Lista 3 Álgebra Linear

Prévia do material em texto

Curso: Engenharia
Disciplina: A´lgebra Linear
Professor: Daniel Branda˜o
Aluno(a):
3a Lista de Exerc´ıcios (Dependencia Linear, Base e Dimensa˜o)
1. Determine se u e v sa˜o linearmente dependentes onde:
(a) u = (1, 2) e v = (3,−5)
(b) u = (1,−3) e v = (−2, 6)
(c) u = 2t2 + 4t− 3, v = 4t2 + 8t− 6
(d) u = 2t2 − 3t+ 4, v = 4t2 − 3t+ 2
(e) u =
[
1 3 −4
5 0 −1
]
, v =
[ −4 −12 −16
−20 0 4
]
(f) u =
[
1 1 1
2 2 2
]
, v
[
2 2 2
3 3 3
]
2. Determine se cada lista de vetores do R3 e´ ou na˜o linearmente dependente:
(a) (1, 1, 2), (2, 3, 1), (4, 5, 5)
(b) (4,−1, 2), (−4, 10, 2)
(c) (−3, 0, 4), (5,−1, 2), (1, 1, 3)
(d) (−2, 0, 1), (3, 2, 5), (6,−1, 1), (7, 0,−2)
(e) (1, 2, 5), (1, 3, 1), (2, 5, 7), (3, 1, 4)
(f) (1, 2, 5), (2, 5, 1), (1, 5, 2)
(g)(1, 2, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 6)
3. Determine se os vetores abaixo de R4 sa˜o LI ou LD.
(a) (1, 2,−3, 1), (3, 7, 1,−2), (1, 3, 7,−4)
(b) (1, 3, 1,−2), (2, 5,−1, 3), (1, 3, 7,−2)
(c) (3, 8, 7,−3), (1, 5, 3,−1), (2,−1, 2, 6), (1, 4, 0, 3)
(d) (0, 0, 2, 2), (3, 3, 0, 0), (1, 1, 0,−1)
(e) (0, 3,−3,−6), (−2, 0, 0,−6), (0,−4,−2,−2), (0,−8, 4,−4)
(f) (3, 0,−3, 6), (0, 2, 3, 1), (0,−2,−2, 0), (−2, 1, 2, 1)
4. Determine se os polioˆmios de P (t) abaixo sa˜o LI ou LD.
(a) t3 − 4t2 + 3t+ 3, t3 + 2t2 + 4t− 1, 2t3 − t2 − 3t+ 5
(b) t3 − 5t2 − 2t+ 3, t3 − 4t2 − 3t+ 4, 2t3 − 7t2 − 7t+ 9
(c) 2− t+ 4t2, 3 + 6t+ 2t2, 2 + 10t− 4t2
(d) 3 + t+ t2, 2− t+ 5t2, 4− 3t2
(e) 1 + 3t+ 3t2, t+ 4t2, 5 + 6t+ 3t2, 7 + 2t− t2
5. (a) Mostre que os treˆs vetores v1 = (0, 3, 1,−1), v2 = (6, 0, 5, 1), v3 = (4,−7, 1, 3) formam um conjunto linear-
mente dependente.
(b) Expresse cada vetor na parte (a) como uma combinac¸a˜o linear de outros dois.
6. Os vetores dados formam um conjunto linearmente dependente em R3 com quais valores reais de λ?
v1 = (λ,−1
2
,−1
2
), v2 = (−1
2
, λ,−1
2
), v3 = (−1
2
,−1
2
, λ)
1
7. Suponha que os vetores u, v, w sa˜o LI. Mostre que os vetores u+ v, u− v, u− 2v + w sa˜o tambe´m LI.
8. Suponha que os vetores u, v, w sa˜o LI. Mostre que os vetores {u+ v − 3w, u+ 3v − w, v + w} sa˜o tambe´m LI.
9. Suponha que u, v, w sa˜o vetores LI. Prove que S e´ LI onde:
(a) S = {u+ v − 2w, u− v − w, u+ v}
(b) S = {u+ v − 3w, u+ 3v − w, v + w}
10. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores do R3 dados abaixo sejam L.I.
a) {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1,m, 3)}
b) {(1, 3, 5), (2,m+ 1, 10)}
c) {(6, 2, n), (3,m+ n,m− 1)}
11. Mostrar que o conjunto {1, ex, xex} de vetores C([0, 1]) e´ L.I.
12. Mostrar que o conjunto {1, ex, e2x} de vetores C([0, 1]) e´ L.I.
13. Mostrar que o conjunto {1, cosx, cos 2x} de vetores C([−pi, pi]) e´ L.I.
14. Mostrar que o conjunto {1, sin2 x, cos2 x} de vetores C([−pi, pi]) e´ L.D.
15. Determine se cada um dos conjuntos abaixo sa˜o ou na˜o base de R3.
(a) (1, 1, 1), (1, 0, 1)
(b) (1, 2, 3), (1, 3, 5), (1, 0, 1), (2, 3, 0)
(c) (1, 1, 1), (1, 2, 3), (2,−1, 1)
(d) (1, 1, 2), (1, 2, 5), (5, 3, 4)
(e) (1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)
(f) (3, 1,−4), (2, 5, 6), (1, 4, 8)
(g) (2,−3, 1), (4, 1, 1), (0,−7, 1)
(h) (1, 6, 4), (2, 4,−1), (−1, 2, 5)
16. Quais dos conjuntos de vetores dados sa˜o base de P2?
(a) 1− 3x+ 2x2, 1 + x+ 4x2, 1− 7x
(b) 4 + 6x+ x2,−1 + 4x+ 2x2, 5 + 2x− x2
(c) 1 + x+ x2, x+ x2, x2
(d) −4 + x+ 3x2, 6 + 5x+ 2x2, 8 + 4x+ x2
17. Mostre que as matrizes dadas formam uma base de M22.(
3 6
3 −6
)
,
(
0 −1
−1 0
)
,
(
0 −8
−12 −4
)
,
(
1 0
−1 2
)
18. Determine se os vetores (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 6, 4), (2, 6, 8, 5) formam uma base de R4. Se na˜o, determine a
dimensa˜o do subespac¸o que eles geram.
19. Estenda {(1, 1, 1, 1), (2, 2, 3, 4)} a uma base do R4.
20. Determine uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de R3 onde:
(a) W = {(a, b, c); a+ b+ c = 0}
(b) W = {(a, b, c); a = b = c}
21. Determine uma base para o subespac¸o gerado por cada lista de vetores do R5:
(a) (1, 1, 1, 2, 3), (1, 2,−1,−2, 1), (3, 5,−1,−2, 5), (1, 2, 1,−1, 4)
(b) (1,−2, 1, 3,−1), (−2, 4,−2,−6, 2), (1,−3, 1, 2, 1), (3,−7, 3, 8,−1)
(c) (1, 0, 1, 0, 1), (1, 1, 2, 1, 0), (1, 2, 3, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 1)
(d) (1, 0, 1, 1, 1), (2, 1, 2, 0, 1), (1, 1, 2, 3, 4), (4, 2, 5, 4, 6)
2
22. Seja W um subespac¸o gerado pelo vetores (1,−2, 5,−3), (2, 3, 1,−4), (3, 8,−3,−5)
(a) Determine uma base e a dimensa˜o de W .
(b) Estenda a base de W para uma base de R4.
23. Seja W o subespac¸o de R5 gerado por (1, 2,−1, 3, 4),(2, 4,−2, 6, 8),(1, 3, 2, 2, 6),(1, 4, 5, 1, 8),(2, 7, 3, 3, 9). Deter-
mine um subconjunto destes vetores que formam uma base de W .
24. Encontre uma base a a dimensa˜o de cada subespac¸o de R4 abaixo:
(a) U = {(a, b, c, d)/b− 2c+ d = 0}
(b) W = {(a, b, c, d)/a = d, b = 2c}
(c) W = {(a, b, c, d)/d = 0}
(d) W = {(a, b, c, d)/d = a+ b, c = a− b}
25. Determine uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de P (t) gerado por:
(a) t3 + 2t2 − 2t+ 1, t3 + 3t2 + t+ 4, 2t3 + t2 − 7t− 7
(b) t3 + t2 − 3t+ 2, 2t3 + t2 + t− 4, 4t3 + 3t2 − 5t+ 2
(c) −1 + t− 2t2, 3 + 3t+ 6t2, 9
(d) 1 + t, t2,−2 + 2t2,−3t
(e) 1 + t− 3t2, 2 + 2t− 6t2, 3 + 3t− 9t2
26. Determine uma base e a dimensa˜o do subespac¸o W de V = M2X2 gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
,
[
1 −7
−5 1
]
27. Determine a dimensa˜o e a base do subespac¸o U de M2X3 gerado por[
1 2 1
3 1 2
]
,
[
2 4 3
7 5 6
]
,
[
1 2 3
5 7 6
]
28. Encontre uma base e a dimensa˜o do espac¸o soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo.
(a)
 x +y −z = 0−2x −y +2z = 0−x y = 0
(b)
{
x −4y +3z −t = 0
2x −8y +6z −2t = 0
29. Seja {v1, v2, v3} uma base de um espac¸o vetorial V . Mostre que {u1, u2, u3} tambe´m e´ uma base, sendo u1 = v1,
u2 = v1 + v2 e u3 = v1 + v2 + v3.
3