7 Distribuição de probabilidade

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Aula 07 – Distribuições de Probabilidades
Introdução
•Variável Aleatória
–É uma variável (normalmente representada por X) que tem um único valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um experimento.
–Suponhamos um espaço amostral S e que, a cada ponto amostral, seja atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável aleatória, indicada por uma letra maiúscula, sendo Não valores indicados por letras minúsculas.
Ex 1: Lançamento simultâneo de 2 moedas
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)}
Variável Aleatória X = Número de Caras (Ca)
	Ponto Amostral 
	X 
	(Ca, Ca) 
	2 
	(Ca, Co) 
	1 
	(Co, Ca) 
	1 
	(Co, Co) 
	0 
•Distribuição de Probabilidade
–Descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória
–A distribuição de probabilidade é frequentemente expressa na forma de um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula
Ex 2: Considere a distribuição de freqüências relativa ao número de acidentes diários em um estacionamento:
	Nº Acidentes 
	Frequências 
	0 
	22 
	1 
	5 
	2 
	2 
	3 
	1 
	 Soma = 30 
Em um dia, a probabilidade de:
- Não ocorrer acidentes: p = 22/30 = 0,73
- Ocorrer 1 acidente: p = 5/30 = 0,17
- Ocorrer 2 acidentes: p = 2/30 = 0,07
- Ocorrer 3 acidentes: p = 1/30 = 0,03
•Distribuição de Probabilidade
Ex 2: continuação
As probabilidades podem ser apresentadas numa tabela denominada distribuição de probabilidades:
	Nº Acidentes 
	Probabilidades 
	0 
	0,73 
	1 
	0,17 
	2 
	0,07 
	3 
	0,03 
	 Soma = 1 
•Distribuição de Probabilidade
–Definição: Seja X uma variável aleatória que assume os valores: x1, x2, x3, ..., xn. A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no espaço amostral.
–A soma das probabilidade será igual a 1
–Os valores x1, x2, ..., xn e seus correspondentes p1, p2, ..., pn definem uma distribuição de probabilidade.
Retomando o ex 1: Lançamento simultâneo de duas moedas
	Ponto Amostral 
	X 
	P(X) 
	(Ca, Ca) 
	2 
	1/2 x 1/2 = 1/4 
	(Ca, Co) 
	1 
	1/2 x 1/2 = 1/4 |1/4 + 1/4 = 2/4 
	(Co, Ca) 
	1 
	1/2 x 1/2 = 1/4 |
	(Co, Co) 
	0 
	1/2 x 1/2 = 1/4 
Logo, a distribuição de probabilidades fica:
	Nº Caras 
	P(X) 
	2 
	1/4 
	1 
	2/4 
	0 
	1/4 
•Distribuição de Probabilidade
–Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelece-se uma correspondência entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P.
–Essa correspondência define uma função, cujo domínio são os valores de xi e o conjunto imagem é formado pelos valores de pi (i = 1, 2, ..., n). Essa função é denominada função probabilidade e representada por:
f(x) = P(X = xi)
–A função P(x = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.
•Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento que satisfaz os seguintes requisitos:
–1. O experimento tem um número fixo de tentativas
–2. As tentativas tem que ser independentes (O resultado de qualquer tentativa individual não afeta as probabilidades nas outras tentativas)
–3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em duas categorias (em geral, chamadas de sucesso e fracasso)
–4. A probabilidade de um sucesso permanece constante em todas as tentativas.
Distribuição Binomial
Probabilidade e Estatística Aplicada à Engenharia – Prof. Ms. André Breve
•Distribuição Binomial
–Se um experimento satisfaz esses quatro requisitos, a distribuição da variável aleatória X (número de sucessos) é chamada de distribuição de probabilidade binomial (ou distribuição binomial).
–Os problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter k sucessos em n tentativas são característicos do uso de distribuição binomial. Ex: obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e independentes de uma moeda.
–Sabe-se que quando da realização de um experimento qualquer em uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento (sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento é q = 1 - p.
–Suponha a realização de uma prova n vezes sucessivas e independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes nas provas é dada pela função:
Onde:
•P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em n provas.
•p é a probabilidade que o evento se realize em uma só prova (sucesso).
•q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova (insucesso ou fracasso)
• é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a 
–Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial
•Distribuição Binomial
Exercícios:
1) Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas.
2) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos.
3) Determine a probabilidade de obtermos exatamente três caras em seis lançamentos de uma moeda. 
4) Jogando-se um dado três vezes, determine a probabilidade de se obter um múltiplo de 3 duas vezes. 
5) Dois times de futebol, A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a probabilidade de o time A: a) ganhar dois ou três jogos b) ganhar pelo menos um jogo 
6) A probabilidade de um produto apresentar defeito é de 2,5%. Qual é a probabilidade de, na compra de 5 produtos, pelo menos um ser defeituoso?