AV2 - ÁLGEBRA LINEAR

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09/12/2015 Estácio
http://bquestoes.estacio.br/entrada.asp?p0=88179840&p1=201301371785&p2=1588482&p3=CCE1003&p4=102207&p5=AV2&p6=23/11/2015&p10=32839744 1/3
1a Questão (Ref.: 201301468582) Pontos: 0,0  / 1,5
Uma das questões abordadas durante uma prova de um concurso público foi a solução do sistema composto por
três equações, representado logo a seguir. Infelizmente  o índice de acerto da questão foi muito baixo, embora sua
solução não seja complicada. Com base em suas aulas de álgebra, prove que o sistema é determinado.
x + 2y + z = 7
2x + 3y ­ z = ­1
4x ­ y +2z = 18
Resposta:
Gabarito:
  2a Questão (Ref.: 201301468401) Pontos: 0,0  / 1,5
Considere  a  matriz  A=[111111111]  que  define  uma  transformação  linear  T:ℝ3→ℝ3  na  base
canônica.  Encontre  uma  base  do   ℝ3,  em  relação  a  qual  a matriz  dessa  transformação  seja
diagonal.
Resposta:
Gabarito:
A base de ℝ3 em relação a qual a matriz da transformação é diagonal é a base de autovetores.
Cálculo dos autovalores de A:
det(A­λI) = det [1­λ1111­λ1111­λ]=(­λ)3 + 3(λ)2 = 0  => λ1 = λ2 = 0      e   λ3 = 3
Cálculo dos autovetores  de A:
Para λ1 = λ2 = 0 => (A­λI).v= 0 => [111111111][xyz]= [000]⇒x+y+z=0  
Fazendo y=1 e z=0  => x=­1⇒ v1= (­1,1,0)
Fazendo y=0 e z=1  => x=­1⇒ v2= (­1,0,1)
Para  λ3 = 0  => (A­λI).v= 0 => [­2111­2111­2][xyz]= [000]⇒x+y­2z=0  e  y­z=0 .
Fazendo  z=1  ⇒ y=1 => x=1⇒ v3= (1,1,1)
Base de autovetores : β={(­1,1,0),(­1,0,1),(111)}
 
09/12/2015 Estácio
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  3a Questão (Ref.: 201301425489) Pontos: 0,0  / 0,5
Calcule a expressão A2­2⋅A+3A⋅A­1
A=[1231]
[1234]
  [8008]
[1001]
[0000]
  [1004]
  4a Questão (Ref.: 201301426251) Pontos: 0,5  / 0,5
Diz­se que uma matriz P diagonaliza uma matriz A se  P ­1 (inversa da matriz P) tal que
P ­1AP = D onde D é uma matriz diagonal.
Considere a matriz A = [­14­2­340­313]. Determine a soma (traço) e o produto dos elementos da diagonal
principal de D
traço=­5 e produto=6
traço=5 e produto=6
  traço=6 e produto=6
traço= 8 e produto=10
traço=10 e produto= 25
  5a Questão (Ref.: 201301421218) Pontos: 0,5  / 0,5
Quais os valores de a e b para que o sistema abaixo não tenha solução.
 
2x  + 1y  ­ 3z  =  1
1x  ­ 2y  + 3z  =  2
3x  ­ 1y  ­ az =  b 
a=0 e b≠­3
  a=0 e b≠3
a=1 e b≠0
a≠0 e b=­3
a≠0 e b=3
  6a Questão (Ref.: 201302049819) Pontos: 0,5  / 0,5
O valor de k para que as equações ( k ­ 2 ) x + 3y = 4 e 2x + 6y = 8 , represente no plano cartesiano um par
de retas coincidentes é:
k = 4
k = 7
  k = 3
k = 5
09/12/2015 Estácio
http://bquestoes.estacio.br/entrada.asp?p0=88179840&p1=201301371785&p2=1588482&p3=CCE1003&p4=102207&p5=AV2&p6=23/11/2015&p10=32839744 3/3
k = 6
  7a Questão (Ref.: 201301421276) Pontos: 0,5  / 0,5
Qual(is) vetore(s) é/são combinação(ões) linear(es) de u = (1,­1,3) e de v = (2,4,0):
I ­   (3, 3, 3)
 
II ­  (2, 4, 6)
 
III ­ (1, 5, 6)
  I
II ­ III
I ­ III
I ­ II ­ III
II
  8a Questão (Ref.: 201301421281) Pontos: 0,0  / 0,5
Qual a condição para K, para que os vetores sejam Linearmente Independentes? v1 = (1, ­2, K); v2 = (1, 0, 1)
e v3 = (1, ­1, ­2).
  K ≠ ­5
  K ≠ 5
K ≠ 0
K ≠ ­1
K ≠ ­2
  9a Questão (Ref.: 201301422006) Pontos: 0,0  / 1,0
Qual dos seguintes conjuntos de vetores abaixo forma uma base de R4?
{(1,2,3,4), (0,2,­3,4),(0,­4, 6,­8),(0,0,2,3)}
  {(1,2,3,4), (0,­2, 4, 7), (0,0,1,0), (0,0,0,3)}
{(1,0,0, 0), (0,1,0,4), (0, 2, 0, 8), (0,0,2,3)}
{(1, 3, 4, 5), (1,2,3,4), (2,3,­1,0) }
  {(1,0,0,0), (0,1,0,0),(0,0,1,0), (0,0,0,3), (0,2,3,1) }
  10a Questão (Ref.: 201302108665) Pontos: 1,0  / 1,0
Um dos autovalores associados a matriz A = [1 3 4 2] , é:
2
  5
1
3
4