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Derivadas_parte1

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Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
Capítulo 4 - Derivadas 
 
 
 
1. Problemas Relacionados com Derivadas 
Problema I: Coeficiente Angular de Reta tangente. 
Problema II: Taxas de variação. 
 
Problema I) Coeficiente Angular de Reta tangente 
 
I.1) Inclinação da Reta 
A Inclinação de uma reta ��� é o ângulo � formado entre o eixo das 
abscissas ��� e a reta, considerado positivo se medido no sentido anti-
horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I.2) Coeficiente angular da Reta 
O Coeficiente Angular ou declividade de uma reta não perpendicular ao 
eixo das abscissas é o valor real ��� obtido no cálculo da tangente 
trigonométrica do ângulo �. 
� � ������ 			���		�� � � � �����
Na trigonometria, define-se tangente de um ângulo � �������� como 
sendo o quociente entre o cateto oposto a �	e o cateto adjacente a �. 
	
�� �	 � �
	 	�	�!�"	��
	 	�	
#$
� �	 
Como � � ������% tem-se: 
Se �� & � & '�� então � ( � (função crescente). 
Se '�� & � & ���� então � & � (função decrescente). 
Se � � �� ou � � ����	então � � � (função constante). 
Se � � '�� então � � ) (não é função). 
 
�� � � � �����
��
��
*�
��
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
Muitas vezes a inclinação � da reta é desconhecida, mas podemos 
determinar o valor o coeficiente angular ��� se forem conhecidas as 
coordenadas de dois pontos sobre ela. 
Seja �	uma função linear de equação * � ���� cujo gráfico é uma reta no 
plano �	. Considere dois pontos �+��+%*+� e �,��,% *,�	sobre a reta e denote por -� a diferença entre as coordenadas � destes pontos (-� � �, . �+� e por -* 
a diferença entre as coordenadas * destes pontos �-* � *, . *+�. Sabendo 
que a tangente trigonométrica da inclinação � da reta é igual ao coeficiente 
angular � tem-se: 
� � ������ � -*-� �
-�
-� �
*, . *+�, . �+�
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, por semelhança de triângulos, qualquer que seja o valor 
de -�% encontraremos por correspondência da função linear � valores 
para -* tais que a relação � � -/-0 não se altera. Fazendo -� � � tem-se � � -*, assim, o coeficiente angular ou declividade da reta pode ser 
representado geometricamente por um triângulo retângulo de cateto 
adjacente unitário e cateto oposto igual a �. 
 
 
 
 
 
 
 
I.3) Equação da Reta na forma reduzida: 
A equação da reta na forma reduzida é uma equação linear do tipo: * � ���� 1 2 
Onde � é o coeficiente angular e 2 é o coeficiente linear. 
 
A equação de uma reta pode ser estabelecida se forem conhecidos: 
 
• Um ponto sobre a reta e o valor de seu coeficiente angular 
• Dois pontos sobre a reta 
�+��+% *+�								�,��,% *,��
*+ � ���+�						*, � ���,��
�
�
* � �����
�+�
�, �
��
��
*�
��
-��
-*�
�+� �,�
*+�
*, �
��
��
*� * � �����
��
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
a) Equação da reta dados um ponto sobre ela e o seu coeficiente angular 
Considere conhecidas as coordenadas de um ponto �+��+%*+� sobre uma 
reta. Imagine outro ponto qualquer ���% *�, também sobre a reta, de 
forma que a coordenada � de � difere da coordenada �	de �+ por uma 
quantidade -� e que a coordenada * de � difere da coordenada *	de �+ 
por uma quantidade -* . Então a coordenada � de � é �+ 1 -� e a 
coordenada * de � é *+ 1 -*. 
 
 
 
 
 
 
 
Considere conhecida a inclinação � da reta ou o seu coeficiente angular � � ���	���. Então, 
� � 3*3� �
* . *+� . �+ 
 
* . *+ � �	�	� . �+� 				4 		* � �	� 1 �*+ .�	�+� 
 
b) Equação da reta dados dois pontos sobre ela 
Se as coordenadas de dois pontos �+��+%*+� e �,��,% *,� sobre uma reta 
são conhecidas, podemos facilmente encontrar o seu coeficiente angular ���. Uma vez conhecido o coeficiente angular e a coordenada de um 
ponto sobre a reta, podemos determinar a equação da reta utilizando o 
procedimento descrito anteriormente. Assim, 
� � 3*3� �
*, . *+�, . �+					 
		* . *+ � �	�	� . �+� 				4 					* � �	� 1 �*+ . �	�+� 
 
 
							�+��+%*+��
���% *� � ���+ 1 -�	% *+ 1 -*�	
� � �+ 1 -�			 4 		-� � � . �+�
* � *+ 1 -*			 4 		-* � * . *+�
�+�
��
�� ��
*�
��
-��
-*�
�+� �+ 1 -��
*+�
*+ 1 -*�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
I. 4) Retas Secantes e Reta Tangente 
Seja � uma função cujo gráfico * � ���� encontra-se representado na figura 
abaixo. Considere ���+	%*+� e 5��,% *,� dois pontos sobre o gráfico da função, 
de forma que a coordenada � de 5 difere da coordenada �	de � por uma 
quantidade -�. Assim, 
�, � �+ 1 -�									 4 						 -� � �, . �+ 
Como os pontos � e 5 pertencem ao gráfico da função �.tem-se: 
	*+ � ���+�								 								*, � ���,� � ���+ 1 -��		 
Assim as coordenadas de � e 5 são dadas por: 
���+%*+� � ���+% ���+�� 
5��,	% *,� 	� 	5��+ 	1 	3�	% ���+ 	1 	6���7 
 
 
 
 
 
 
 
O segmento de reta �58888 que liga dois pontos de uma curva é chamado 
secante e a linha reta 9 contendo � e 5 é chamada de reta secante. O 
coeficiente angular da reta secante ��:�	é igual ao coeficiente do segmento 
secante, portanto pode ser calculado por: 
�: � 3*3� �
*, . *+�, . �+ �
���+ 1	-�� . 	���+�-� 
Considere que o ponto � esteja fixo e o que ponto 5 move-se, ao longo da 
curva da função �, na direção de �. Observe na figura que, à medida que o 
ponto 5 se aproxima do ponto � (pontos 5; e Q’’), a reta secante 9 se 
aproxima da reta < (retas 9= e 9==). A reta < é uma reta que tangencia o 
gráfico da função no ponto � e é chamada de reta tangente ao gráfico da 
função no ponto �. 
 
��
5�
��
��
-*�
�+� �, � �+ 1 -��
*+ � ���+��
*, � ���+ 1 -���
>�����������	��
�*�
-��
�:�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
 
 
 
 
 
 
 
À medida que o ponto 5 se aproxima de � a diferença -� entre as 
coordenadas � destes pontos tende a zero �-� ? ��. Nestas condições, a reta 
secante tende a coincidir com a reta tangente ao gráfico da função no ponto �. Portanto, o coeficiente angular da reta secante tende a se igualar com o 
coeficiente angular da reta tangente, quando -� ? �. Assim, o coeficiente 
angular ��@� da reta tangente ao gráfico da função no ponto � pode ser 
calculado como sendo o limite do coeficiente angular ��:� da reta secante 
quando 6�→�	. Então, 
�@ � ABC-0?+	�: � ABC	-0?+ 	
3*
	3�	 
�@ � ABC-0?+
���+ 1	-�� . 	���+�-� 
Observe que o valor do coeficiente angular da reta secante que contém dois 
pontos � e 5 do gráfico da função depende da posição destes pontos. O 
valor do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto � depende da posição do ponto �. 
 
Exemplos: 
1) Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função � dada pela 
equação * � �D quando � � �. 
A equação de uma reta no plano é completamente determinada quando 
sabemos o seu coeficiente angular e as coordenadas de um ponto sobre ela. 
Precisamos, então, determinar as coordenadas do ponto ���% ����� quando � � � e a inclinação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de 
abscissa � � �7 
Quando � � � tem-se que * � ���� � �. Assim a reta desejada tangencia o 
gráfico da função no ponto ���%��. O coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico da função num ponto genérico ���% ����� é dado por: 
�@��� � 	 ABC-0?+
��� 1 	-�� . 	����
-� 										���										* � ���� � �D 
��
5�
��
-��
�+�
*+ � ���+��
>��
>=��
>==��E��
5=�5==�
*�
�+ 1 -��
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
�@��� � 		 ABC-0?+
�� 1	-��D.	�D
-� 
�@��� � 	 ABC-0?+
�D 1 	F�-� 1 -�D.	�D
-� � ABC-0?+
	F�-� 1 -�D
-� 
�@��� � 	 ABC-0?+F� 1 -� � 	 ABC-0?+F� � F� 
�@��� � F	� 
O coeficiente angularda reta tangente ao gráfico da função quando � � � é: 
�@��� � F7� � F 
A reta desejada passa pelo ponto ���%��, �+ � �	 	*+ � �, e possui coeficiente 
angular � � F e sua equação é dada por: 
* . *+ � 		�	�	� . �+� 
* � 	*+ 1 	�	�	� . �+� � � 1 F�� . �� 
* � F� . � 
 
Problema II) Taxas de Variação: 
Seja � uma função de equação * � ���� cujo gráfico encontra-se 
representado na figura abaixo. Considere ���+	% *+� e 5��,% *,� dois pontos 
sobre o gráfico da função de forma que a coordenada � de 5 difere da 
coordenada �	de � por uma quantidade -�. 
 
 
 
 
 
 
 
 
��
5�
��
��
-*�
�+� �, � �+ 1 -��
*+ � ���+��
*, � ���+ 1 -���
>�����������	��
�*�
-��
�:�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
Quando a coordenada � sofre uma variação ∆� de �+	para �, , * sofre uma 
variação ∆* de		*+ � �	��+�		para *, � ���,� � ���+ 1 ∆��. 
A taxa de variação em * para a variação em �	que é formada é chamada de 
taxa de variação média de * por unidade de variação em � ou taxa de 
variação média de * em relação a � e é definida por: 
<GH �
6*
6�
�
���,� . 	���+�
�, .	�+
			 
Alternativamente, fazendo 	�, � �+ 1	∆�	, tem-se: 
<GH �
6*
6�
�
���+ 1	∆�� . 	���+�
∆�
 
Se a taxa de variação média de * em relação a � tende a um valor limitado 
quando ∆� → 0, parece razoável nos referirmos a este valor como taxa de 
variação instantânea de * em relação a	� no instante em que � � �+, a qual é 
calculada como: 
<GI�0J� � lim∆0→+
	
Δ*
Δ�
�	 lim
∆0→+
���+ 1	∆�� . 	���+�
∆�
 
 
Exemplos: 
1) Um móvel desloca-se numa estrada reta a partir de uma cidade A tendo 
como destino final uma cidade C situada a 504 km. Após 2 horas de 
viagem o veículo passa pela cidade B, situada a 148 km da cidade A, e 
atinge o destino final 6 horas após sua partida. 
 
Neste problema, estamos relacionando a distância percorrida �"� com o 
tempo �	�, ou seja, " e uma função de 	, " � "�	� 
 
								 � 0	�																																 � 2	�																																																																				 � 6	� 
					"�0� � 0	L�																				"�2� � 148	L�																																																"�6� � 504	L�	 
Com base nestas informações responda os itens abaixo: 
 
a) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e B? 
Sabe-se que velocidade é a taxa de variação da distância �∆"� em 
relação à variação do tempo �∆	�, então: 
GOPQ �	
∆"
∆	
�	
148. 0
2 . 0
�
148
2
� 74	L�/� 
 
	� 
� ��
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ��
�
b) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades B e C? 
GOQT �	
∆"
∆	
� 	
504. 148
6 . 2
�
356
4
� 89	L�/� 
c) Qual é a velocidade média do móvel no percurso entre as cidades A e C? 
GOPT �	
∆"
∆	
� 	
504. 0
6 . 0
�
504
6
� 84	L�/� 
d) O motorista percebeu que com 3 h e com 5 h de viagem sua velocidade 
foi anotada pela polícia rodoviária. Sabendo que a velocidade máxima da 
estrada é de 90 km/h, deseja-se saber se motorista corre o risco de ter 
sido multado. 
 
 
								 � 0	�																																 � 2	�																				 � 3�									 � 5�																		 � 6	� 
 
As velocidades médias calculadas não ultrapassam o limite de velocidade 
média permitida na estrada. Porém, não interessa saber as velocidades 
médias. Desejamos estimar as velocidades nos instantes que o móvel 
passou pela polícia rodoviária, ou seja, desejamos saber as velocidades nos 
instantes em que 	 � 3	�			 			 � 5	�	(velocidade instantânea). 
Construindo um gráfico de dispersão distância ( " ) versus tempo ( 	 ) e 
utilizando um método numérico de aproximação, podemos estimar uma 
equação para a função "�	�. 
 
"�	� � 2,5		D1 	69		 
 
GI�	� � lim
∆@→+
	
∆"
∆	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A velocidade instantânea é a taxa de variação instantânea da distância em 
relação ao tempo, assim para um tempo genérico 	 temos: 
 
GI�	� � lim
∆@→+
	
∆"
∆	
� lim
∆@→+
"�	 1	∆	� . 	"�	�
∆	
								���						"�	� � 2,5		D1 	69		 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 
�
�
GI�	� � ABC-@?+
F%N�	 1 -	�D 1 K'�	 1 -	� . �F%N		D1 K'		�
-	 � 
� ABC-@?+
F%N�	D1 F			-		 1 �-	�D� 1 K'		 1 K'	-	 . F%N		D. K'		
-	 � 
	� ABC-@?+
F%N	D1 N	-	 1 F%N�-	�D 1 K'	-	 . F%N		D
-	 � ABC-@?+
N	-	 1 F%N�-	�D 1 K'-		
-	 � 
� ABC-@?+
-	�N	 1 F%N	-	 1 K'�	
-	 � ABC-@?+� N	 1 F%N	-	 1 K'� � N	 1 K' 
GI�	� � 	N		 1 K' 
Desejamos saber o valor da velocidade instantânea nos instantes que o 
automóvel passou pela polícia rodoviária 	 � U	� e 	 � N	�. 
GI�U� � 	N7 �U� 1 K' � �N1 K' � �M	L�S�, pode não ter sido multado 
GI�N� � 	N7 �N� 1 K' � FN1 K' � 'M	L�S�, pode ter sido multado. 
 
 
2) Uma partícula se move de modo que no final de 	 segundos, sua 
distância ", em metros, do ponto de partida é dada por "�	� � 	U	D 1 		. 
Calcule a velocidade da partícula no instante 		 � 	F	". 
A velocidade é a taxa de variação da distância (") em relação ao tempo 
(	). A velocidade da partícula no instante 	 = 2 " � é a taxa de variação " 
em relação a 			no instante em que 		 � 	F	" � , ou seja, é a taxa de 
variação instantânea. 
GI�	� � 	 ABC-@?+
∆V
∆� � 	 ABC-@?+
"�	 1	-	� . "�	�
-	 � 
	� ABC-@?+ 	
U�	 1 -	�D 1 �	 1 -	� . �U	D1 	�
-	 � 
	� ABC-@?+ 	
U�	D1 F		-	 1 �-	�D� 1 -	 . U	D
-	 � ABC-@?+ 	
K		-	 1	U�-	�D 1	-	
-	 � 
	�	 ABC-@?+	K	 1 	U-	 1 � � 	K	 1 � 
GI�	� � K		 1 � 
No instante 	 � 	F	" 
GI�F� � K	�F� 1 � � �F 1 � � �U	�S" � 
No instante 	 � F	", a velocidade da partícula é �U	�S", ou seja, para cada 1 
segundo de acréscimo no tempo, a partícula percorre 13 m no sentido 
positivo do percurso. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
 
 
2. Definição 
A derivada de uma função �, denotada por	�W, é uma função tal que seu 
valor em qualquer número �	de seu domínio é dado por: 
� ;��� � 	 ABC-0?+
��� 1	-�� . 	����
-� % XYVXY	Z[Y	YV�Y	ABCB�Y	Y\BV�� 
OBS: Quando o limite existe dizemos que � é diferenciável ou derivável em 
�, ou que � tem derivada em �. 
Seja � uma função definida em um intervalo aberto que contém �+, então a 
derivada da função	� no ponto em que � � �+%		denota-se � ;��+�% é dada por: 
� ;��+� � ABC-0?+
���+ 1	-�� . 	���+�-� 						�]				� ;��+� � ABC0?0J
���� . 	���+�� . �+	 	 
� � ;��� é uma função 
� �W��+�	é o valor da derivada de �	quando � � �+. 
 
 
*;^ � ;���^_0�*�^	_0���^	#*#� ^	
#�
#� 
Outras Notações: 
Seja * � ���� uma função com derivada, denotaremos tal derivada por: 
ABC-0?+	
3*
3� � 	 ABC-0?+
���+ 1	-�� . 	���+�-� 
Relação entre Taxa de Variação Instantânea e Coeficiente Angular 
de Reta Tangente 
O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico * � ���� num ponto 
���+%���+��	e a taxa de variação instantânea de * em relação a � no instante 
em que �	 � 	�+ são problemas resolvidos pelo cálculo do mesmo limite. 
Limites nesta forma aparecem com tanta frequência que é necessário uma 
terminologia especial que é a DERIVADA. 
A operação de calcular a derivada ( �	=� de uma função � chama-se 
derivação ou diferenciação. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
 
Exemplo: 
Seja � uma função dada pela equação * � �D/2. Na figura abaixo foram 
representados os valores do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico 
da função em alguns pontos de seu domínio. Os valores �`���, juntamente 
com os valores da função ������, encontram-se indicados na tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a equação da função � ; que é a derivada de � e trace seu gráfico. 
Sabe-se que o valor da derivada deuma função em um determinado ponto 
de seu domínio � � �+ é igual ao valor do coeficiente angular da reta 
tangente ��`� ao gráfico da função no ponto ���+,���+��, então � ;��� � �`���. 
Assim, podemos construir uma tabela relacionando os valores de � e �′���. 
 
 
 
 
 
 
O gráfico da função �′ é uma reta de coeficiente angular igual a 1 que passa 
pela origem �+�0,0�. A equação desta reta é *; � �, então � ;��� � �. 
� ;��� � �`��� 
Interpretação Geométrica da Derivada 
Seja * � ���� uma função derivável. 
O valor da derivada da função � em um determinado ponto de seu domínio 
� � �+, denota-se �′��+�, é igual ao valor do coeficiente angular ��`� da reta 
tangente ao gráfico da função no ponto ���+, ���+��. 
Genericamente, para um ponto � qualquer do domínio tem-se: 
� 
* � ���� �
�D
2
 
�`��� 
-4 8 -4 
-2 2 -2 
0 0 0 
1 0,5 1 
3 4,5 3 
�
� *; � � ;��� � �`��� 
-4 -4 
-2 -2 
0 0 
1 1 
3 3 
�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Outra forma de encontrar a equação da função � ; é calcular o limite: 
� ;��� � 	 ABC-0?+
��� 1	-�� . 	����
-� 							���					���� �
�D
F 
� ;��� � ABC-0?+
a�� 1 -��DF b. a�
D
F b-� � ABC-0?+
��D1 F	�	-� 1 �-��D� . �D
F	-� � 
													� ABC-0?+
F	�	-� 1 �-��D
F	-� � ABC-0?+� 1
-�
F � ABC-0?+� 1	 ABC-0?+	
-�
F 	� � 
� ;��� � �	 
 
3. Diferenciabilidade 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Verificar se ���� � |� 1 �| é derivável em � � .�. 
A função � pode ser descrita por duas equações equivalentes: 
���� � |� 1 �| � d								� 1 �	%			" 			� 1 � e �	%			�]	" $
	% " 			� e 	.�.�� 1 ��% " 		� 1 � & �	%				�]	" $
	% " 			� & .� 
 
Se � é uma função diferenciável num ponto � � �+ de seu domínio, 
 então � é contínua em � � �+ 
�f′ ��+� � 	 ABC0?0Jg
���� . 	���+�� . �+	 						�h′��+� � ABC0?0Ji
���� . 	���+�� . �+	 
Se � é uma função contínua num ponto de seu domínio � � �+, então � ;��+� 
existe, se e somente se, as derivadas à direita e à esquerda de � � �+ 
existirem e forem iguais. 
Se �f′ ��+� 	� �h′��+� então � ;��+� existe. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Para ser derivável em � � �+, uma função � tem que ser contínua em � � �+ 
e as derivadas à direita j�f;��+�k	e à esquerda j�h;��+�k		de �+ devem ser 
iguais, isto é, �f;��+� � �h;��+�. 
 
A função l�m� é contínua em	m � mn se: 
lim
0→0J
���� � ���+� 
a) Verificação da existência do limite da função quando � → .1 
lim
0→h,g
���� � lim
0→h,g
	� 1 1 � lim
0→h,g
� 1 lim
0→h,g
1 � .1 1 1 � 	0 
lim
0→h,i
���� � lim
0→h,i
. �� 1 1� � lim
0→h,i
. � 1 lim
0→h,i
. 1 � 1 . 1 � 0 
lim
0→h,g
���� � lim
0→h,i
���� � 0						 ∴ 					 lim
0→,
���� � 0 
 
b) Cálculo do valor da função em � � .1 
���� � |� 1 1	| 										 ∴ 					��.1� � |.1 1 1| � 0 
 
Como lim
0→h,
���� � ��.1� a função é contínua em � � .1 
 
Se função l�m� é contínua em	m � mn, 	l�m� será derivável em	m � mn se: 
�f′ ��+� 	� �h′��+� 
�f′ ��+� � 	 lim
0→0Jg
���� . 	���+�
� . �+	
� lim
0→h,g
�� 1 1� . 	0
� . �.1�	
� lim
0→h,g
�� 1 1�
�� 1 1�	
� lim
0→h,g
1 � 1 
 
�h′�.1� � lim0→0Ji
���� . ���+�
� . �+	
� lim
0→h,i
.�� 1 1� . 0
� . �.1�
� 
� lim
0→h,i
.�� 1 1�
�� 1 1�	
� lim
0→h,i
.1 � .1	 
 
Como �f;��+� 	o �h;��+� a função � não é derivável em � � .1, apesar de ser 
contínua em � � .1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
4. Técnicas de Diferenciação 
1) Regra da Constante: Derivada de uma constante é zero 
 
 
 
Exemplos: 
����� � p				 ? 	� ;��� � #�#� � �						 
2�	* � U									 ? 		*; � �	 
 
 
2) Regra da Função Potência: Derivada da função potência 
 
 
 
Exemplos: 
�	���� � �			 ? 	� ;��� � �7 �,h, � �				 
2�	q�	� � 	r 			? 	q;��� � U7 	rh, � U	D				 
��	* � �sD � shD 							?
#*
#s � .F	shDh, � .Fshr � .
F
sr 
#�		s � √	 � 	,SD 							 ? #s#	 �
�
F	
	,D 	h, � �F 	h
,D	 � �F	,SD	 �
�
F√	 
 
3) Regra da Homogeneidade: Derivada do produto de uma constante por 
uma função é a constante multiplicada pela derivada da função 
 
 
 
 
 
9 $
�		�		]�
	���"	
�	 	 		����	]�
	�]�uv�	# ���w� 
 
" 							���� � �	����								Y��vx										�;��� � �7 � ;��� 
" 		* � ����			Y��vx						 ##� ��7 *� � �7
#*
#� 
9 		�		y	]�	�z� ��	� 

			�� o ��		 			���� � �{			 �	v�		 
		� ;��� � �	�{h,^												 ##� ��{� � �	�{h, 
OBS: � pode ser um número inteiro, racional, positivo ou negativo 
�
9 		�	y	]�
	���"	
�	 		 					���� � �				Y��vx				�=��� � � 
#
#� ��� � � 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
����� � p	�				 ? 	� ; � ##� �	p�� � p
#
#� �	�� � p	 
2�s � √U|D � √U	|hD 
					s ; � #s#| �
#
#| j	√U	|hDk � √U	
#
#| �		|hD� � √U�.F�|hr � .
F	√U
|r 
��	* � �F	√� �
�
F	�h	
,D 
#*
#� �
#
#� a
�
F	�h
,Db � �F	
#
#� a�h
,Db � �F	a.
�
Fb	�h
,Dh, � 	.�M�h
rD � . �M√�r 
 
4) Regra da Soma: Derivada da soma (ou diferença) de funções é a soma 
(ou diferença) das derivadas das funções 
 
 
 
Exemplos: 
 
����� � M�r1 U�D . � 1 N			 
				�;��� � ##� �	M�r� 1
#
#� �	U�D� .
#
#� �	�� 1
#
#� �	N� 
				�;��� � M ##� ��r� 1 U
#
#� �	�D� . � 1 � � 	�F�D1 K� . � 
 
2�	* � √F	]}1 ]~p 1	pD.
√U
√]r � √F	]
}1 ]~p 1	pD. √U	]h
,r
 
				*; � #*#] �
#
#] j√F	]}k 1
#
#] 
]~
p € 1
#
#] 	�pD� .
#
#] a√U	]h
,rb 
				*; � √F	 ##] �]}� 1
�
p
#
#] �]~� 1 � . √U	
#
#] a]h
,rb 
				*; � √F	�N	]~� 1 �p �M	]r� . √U	 a.
�
U]h
~rb 
				*; � N√F	]~ 1 M]rp 1
√U	
U
�
]~Sr � N√F	]~ 1
M]r
p 1
√U	
U	 √]~r 
 
9 $
�		] � ����	 	� � ����	�]�u "	# ���w� �" 
" 				���� � 	���� 1 	����					Y��vx						�=��� � � ;��� 1 �;��� 
#
#� �] ‚ �� �
#]
#� ‚
#�
#� 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
5) Regra do Produto: Derivada do produto de duas funções é a primeira 
multiplicada pela derivada da segunda mais a segunda multiplicada pela 
derivada da primeira 
 
 
 
 
Exemplos: 
�	* � ��r . ���F. �� 
					*; � #*#� � ��r . ��
#
#� �F . �� 1 �F . ��
#
#� ��r. �� 
					*; � ��r . �� ƒ ##� �F� .
#
#� ���„ 1 �F . ��7 ƒ
#
#� ��r� .
#
#� ���„ 
					*; � ��r . ��7 �.��1 �F . ��7 �U�D. �� 
					*; � .�r1 � 1 K�D. F. U�r1 � �	.M�r1 K�D1 F� . F 
 
2�	| � �UsD 1 ���Rsr 1s� 
					|; � #|#s � �UsD 1 ��…Rsr1s†; 1 �Rsr 1 s�	7 …UsD1 �†=	 
					|; � �UsD 1 ��7 �F�sD1 ��1 �Rsr 1s�7 �Ks� 
					|; � KUs~1 UsD1 F�sD 1 � 1 MFs~1 KsD � ��Ns~ 1 U�sD1 � 
 
6) Regra do Quociente: Derivada da divisão de duas funções é a função 
do denominador multiplicada pela derivada da função do numerador 
menos a função do numerador multiplicada pela derivada da função do 
denominador dividido pela função do denominador elevada ao quadrado 
 
 
 
 
9 $
�		] � ����		 			� � ����				�]�u "	# ���w� �" 
" 		���� � �������� 			���		���� o �					Y��vx				�;��� �
����7 � ;��� . ����7 �;���7
…����†D 
#
#� ‡
]
�ˆ �
�7 #]#� . ]7 #�#��D 
9 $
�	] � ����		Y		� � ����				�]�u "	# ���w� �" 
" 		���� � ����7 ����				Y��vx				�=��� � ����7 �;��� 1 ����7 � ;��� 
#
#� �]7 �� � ]7
#�
#� 1 	�7
#]
#� 
�
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
�	* �
�D
�r 1 R 
			*; � #*#� �
��r 1 R�7 ##� ��D� . ��D�7 ##� ��r 1 R���r1 R�D 
	*; � ��r 1 R�7 �F�� . ��D�7 �U�D���r1 R�D �
F�~1 �M� . U�~
��r1 R�D �
�M� . �~
��r1 R�D 
 
2�	q�	� � F			D1 � 
q;�	� � �	D1 ��7 …F		†;. �F	�7 …	D1 �†;�	D1 ��D �
�	D 1 ��7 �F� . F		7 �F	�
�	D1 ��D 
q;�	� � F	D1 F . M	D�	D1 ��D �
F. F	D
�	D1 ��D 
5. Aplicação das Derivadas: Taxas de Variação Instantânea e 
Coeficiente Angular 
1) De acordo com a Lei de Ohm, a voltagem G (em volts), a corrente	I (em 
amperes) e a resistência	� (em ohms, ‰) deum circuito elétrico estão 
relacionadas pela equação: 
I � G� 
Considere um circuito de voltagem G � ���	��
	" e determine: 
a) A taxa de variação da corrente em relação à resistência. 
Desejamos calcular Š‹ŠŒ , então estamos considerando a corrente elétrica 
(I) com uma função da resistência do circuito (�), ou seja, 
I��� � G� �
���
� � ���	�h, 
#I
#� ��� �
#
#� ����	�h,� � ���
#
#� ��h,� � 	.���	�hD � .
���
�D 		S‰	 
b) A taxa de variação da corrente em relação à resistência, quando a 
resistência é de 20‰ 
#I
#�Ž	ŒD+ � .
���
F�D � .
�
M � .�%FN		S‰	 
c) Qual o significado da taxa encontrada? 
Significa que num circuito elétrico de voltagem ���	��
	", se a resistência 
for de F�	‰, a corrente decrescerá de �%FN	 para cada �	‰ de acréscimo 
na resistência. 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
2) Sabe-se que a tensão circunferencial (	YC	‘’� ) de um duto de parede 
fina, fechado nas extremidades e submetido à pressão interna uniforme 
(� em MPa) é: 
 � �	�		 
onde � e 	 � �	���	 são o raio externo e a espessura do duto, 
respectivamente. 
 
a) Qual a taxa de variação da tensão  em relação à pressão � de um 
duto de raio	� 	FN�	�� e 	 � ��	��	? O que esta taxa significa? 
Desejamos calcular Š“Š” , então estamos considerando a tensão ( ) 
com uma função da pressão interna (�), ou seja, 
��� � �	�		 � �
FN�
�� � FN	� 
;��� � ##� �
#
#� �FN	�� � FN
#
#� ��� � �FN���� � FN	O�
 O�
⁄ 
Significa que para uma duto de �	 � 	FN�	�� e 	 � ��	��	 a tensão 
circunferencial aumenta de FN	O�
	 para cada �	O�
 de aumento na 
pressão interna. 
 
b) Qual a taxa de variação da pressão � em relação ao raio de um duto 
de espessura 	 � �	��	 cuja tensão circunferencial é de K��O�
? O 
que esta taxa significa? 
Desejamos calcular Š”Š–, então estamos considerando a pressão interna 
(�) com uma função do raio do duto (�), ou seja, 
���� � 			 �� 	� �K��	7		��	�h, � M���	�h, 
�;��� � #�#� �
#
#� �M���	�h,� � M���
#
#� ��h,� � .M���	�hD 
�;��� � .M�����D 	O�
 ��⁄ 
Neste caso, a taxa de variação instantânea também depende do valor do 
raio. Por exemplo, 
 
	9 		� � ���	��			 �	v�					�;���� � .M������D � .�%M�	O�
S�� 
Isto significa que para uma duto de �	 � 	���	��, 	 � �	��	e  � K��	O�
 a 
pressão diminui de �%M�	O�
 para cada �	�� de aumento no seu raio. 
 
9 		� � F��	��			 �	v�					�;���� � .M���F��D � .�%�F	O�
S�� 
Isto significa que para uma duto de �	 � 	F��	��, 	 � �	��	e  � K��	O�
 a 
pressão diminui de �%�F	O�
 para cada �	�� de aumento no seu raio. 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 �
�
�
3) Uma flecha é atirada do nível do solo da lua para cima, com uma 
velocidade inicial �+ � N�	�S" . A equação da altura � (em metros) 
atingida pela flecha, após 	 segundos de seu lançamento é dada pela 
equação: 
 ��	� � �+		 . �%�U		D 
 
a) Encontre a equação da velocidade da flecha em função do tempo t. 
Sabe-se que a velocidade é a variação da distância percorrida em 
relação ao tempo. 
��	� � #�#	 										��# 								��	� � N�		 . �%�U		D 
��	� � #�#	 �
#
#	 �N�		 . �%�U		D� � 	N� . �%KK			 
��	� � N� . �%KK			 
b) Encontre a velocidade da flecha após 1 segundo de seu lançamento. 
Queremos saber o valor da velocidade quando 	 � �, ou seja, ���� 
���� � N�. �%KK	��� � NK%UM	�S" 
c) Determine o tempo após o lançamento necessário para a flecha atingir o 
solo. 
Quando a flecha atinge o solo, a função altura ��	� deve ser nula. A 
altura da flecha em relação ao solo também é nula no momento do seu 
lançamento 	 � �, mas este momento não nos interessa. Devemos ter: 
��	� � �				 				 o � 
��	� � N�		 . �%�U		D � �		 
N�		 . �%�U		D � �			 4 					�N�. �%�U	� � �	 
	 � �		�]			N� . �%�U		 � �	%			����		 o �%				 �. " 
N�. �%�U		 � �			 4 	 � N��%�U	4 				 — K'%��		"	 
Levará aproximadamente K'%��	" para a flecha atingir novamente o 
solo. 
d) Com que velocidade a flecha atinge o solo? 
A flecha atinge o solo no instante 	 � K'%��	". Então queremos saber o 
valor de ��K'%��� 
��K'%��� � N� . �%KK	�K'%��� —	.N�	�S" 
 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
4) Seja ���� � U�D . �F� 1 �: 
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ��U%.�� 
Cálculo do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função: 
���� � � ;��� � ##� �U�D. �F� 1 �� � K� . �F 
˜�	���	�	�%			� � U ? ��U� � � ;�U� � K�U� . �F � K 
 
A equação da reta que passa por um ponto ���+%*+� de coeficiente 
angular � conhecido pode ser dada como: * . *+ � ��� . �+� 
��U%.�� 4 			�+ � U				 				*+ � .�		 � � K quando �+ � U portanto 
* � *+ 1��� . �+� � �.�� 1 K�� . U� � .� 1 K� . �� � K� . �' 
* � K� . �' 
 
b) Determine a equação da reta normal ao gráfico da função no ponto ��U%.�� 
A reta normal ao gráfico de � no ponto � é a reta perpendicular à reta 
tangente. Se o valor do coeficiente angular de uma determinada reta 
é �,então o valor do coeficiente angular da reta normal a ela é . ,™. 
 
Como coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no 
ponto ��U%.�� é �` � K, o coeficiente angular da reta normal ��š� ao 
gráfico da função no ponto ��U%.�� é: 
�š � . ��` � .
�
K 
A equação da reta é: 
* . *+ � �	�� . �+� 
A reta desejada passa pelo ponto ��U%.�� e seu coeficiente angular 
�š � . ,› . Então, 
* � *+ 1�š�� . �+� � �.�� . �K�� . U� � .� .
�
K 1
�
F � .
�
K .
�
F 
* � .�K .
�
F 
 
c) Determine o ponto do gráfico no qual reta tangente ao gráfico é 
horizontal. 
Se a reta tangente é horizontal então 	
���� � � � �, logo, � ;��+� � � 
� ;��+� � K�+ . �F � �									 4 					 �+ � F						 						���+� � U7FD. �F7F 1 � � .M 
Portanto, o ponto do gráfico onde a reta tangente é horizontal é 
��F%.M�. 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
6. Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica 
 
Função Exponencial: A função exponencial é uma função do tipo 
* � 
0				���	
 ( 0	 		
 o 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 & 
 & 1																																																									
 ( 1 
 
Função Logarítmica: A função logarítmica é uma função do tipo 
* � log�� �� 				���		
 ( 0	, 
 o 1		 			� ( 0 
 
 
 
 
 
 
 
0 & 
 & 1																																																									
 ( 1 
 
As funções exponencial e logarítmica são funções inversas: 
" 		 * � log���� 							então						
/ � � 
" 		* � 
0								então				 			log��*� � � 
Das propriedades das funções inversas tem-se 
1�		
žŸ �0� � �																								2�		 log��
0� � � 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
Lei dos Expoentes 
Lei dos Logaritmos 
��	
0f/ � 
07 
/ 
F�	
0h/ � 
0
/ 
U�	�
0�/ � 
07/ 
M�	�
7 2�0 � 
07 20 
��	Axœ���7 *� � Axœ���� 1 	 Axœ��*� 
F�	Axœ���S*� � Axœ���� . 	Axœ��*� 
U�	Axœ���¡� � !	Axœ���� 
M�	Axœ� � � Axœ¢ �Axœ¢ 
 
 
 
Logaritmos Naturais: 
 
Os logaritmos na base e (e = 2,71828..., número de Euler) são chamados 
de logaritmos naturais e recebem uma notação especial. 
 Axœ£��� � A���� 
 ��		" 		* � A���� 					Y����x					 / � �		^ 		" 			* � 0			 �	��		 A��*� � �				 
F�	���!�� #
# "	#
	�]�çã�	��� �"
¤ 								 ¥�0� � �	^						 A�� 0� � � 
U�	O]#
�ç
	# 	2
" ¦ 				 Axœ���� � Axœ£���Axœ£� 
� 	�
A�� ��
A��
� 
 
 
 
 
 
 
9 		
 ( �% 
 o �% � ( �					 					���� � Axœ����			 �	v�	� ;��� � 	 ��7 A��
� #
#� �Axœ����� �
�
�7 A��
�	 
§�	!
�	��]
�%										���� � A����						 �	v�					�;��� � �� #
#� �A����� �
�
� 
Derivada da Função Logarítmica 
9 		
 ( �% 
 o �				 					���� � 
0			 �	ã�	� ′��� � 
07 A��
� 
#
#� �
0� � 
07 A��
	� 
§�	!
�	��]
�%										���� � 0			 �	ã�	� ′��� � 0 
#
#� � 0� � 0	 
Derivada da Função Exponencial 
Cálculo I - �����	���
��

��																				 ���
�
Exemplos: 
 
Calcule a derivada das funções 
 
��	���� � 0. �r1 AxœD��� 
� ;��� � ##� � 0� .
#
#� ��r� 1
#
#� �AxœD �� � 0 . U�D1
�
�	 A��F� 
 
F�		s � U0 	 A���� 1 p�r1 p0 1 pD 
#s
#� �
#
#� �U0 	A����� 1
#
#� �p�r� 1
#
#� �p0� 1
#
#� �pD� 
#s
#� � ƒU0	7
#
#� �	A����� 1 A���� 7
#
#� �U0�	„ 1 p7
#
#� ��r� 1 p07 A��p� 1 � 
#s
#� � ƒU0	7
�
� 1 A���� 7 U07 A��U�	„ 1 p7 �U�D� 1 p07 A��p� 
#s
#� �
U0
� 1 U0 A��U� A���� 1 Up	�D1 p0 A��p� 
 
U�	] � 	 AxœD�	� @ 
#]
#	 �
#
#	 a
AxœD� 	� @ b � 	
 @7 ##	 �AxœD�	�� . AxœD�	� 7 ##	 � @�� @�D 
#]
#	 � 	
 @7 ƒ �	7 A��F�„ . AxœD�	� 7 @
� @�D �	
 @	7 A��F� .	 @ A��	�A��F�
� @�D 
#]
#	 � 	
 @ . 		 @ A��	�	 A��F�
� @�D �
 @ . 		 @ A��	�
	 A��F�� @�D �	
 @�� . 		 A��	��
		 A��F�� @�D 
#]
#	 �	� 	
� . 		A��	�
		A��F� @ 
 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
7. Derivadas de Funções Trigonométricas 
 
 
 
 
Uma vez conhecida as derivadas das funções seno e co-seno, podemos 
deduzir a derivada de outras funções trigonométricas. 
a) Derivada da Função Tangente 
* � ������ 
#*
#� �
#
#� �������� �
#
#� a
VY����
¨xV���b 
#
#� �������� �
¨xV��� 7 ##� j" ����k . VY����7 ##� �¨xV����…¨xV���†D 
#
#� �������� �
¨xV��� 7 ¨xV��� . " ����7 �.VY�����
…¨xV���†D �
¨xVD��� 1 VY�D���
¨xVD��� 
#
#� �������� �
�
¨xVD��� � VY¨D��� 
 
b) Derivada da Função Co-Tangente 
* � ¨x���� 
#*
#� �
#
#� �¨x����� �
#
#� a
¨xV���
VY����b 
#
#� �¨x����� �
VY���� 7 ##� j¨xV���k . ¨xV���7 ##� �VY�����…VY����†D 
#
#� �¨x����� �
VY���� 7 j.VY����k . ¨xV��� 7 �¨xV����
…VY����†D �
.VY�D��� . ¨xVD���
VY�D��� 
#
#� �¨x����� �
.�
VY�D��� � .��" �D��� 
 
9 						���� � ¨xV���			 �	v�	� ;��� � .VY���� #
#� j¨xV���k � .VY����	 
Derivada da Função Co-Seno 
9 						���� � VY����			 �	v�	� ;��� � ¨xV��� 
#
#� jVY����k � ¨xV���	 
Derivada da Função Seno 
Cálculo I - �����	��	
	�
��

��																				 ���
�
c) Derivada da Função Secante 
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d) Derivada da Função Co-Secante 
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Exemplo 
Calcule a derivada da função 
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