exerc´ıcios
anteriores, diga se os sistemas sa˜o poss´ıveis e determinados:
a)AX = b b)BX = b c)DX = b
5. Considere o sistema

0 0 1 1 2
1 −1 2 0 2
0 0 3 0 3
−1 1 4 −1 3


x1
x2
x3
x4
x5
 =

−1
1
0
0

a) Resolva esse sistema usando escalonamento;
b) Classifique o sistema quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es;
c) Existe alguma soluc¸a˜o do sistema tal que x1 = 3 e x3 = 0? Se sim,
qual e´ essa soluc¸a˜o?
6. Resolva os sistemas abaixo usando as operac¸o˜es elementares sobre as
equac¸o˜es e classifique-os quanto ao nu´mero de suas soluc¸o˜es:
1
a)

x2 +x3 −2x4 = −1
x1 +x2 = 0
2x1 +3x2 +x3 +x4 = −1
b)

x2 −x3 +x4 = 1
x1 +2x2 +x3 = 1
x1 +3x2 +x4 = 1
7. Se as matrizes A,B,C e X sa˜o quadradas de mesma ordem e invert´ıveis,
encontre uma expressa˜o para X em termos das outras matrizes:
a)CXB = A
b)A(XB)−1C = AB−1
c)(Ct)−1X t(A−1)t = B.
8. Seja A uma matriz 4×5 tal que depois de escalonada na˜o tem nenhuma
linha nula.
a) Resolva o sistema homogeˆneo AX = 0, sabendo que (2, 1, 0, 1, 2) e´
uma soluc¸a˜o desse sistema:
b) Seja b uma matriz 4 × 1 na˜o nula e (7, 2, 4, 6, 9) uma soluc¸a˜o do
sistema AX = b, encontre as outras soluc¸o˜es desse sistema.
9. Dada a matriz A =
( √
2
2
a
b
√
2
2
)
, determine as condic¸o˜es sobre a e b
para que:
a)A matriz A tenha inversa;
b)At = A−1.
Gabarito
1. a)1 b)0 c)0 d)1 e)5
2. a)0 b)5 c)− 5 d)− 5 e)− 1
5
3. D−1 =

1 −2 1 0
0, 4 0, 2 −1, 6 −0, 4
−0, 2 0, 4 −0.2 0, 2
0 0 1 0
 , X =

1
−1
2
−2

2
4. a)Sim b)Na˜o c)Sim
5. a)X =

1
1
0
0
0
 t +

0
0
−1
−1
1
 s +

1
0
0
−1
0
 , s, t ∈ R
b)Poss´ıvel e indeterminado.
c)Sim, (3, 2, 0,−1, 0)
6. a)X =

1
−1
1
0
x3 +

1
−1
0
0
 , x3 ∈ R, Poss´ıvel e indeterminado.
b)Imposs´ıvel.
7. a)X = C−1AB−1 b)X = C c)X = ABtC
8. a)(2, 1, 0, 1, 2)t, t ∈ R b)(2, 1, 0, 1, 2)t + (7, 2, 4, 6, 9), t ∈ R
9. a)2ab = 1 b)(a, b) = (
√
2
2
,
√
2
2
) ou (a, b) = (−
√
2
2
,
√
2
2
)
3