trabalho 5 MN

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Instituto de Computação
MÉTODOS NUMÉRICOS (TCC00325)
ATIVIDADE V
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
Luiz Felipe do Nascimento Lira
221056101
Niterói/RJ
2024.2
1. Determinação do polinômio
Seguindo as instruções do enunciado, temos que a partir do número de
matrícula do aluno, 221056101, formaremos o seguinte polinômio a ser integrado
numéricamente entre e :𝑎 =− 10 𝑏 = 10
𝑓(𝑥) = 2𝑥8 + 2𝑥7 + 1𝑥6 + 0𝑥5 + 5𝑥4 + 6𝑥3 + 1𝑥2 + 0𝑥 + 1 
⇔ 𝑓(𝑥) = 2𝑥8 + 2𝑥7 + 𝑥6 + 5𝑥4 + 6𝑥3 + 𝑥2 + 1
2. Usando a fórmula do Erro da Regra dos Trapézios e estudando a
distância máxima
Usaremos a fórmula do erro da regra dos trapézios para definir se
utilizaremos um número n de intervalos tal que o erro obtido seja menor que 10−8
ou se optaremos por limitar o método por 1000 pontos. Temos a seguinte expressão
para o erro:
denota o valor absoluto máximo da segunda derivada da função , que𝑀
2
𝑓(𝑥)
é nosso polinômio. Nossa será dada por:𝑓''(𝑥)
𝑓''(𝑥) = 112𝑥6 + 84𝑥5 + 30𝑥4 + 60𝑥2 + 36𝑥 + 2
Agora, temos de analisar a expressão de para identificar onde assumirá𝑓''(𝑥)
seu maior valor em módulo. Notamos que é um polinômio de grau 6, que assumirá a
forma de uma parábola com a concavidade para cima. Desta forma, os maiores
valores deverão estar localizados nos extremos. Então, testaremos os dois
extremos, -10 e 10. Segue que:
𝑓''(− 10) = 103905642
𝑓''(10) = 120706362
Assim, temos que:
𝑓''(10) > 𝑓''(− 10) ⇒ 𝑀
2
= 𝑓''(10) = 120. 706. 362
Agora, calculando o intervalo h mínimo para atender ao erro solicitado, temos
que:
ℎ2
12 (𝑏 − 𝑎)𝑀
2
-6.440000e+00 5.076765e+06
-6.420000e+00 4.949721e+06
-6.400000e+00 4.825467e+06
-6.380000e+00 4.703953e+06
-6.360000e+00 4.585126e+06
-6.340000e+00 4.468935e+06
-6.320000e+00 4.355329e+06
-6.300000e+00 4.244260e+06
-6.280000e+00 4.135678e+06
-6.260000e+00 4.029535e+06
-6.240000e+00 3.925785e+06
-6.220000e+00 3.824381e+06
-6.200000e+00 3.725277e+06
-6.180000e+00 3.628429e+06
-6.160000e+00 3.533792e+06
-6.140000e+00 3.441322e+06
-6.120000e+00 3.350978e+06
-6.100000e+00 3.262717e+06
-6.080000e+00 3.176498e+06
-6.060000e+00 3.092280e+06
-6.040000e+00 3.010023e+06
-6.020000e+00 2.929689e+06
-6.000000e+00 2.851237e+06
-5.980000e+00 2.774631e+06
-5.960000e+00 2.699832e+06
-5.940000e+00 2.626805e+06
-5.920000e+00 2.555513e+06
-5.900000e+00 2.485921e+06
-5.880000e+00 2.417994e+06
-5.860000e+00 2.351697e+06
-5.840000e+00 2.286997e+06
-5.820000e+00 2.223861e+06
-5.800000e+00 2.162256e+06
-5.780000e+00 2.102150e+06
-5.760000e+00 2.043512e+06
-5.740000e+00 1.986311e+06
-5.720000e+00 1.930517e+06
-5.700000e+00 1.876100e+06
-5.680000e+00 1.823031e+06
-5.660000e+00 1.771281e+06
-5.640000e+00 1.720821e+06
-5.620000e+00 1.671625e+06
-5.600000e+00 1.623664e+06
-5.580000e+00 1.576913e+06
-5.560000e+00 1.531344e+06
-5.540000e+00 1.486933e+06
-5.520000e+00 1.443653e+06
-5.500000e+00 1.401481e+06
-5.480000e+00 1.360391e+06
-5.460000e+00 1.320360e+06
-5.440000e+00 1.281364e+06
-5.420000e+00 1.243380e+06
-5.400000e+00 1.206386e+06
-5.380000e+00 1.170359e+06
-5.360000e+00 1.135278e+06
-5.340000e+00 1.101121e+06
-5.320000e+00 1.067868e+06
-5.300000e+00 1.035497e+06
-5.280000e+00 1.003989e+06
-5.260000e+00 9.733232e+05
-5.240000e+00 9.434811e+05
-5.220000e+00 9.144432e+05
-5.200000e+00 8.861910e+05
-5.180000e+00 8.587062e+05
-5.160000e+00 8.319708e+05
-5.140000e+00 8.059672e+05
-5.120000e+00 7.806781e+05
-5.100000e+00 7.560867e+05
-5.080000e+00 7.321764e+05
-5.060000e+00 7.089310e+05
-5.040000e+00 6.863344e+05
-5.020000e+00 6.643712e+05
-5.000000e+00 6.430260e+05
-4.980000e+00 6.222839e+05
-4.960000e+00 6.021301e+05
-4.940000e+00 5.825503e+05
-4.920000e+00 5.635305e+05
-4.900000e+00 5.450568e+05
-4.880000e+00 5.271157e+05
-4.860000e+00 5.096940e+05
-4.840000e+00 4.927788e+05
-4.820000e+00 4.763573e+05
-4.800000e+00 4.604172e+05
-4.780000e+00 4.449463e+05
-4.760000e+00 4.299327e+05
-4.740000e+00 4.153647e+05
-4.720000e+00 4.012309e+05
-4.700000e+00 3.875203e+05
-4.680000e+00 3.742219e+05
-4.660000e+00 3.613249e+05
-4.640000e+00 3.488191e+05
-4.620000e+00 3.366941e+05
-4.600000e+00 3.249399e+05
-4.580000e+00 3.135468e+05
-4.560000e+00 3.025052e+05
-4.540000e+00 2.918058e+05
-4.520000e+00 2.814395e+05
-4.500000e+00 2.713972e+05
-4.480000e+00 2.616703e+05
-4.460000e+00 2.522502e+05
-4.440000e+00 2.431287e+05
-4.420000e+00 2.342974e+05
-4.400000e+00 2.257485e+05
-4.380000e+00 2.174742e+05
-4.360000e+00 2.094669e+05
-4.340000e+00 2.017192e+05
-4.320000e+00 1.942237e+05
-4.300000e+00 1.869735e+05
-4.280000e+00 1.799616e+05
-4.260000e+00 1.731812e+05
-4.240000e+00 1.666258e+05
-4.220000e+00 1.602888e+05
-4.200000e+00 1.541642e+05
-4.180000e+00 1.482456e+05
-4.160000e+00 1.425272e+05
-4.140000e+00 1.370030e+05
-4.120000e+00 1.316674e+05
-4.100000e+00 1.265149e+05
-4.080000e+00 1.215400e+05
-4.060000e+00 1.167375e+05
-4.040000e+00 1.121021e+05
-4.020000e+00 1.076289e+05
-4.000000e+00 1.033130e+05
-3.980000e+00 9.914959e+04
-3.960000e+00 9.513403e+04
-3.940000e+00 9.126179e+04
-3.920000e+00 8.752846e+04
-3.900000e+00 8.392974e+04
-3.880000e+00 8.046144e+04
-3.860000e+00 7.711948e+04
-3.840000e+00 7.389989e+04
-3.820000e+00 7.079880e+04
-3.800000e+00 6.781244e+04
-3.780000e+00 6.493715e+04
-3.760000e+00 6.216936e+04
-3.740000e+00 5.950561e+04
-3.720000e+00 5.694252e+04
-3.700000e+00 5.447679e+04
-3.680000e+00 5.210525e+04
-3.660000e+00 4.982477e+04
-3.640000e+00 4.763234e+04
-3.620000e+00 4.552503e+04
-3.600000e+00 4.349998e+04
-3.580000e+00 4.155441e+04
-3.560000e+00 3.968563e+04
-3.540000e+00 3.789103e+04
-3.520000e+00 3.616805e+04
-3.500000e+00 3.451423e+04
-3.480000e+00 3.292716e+04
-3.460000e+00 3.140453e+04
-3.440000e+00 2.994406e+04
-3.420000e+00 2.854357e+04
-3.400000e+00 2.720092e+04
-3.380000e+00 2.591405e+04
-3.360000e+00 2.468095e+04
-3.340000e+00 2.349969e+04
-3.320000e+00 2.236837e+04
-3.300000e+00 2.128518e+04
-3.280000e+00 2.024834e+04
-3.260000e+00 1.925613e+04
-3.240000e+00 1.830689e+04
-3.220000e+00 1.739902e+04
-3.200000e+00 1.653095e+04
-3.180000e+00 1.570117e+04
-3.160000e+00 1.490822e+04
-3.140000e+00 1.415068e+04
-3.120000e+00 1.342719e+04
-3.100000e+00 1.273643e+04
-3.080000e+00 1.207710e+04
-3.060000e+00 1.144797e+04
-3.040000e+00 1.084784e+04
-3.020000e+00 1.027556e+04
-3.000000e+00 9.730000e+03
-2.980000e+00 9.210084e+03
-2.960000e+00 8.714767e+03
-2.940000e+00 8.243040e+03
-2.920000e+00 7.793929e+03
-2.900000e+00 7.366493e+03
-2.880000e+00 6.959826e+03
-2.860000e+00 6.573052e+03
-2.840000e+00 6.205328e+03
-2.820000e+00 5.855839e+03
-2.800000e+00 5.523801e+03
-2.780000e+00 5.208457e+03
-2.760000e+00 4.909079e+03
-2.740000e+00 4.624966e+03
-2.720000e+00 4.355440e+03
-2.700000e+00 4.099853e+03
-2.680000e+00 3.857578e+03
-2.660000e+00 3.628012e+03
-2.640000e+00 3.410576e+03
-2.620000e+00 3.204713e+03
-2.600000e+00 3.009887e+03
-2.580000e+00 2.825584e+03
-2.560000e+00 2.651311e+03
-2.540000e+00 2.486591e+03
-2.520000e+00 2.330969e+03
-2.500000e+00 2.184008e+03
-2.480000e+00 2.045288e+03
-2.460000e+00 1.914407e+03
-2.440000e+00 1.790979e+03
-2.420000e+00 1.674635e+03
-2.400000e+00 1.565019e+03
-2.380000e+00 1.461793e+03
-2.360000e+00 1.364632e+03
-2.340000e+00 1.273226e+03
-2.320000e+00 1.187276e+03
-2.300000e+00 1.106499e+03
-2.280000e+00 1.030623e+03
-2.260000e+00 9.593878e+02
-2.240000e+00 8.925460e+02
-2.220000e+00 8.298606e+02
-2.200000e+00 7.711058e+02
-2.180000e+00 7.160660e+02
-2.160000e+00 6.645358e+02
-2.140000e+00 6.163192e+02
-2.120000e+00 5.712299e+02
-2.100000e+00 5.290901e+02
-2.080000e+00 4.897308e+02
-2.060000e+00 4.529913e+02
-2.040000e+00 4.187187e+02
-2.020000e+00 3.867675e+02
-2.000000e+00 3.570000e+02
-1.980000e+00 3.292850e+02
-1.960000e+00 3.034983e+02
-1.940000e+00 2.795219e+02
-1.920000e+00 2.572442e+02
-1.900000e+00 2.365593e+02
-1.880000e+00 2.173670e+02
-1.860000e+00 1.995725e+02
-1.840000e+00 1.830861e+02
-1.820000e+00 1.678231e+02
-1.800000e+00 1.537034e+02
-1.780000e+00 1.406516e+02
-1.760000e+00 1.285964e+02
-1.740000e+00 1.174705e+02
-1.720000e+00 1.072107e+02
-1.700000e+00 9.775748e+01
-1.680000e+00 8.905472e+01
-1.660000e+00 8.104974e+01
-1.640000e+00 7.369304e+01
-1.620000e+00 6.693814e+01
-1.600000e+00 6.074147e+01
-1.580000e+00 5.506215e+01
-1.560000e+00 4.986192e+01
-1.540000e+00 4.510496e+01
-1.520000e+00 4.075777e+01
-1.500000e+00 3.678906e+01
-1.480000e+00 3.316962e+01
-1.460000e+00 2.987218e+01
-1.440000e+00 2.687136e+01
-1.420000e+00 2.414351e+01
-1.400000e+00 2.166662e+01
-1.380000e+00 1.942024e+01
-1.360000e+00 1.738539e+01
-1.340000e+00 1.554445e+01
-1.320000e+00 1.388110e+01
-1.300000e+00 1.238022e+01
-1.280000e+00 1.102783e+01
-1.260000e+00 9.811002e+00
-1.240000e+00 8.717820e+00
-1.220000e+00 7.737282e+00
-1.200000e+00 6.859256e+00
-1.180000e+00 6.074422e+00
-1.160000e+00 5.374207e+00
-1.140000e+00 4.750745e+00
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4.720000e+00 6.112560e+05
4.740000e+00 6.316773e+05
4.760000e+00 6.526937e+05
4.780000e+00 6.743201e+05
4.800000e+00 6.965717e+05
4.820000e+00 7.194638e+05
4.840000e+00 7.430122e+05
4.860000e+00 7.672331e+05
4.880000e+00 7.921427e+05
4.900000e+00 8.177578e+05
4.920000e+00 8.440956e+05
4.940000e+00 8.711733e+05
4.960000e+00 8.990088e+05
4.980000e+00 9.276202e+05
5.000000e+00 9.570260e+05
5.020000e+00 9.872450e+05
5.040000e+00 1.018296e+06
5.060000e+00 1.050200e+06
5.080000e+00 1.082975e+06
5.100000e+00 1.116643e+06
5.120000e+00 1.151224e+06
5.140000e+00 1.186739e+06
5.160000e+00 1.223210e+06
5.180000e+00 1.260658e+06
5.200000e+00 1.299107e+06
5.220000e+001.338579e+06
5.240000e+00 1.379097e+06
5.260000e+00 1.420685e+06
5.280000e+00 1.463367e+06
5.300000e+00 1.507168e+06
5.320000e+00 1.552113e+06
5.340000e+00 1.598226e+06
5.360000e+00 1.645535e+06
5.380000e+00 1.694066e+06
5.400000e+00 1.743846e+06
5.420000e+00 1.794901e+06
5.440000e+00 1.847261e+06
5.460000e+00 1.900953e+06
5.480000e+00 1.956007e+06
5.500000e+00 2.012451e+06
5.520000e+00 2.070317e+06
5.540000e+00 2.129634e+06
5.560000e+00 2.190434e+06
5.580000e+00 2.252749e+06
5.600000e+00 2.316609e+06
5.620000e+00 2.382050e+06
5.640000e+00 2.449103e+06
5.660000e+00 2.517803e+06
5.680000e+00 2.588184e+06
5.700000e+00 2.660282e+06
5.720000e+00 2.734132e+06
5.740000e+00 2.809770e+06
5.760000e+00 2.887234e+06
5.780000e+00 2.966562e+06
5.800000e+00 3.047791e+06
5.820000e+00 3.130960e+06
5.840000e+00 3.216110e+06
5.860000e+00 3.303280e+06
5.880000e+00 3.392512e+06
5.900000e+00 3.483846e+06
5.920000e+00 3.577326e+06
5.940000e+00 3.672995e+06
5.960000e+00 3.770896e+06
5.980000e+00 3.871073e+06
6.000000e+00 3.973573e+06
6.020000e+00 4.078441e+06
6.040000e+00 4.185723e+06
6.060000e+00 4.295468e+06
6.080000e+00 4.407723e+06
6.100000e+00 4.522538e+06
6.120000e+00 4.639963e+06
6.140000e+00 4.760048e+06
6.160000e+00 4.882844e+06
6.180000e+00 5.008405e+06
6.200000e+00 5.136783e+06
6.220000e+00 5.268032e+06
6.240000e+00 5.402207e+06
6.260000e+00 5.539365e+06
6.280000e+00 5.679561e+06
6.300000e+00 5.822853e+06
6.320000e+00 5.969299e+06
6.340000e+00 6.118960e+06
6.360000e+00 6.271894e+06
6.380000e+00 6.428164e+06
6.400000e+00 6.587832e+06
6.420000e+00 6.750960e+06
6.440000e+00 6.917613e+06
6.460000e+00 7.087856e+06
6.480000e+00 7.261755e+06
6.500000e+00 7.439377e+06
6.520000e+00 7.620790e+06
6.540000e+00 7.806064e+06
6.560000e+00 7.995268e+06
6.580000e+00 8.188475e+06
6.600000e+00 8.385755e+06
6.620000e+00 8.587183e+06
6.640000e+00 8.792834e+06
6.660000e+00 9.002782e+06
6.680000e+00 9.217105e+06
6.700000e+00 9.435880e+06
6.720000e+00 9.659187e+06
6.740000e+00 9.887106e+06
6.760000e+00 1.011972e+07
6.780000e+00 1.035711e+07
6.800000e+00 1.059935e+07
6.820000e+00 1.084655e+07
6.840000e+00 1.109877e+07
6.860000e+00 1.135611e+07
6.880000e+00 1.161866e+07
6.900000e+00 1.188651e+07
6.920000e+00 1.215975e+07
6.940000e+00 1.243846e+07
6.960000e+00 1.272276e+07
6.980000e+00 1.301272e+07
7.000000e+00 1.330845e+07
7.020000e+00 1.361005e+07
7.040000e+00 1.391761e+07
7.060000e+00 1.423124e+07
7.080000e+00 1.455103e+07
7.100000e+00 1.487710e+07
7.120000e+00 1.520954e+07
7.140000e+00 1.554847e+07
7.160000e+00 1.589399e+07
7.180000e+00 1.624621e+07
7.200000e+00 1.660525e+07
7.220000e+00 1.697121e+07
7.240000e+00 1.734421e+07
7.260000e+00 1.772436e+07
7.280000e+00 1.811179e+07
7.300000e+00 1.850660e+07
7.320000e+00 1.890893e+07
7.340000e+00 1.931890e+07
7.360000e+00 1.973662e+07
7.380000e+00 2.016222e+07
7.400000e+00 2.059584e+07
7.420000e+00 2.103759e+07
7.440000e+00 2.148762e+07
7.460000e+00 2.194605e+07
7.480000e+00 2.241301e+07
7.500000e+00 2.288865e+07
7.520000e+00 2.337310e+07
7.540000e+00 2.386649e+07
7.560000e+00 2.436898e+07
7.580000e+00 2.488071e+07
7.600000e+00 2.540181e+07
7.620000e+00 2.593244e+07
7.640000e+00 2.647274e+07
7.660000e+00 2.702287e+07
7.680000e+00 2.758298e+07
7.700000e+00 2.815323e+07
7.720000e+00 2.873376e+07
7.740000e+00 2.932475e+07
7.760000e+00 2.992634e+07
7.780000e+00 3.053871e+07
7.800000e+00 3.116202e+07
7.820000e+00 3.179643e+07
7.840000e+00 3.244211e+07
7.860000e+00 3.309925e+07
7.880000e+00 3.376800e+07
7.900000e+00 3.444854e+07
7.920000e+00 3.514106e+07
7.940000e+00 3.584573e+07
7.960000e+00 3.656274e+07
7.980000e+00 3.729226e+07
8.000000e+00 3.803450e+07
8.020000e+00 3.878963e+07
8.040000e+00 3.955784e+07
8.060000e+00 4.033934e+07
8.080000e+00 4.113432e+07
8.100000e+00 4.194297e+07
8.120000e+00 4.276550e+07
8.140000e+00 4.360211e+07
8.160000e+00 4.445301e+07
8.180000e+00 4.531841e+07
8.200000e+00 4.619852e+07
8.220000e+00 4.709354e+07
8.240000e+00 4.800371e+07
8.260000e+00 4.892923e+07
8.280000e+00 4.987032e+07
8.300000e+00 5.082722e+07
8.320000e+00 5.180016e+07
8.340000e+00 5.278934e+07
8.360000e+00 5.379503e+07
8.380000e+00 5.481743e+07
8.400000e+00 5.585680e+07
8.420000e+00 5.691338e+07
8.440000e+00 5.798741e+07
8.460000e+00 5.907913e+07
8.480000e+00 6.018879e+07
8.500000e+00 6.131665e+07
8.520000e+00 6.246297e+07
8.540000e+00 6.362799e+07
8.560000e+00 6.481199e+07
8.580000e+00 6.601522e+07
8.600000e+00 6.723795e+07
8.620000e+00 6.848046e+07
8.640000e+00 6.974301e+07
8.660000e+00 7.102589e+07
8.680000e+00 7.232936e+07
8.700000e+00 7.365373e+07
8.720000e+00 7.499927e+07
8.740000e+00 7.636626e+07
8.760000e+00 7.775502e+07
8.780000e+00 7.916582e+07
8.800000e+00 8.059897e+07
8.820000e+00 8.205478e+07
8.840000e+00 8.353354e+07
8.860000e+00 8.503558e+07
8.880000e+00 8.656119e+07
8.900000e+00 8.811071e+07
8.920000e+00 8.968444e+07
8.940000e+00 9.128271e+07
8.960000e+00 9.290586e+07
8.980000e+00 9.455420e+07
9.000000e+00 9.622808e+07
9.020000e+00 9.792784e+07
9.040000e+00 9.965381e+07
9.060000e+00 1.014063e+08
9.080000e+00 1.031858e+08
9.100000e+00 1.049925e+08
9.120000e+00 1.068268e+08
9.140000e+00 1.086891e+08
9.160000e+00 1.105798e+08
9.180000e+00 1.124992e+08
9.200000e+00 1.144476e+08
9.220000e+00 1.164256e+08
9.240000e+00 1.184334e+08
9.260000e+00 1.204714e+08
9.280000e+00 1.225400e+08
9.300000e+00 1.246397e+08
9.320000e+00 1.267708e+08
9.340000e+00 1.289337e+08
9.360000e+00 1.311288e+08
9.380000e+00 1.333565e+08
9.400000e+00 1.356173e+08
9.420000e+00 1.379116e+08
9.440000e+00 1.402397e+08
9.460000e+00 1.426022e+08
9.480000e+00 1.449995e+08
9.500000e+00 1.474319e+08
9.520000e+00 1.498999e+08
9.540000e+00 1.524041e+08
9.560000e+00 1.549447e+08
9.580000e+00 1.575224e+08
9.600000e+00 1.601375e+08
9.620000e+00 1.627905e+08
9.640000e+00 1.654819e+08
9.660000e+00 1.682121e+08
9.680000e+00 1.709817e+08
9.700000e+00 1.737911e+08
9.720000e+00 1.766409e+08
9.740000e+00 1.795314e+08
9.760000e+00 1.824632e+08
9.780000e+00 1.854369e+08
9.800000e+00 1.884528e+08
9.820000e+00 1.915116e+08
9.840000e+00 1.946138e+08
9.860000e+00 1.977598e+08
9.880000e+00 2.009503e+08
9.900000e+00 2.041857e+08
9.920000e+00 2.074666e+08
9.940000e+00 2.107935e+08
9.960000e+00 2.141670e+08
9.980000e+00 2.175877e+08
1.000000e+01 2.210561e+08
Portanto, temos que o valor da soma determinado pelo algoritmo foi:
.𝞿 = 4, 475130 . 108
4. Calculando a integral correta
Integrando o polinômio , obtemos o valor real da integral, :𝑓(𝑥) 𝟇(𝑥)
𝟇(𝑥) =
−10
10
∫ (2𝑥8 + 2𝑥7 + 𝑥6 + 5𝑥4 + 6𝑥3 + 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥 = 4, 475023 . 108
Temos que os erros absoluto e relativo obtidos foram de:
𝐸
𝑎𝑏𝑠
(𝑥) = 𝟇(𝑥) − 𝞿(𝑥) | | = 1, 07 . 104 
𝐸
𝑟𝑒𝑙
(𝑥) = 𝟇(𝑥)−𝞿(𝑥) | |
𝟇(𝑥) = 2, 391049 . 10−5
Dada a ordem de grandeza dos valores, faz mais sentido analisarmos o erro
relativo. Pode-se observar que esse erro ainda é maior que , estando na ordem10−8
de grandeza de ; porém, nota-se que se continuarmos a aumentar a quantidade10−5
de pontos, alcançaremos a tolerância de .10−8
5. Como foi definida a distância máxima ou critério de parada
Como mostrado na seção 2 do presente relatório, o número de intervalos
para atender a tolerância de era extremamente alto, de modo que o método10−8
alcança o número de 1.000 pontos primeiro. Seguindo as instruções do enunciado,
adotou-se um critério de parada que contivesse ao menos 1.000 pontos entre a e b;
dessa forma, tomou-se n = 1.000, garantindo 1.001 pontos no intervalo.
6. Implementação em texto
Abaixo, segue a implementação do algoritmo em Python, desta vez em texto,
como solicitado pelo enunciado:
import math
def trapz(f, a, b, n): #definindo a função da regra dos trapézios
d = (b - a)/n #definindo distancia d dos intervalos
soma = 0
print("TABELA DE VALORES xi e f(xi) PARA CADA ITERAÇÃO\n")
print("\txi\t yi = f(xi)")#criando o cabeçalho da tabela
print("%e\t%e" % (a, f(a))) #colocando o primeiro ponto na tabela e o valor
da função nesse ponto
for k in range (1, n):
soma += f(a + (k*d)) #parcela que será multiplicada por 2 de acordo com
a fórmula da regra dos trapézios
print("%e\t%e" % (a+(k*d), f(a+(k*d)))) #colocando os pontos "do meio"
na tabela e o valor da função nos mesmos
print("%e\t%e" % (b, f(b))) #colocando o ponto final na tabela e o valor da
função nesse ponto
soma *= 2 #multiplicando a parcela que deve ser multiplicada por 2
soma += (f(a) + f(b)) #somando primeiro e último termo da fórmula, que
não são multiplicados por 2
soma *= (d/2) #multiplicando todo o termo pelo fator h/2 de acordo com a
fórmula
return soma
def f(x): #definindo a função que será integrada
return ((2*(x**8))+(2*(x**7))+(x**6)+(5*(x**4))+(6*(x**3))+(x**2)+1)
def fdiff(x): #segunda derivada de f(X)
return ((112*(x**6))+(84*(x**5))+(30*(x**4))+(60*(x**2))+(36*x)+(2))
def ErroMax(b,a): #calculando o número de intervalos necessários para que o
erro seja inferior a 10^-8
h = math.sqrt(((10**(-8))*12)/((b-a)*M2))
n = (b - a)/h
return n
a = -10 #ponto inicial
b = 10 #ponto final
M2 = fdiff(10) #valor máximo da segunda derivada em módulo, que é dado no
ponto final, já que a função é estritamente crescente para todo x>0
n = ErroMax(b,a) #numero de intervalos necessários para que o erro seja
inferior a 10^-8
print("\nO valor encontrado de n para atender à tolerância de erro pedida pelo
enunciado é: %e. Esse valor é exorbitante, de modo que seria muito custoso
computacionalmente e, além disso, seria inviável montar uma tabela visualmente
harmônica com esse número de pontos. Sendo assim, definiremos n = 1000, pois
assim teremos 1001 pontos, garantindo os 1000 pontos pedidos pelo enunciado e
obtendo uma precisão razoável, já que este é um método de convergência lenta
para integração numérica.\n" % (n))
n = 1000 #redefinindo o valor de n
r = trapz(f, a, b, n) #chamando a função da regra dos trapézios
print("\nO valor da soma é:\t%e\n" % (r))
7. Quadratura Gaussiana
O Método da Quadratura Gaussiana consiste em aproximar a integral de
interesse por um somatório do produto entre o valor da função em um determinado
ponto de integração e um peso para aquele ponto, iterado vezes, onde é igual𝑝 𝑝
ao número de pontos escolhidos. Para este método, é preciso possuir a expressão
da função a ser integrada; com pontos, integramos exatamente um polinômio de𝑝
grau .2𝑝 − 1
Já que temos a expressão da função, é conveniente usarmos o método de
Quadratura Gaussiana, já que podemos lançar mão de uma tabela com valores de
abscissas e pesos já calculados, desde que façamos uma transformação para que
os limites de integração sejam [-1, 1]. Esse método tende a convergir mais
rapidamente que o Método dos Trapézios, além de possuir aplicação relativamente
simples.
Sendo assim, nosso primeiro passo será aplicar uma transformação para que
tenhamos os limites de integração desejados. Sabe-se que:
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
−1
1
∫ 𝑓( 𝑏−𝑎
2 𝑡 + 𝑎+𝑏
2 ) 𝑏−𝑎
2 𝑑𝑡 =
−1
1
∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡
De modo que:
𝑥 = 𝑏−𝑎
2 𝑡 + 𝑎+𝑏
2
𝑑𝑥 = 𝑏−𝑎
2 𝑑𝑡
Aplicando a transformação em nosso polinômio, temos que:
𝑥 = 10𝑡
𝑑𝑥 = 10𝑑𝑡
Assim, nossa integral fica:
−10
10
∫ 𝑓(𝑥) =
−10
10
∫ (2𝑥8 + 2𝑥7 + 𝑥6 + 5𝑥4 + 6𝑥3 + 𝑥2 + 1) 𝑑𝑥
−10
10
∫ 𝑓(𝑥) =
−1
1
∫ (2(10𝑡)8 + 2(10𝑡)7 + (10𝑡)6 + 5(10𝑡)4 + 6(10𝑡)3 + (10𝑡)2 + 1)10𝑑𝑡
⇒ 𝐹(𝑡) = (2(10𝑡)8 + 2(10𝑡)7 + (10𝑡)6 + 5(10𝑡)4 + 6(10𝑡)3 + (10𝑡)2 + 1)10
Como pontos integram exatamente um polinômio de grau e𝑝 2𝑝 − 1
queremos escolher uma quantidade de pontos tal que o polinômio seja integrado
sem erros, precisamos que:
2𝑝 − 1 ≥ 8 ⇔ 2𝑝 ≥ 9 ⇔ 𝑝 ≥ 4, 5
Assim, escolheremos , pois assim podemos integrar um polinômio de𝑝 = 5
grau ou inferior. Para esse valor de , aplicaremos os valores de2(5) − 1 = 9 𝑝
abscissas e pesos de acordo com a Tabela 1.
Tabela 1: abscissas e pesos, retirados da aula da Profª Regina Toledo.
Segue que:
𝐼
𝐺(5)
= [𝐹(0) · 0, 568888888888889] + [𝐹(− 0. 508469310105683) · 0, 478628670499366] +
+ [𝐹(0. 508469310105683) · 0, 478628670499366] +
+ [𝐹(− 0. 906179745938664) · 0, 236926885056189] +
[𝐹(0. 906179745938664) · 0, 236926885056189]
𝐼
𝐺(5)
= [10 · 0, 568888888888889] + [7377268, 217486669 · 0, 478628670499366] +
+ [10907945, 331016367 · 0, 478628670499366] +
+ [814856218, 1709714 · 0, 236926885056189] +
+ [1015651555, 4571002 · 0, 236926885056189]
𝐼
𝐺(5)
= 5, 68888888888889 + 3530972, 078852872046893677951854 +
+ 5220855, 371664130513610209123322 +
+ 193061345, 5399146072688977119946 +
+ 240635159, 3369239467684560031378
𝐼
𝐺(5)
= 442448338, 016244445486747602207576
𝐼
𝐺(5)
= 4, 42448338016244445486747602207576 · 108
𝐼
𝐺(5)
≃ 4, 424483 · 108
Provavelmente, devido ao erro inerente dos softwares utilizados como apoio
para as contas, tais como arredondamentos, mudanças de base e processos de
representação em ponto flutuante, acabamos obtendo um erro neste método, que
foi de:
𝐸
𝑎𝑏𝑠
= 𝟇(𝑥) − 𝐼
𝐺(5)
 | | = 5, 054 · 106
𝐸
𝑟𝑒𝑙
=
𝟇(𝑥)−𝐼
𝐺(5)
 | |
𝟇(𝑥) = 0, 011294
8. Comparando os resultados
Nota-se que o método dos trapézios com 1.000 intervalos se aproximou mais
do valor correto da integral do que o método da Quadratura Gaussiana com 5
pontos, que também se mostrou eficiente - com apenas cerca de 1% de erro -
porém fugiu ao que era esperado, provavelmente devido a erros relacionados aos
softwares utilizados para apoio nas contas durante o processo de resolução.
Cada um dos métodos tem suas vantagens e desvantagens; o método dos
trapézios tem uma ótima vantagem em permitir que a integral seja calculada ainda
que não se saiba a expressão da função em si, porém seu erro tende a zero de
maneira lenta. A Quadratura Gaussiana possui a desvantagem de precisar saber a
expressão da função para aplicar o método; porém, por outro lado dispõe de uma
poderosa tabela com valores que facilitam em muito o cálculo. O cálculo analítico,
por sua vez, tem a vantagem de fornecer o valor exato, porém com o preço de
eventualmente precisar resolver difíceis contas e levar um tempo considerável.
Computacionalmente, temos que o método dos trapézios possui um algoritmo
simples, porém de demorada velocidade e pode ser mais custoso
computacionalmente. Já o método de Quadratura Gaussiana pode ser um pouco
mais difícil de ser implementado devido à sua complexa dedução, porém nos
computadores atuais já existem valores tabulados e muitas vezes funções com esse
nome, que o usuário nem precisa conhecer de fato; isso é um benefício em questão
computacional, pois tende a facilitar a resolução de problemas. Por último, o valor
correto, calculado analíticamente, é muito custoso pro computador e muitas vezes
nem é possível ser resolvido de maneira analítica; além disso, em muitos casos uma
boa aproximação basta, a depender do contexto, tendo custo computacional bem
menor.
9. Referências
CONCI, Aura. Integrais Numéricas. Métodos Numéricos. Universidade Federal Fluminense, 2024.
[Apresentação de Slides] . Acesso em: 08 dez. 2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Introdução e Motivação. Métodos Numéricos: curso de graduação.
Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA7-EDO-7-0-MotivacaoIntroducaoA.mp4. Acesso em: 08 dez. 2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Método dos Trapézios. Métodos Numéricos: curso de graduação.
Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA6-IN-6-1-A-MetodoTrapezios.mp4. Acesso em: 08 dez. 2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Método dos Trapézios (Erros). Métodos Numéricos: curso de
graduação. Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA6-IN-6-1-B-MetodoTtrapezios(ERRO).mp4. Acesso em: 08 dez.
2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Método de Simpson. Métodos Numéricos: curso de graduação.Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA6-IN-6-2-A-MetodoSimpson.mp4. Acesso em: 09 dez. 2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Método de Simpson (Erros). Métodos Numéricos: curso de graduação.
Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA6-IN-6-2-B-MetodoSimpson(ERRO).mp4. Acesso em: 09 dez.
2024.
TOLEDO, Regina C. P. Leal. Quadratura Gaussiana e Comparação dos Métodos. Métodos
Numéricos: curso de graduação. Universidade Federal Fluminense. [Vídeo-aula]. Disponível em:
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA6-IN-6-3-QuadraturaGaussianaComparacaoMetodos.mp4. Acesso
em: 09 dez. 2024.
SIDNEI. Regra dos Trapézios + Algoritmo em Python. YouTube, 2021. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=dDC2Kkw8YuM&t=323s. Acesso em: 09 dez. 2024. Duração: 26
min.
LOBAO, Diomar Cesar et al. Introdução aos métodos numéricos. Volta Redonda: Universidade
Federal Fluminense.
RAMOS, Marco Antônio Monteiro Silva. Métodos Numéricos: curso de graduação. Universidade
Federal Fluminense. [Notas de aula].
https://classroom.google.com
http://profs.ic.uff.br/~aconci/TEMA7-EDO-7-0-MotivacaoIntroducaoA.mp4
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https://www.youtube.com/abcd1234