Lista 5 Álgebra Linear

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Curso: Engenharia
Disciplina: A´lgebra Linear
Professor: Daniel Branda˜o
Aluno(a):
5a Lista de Exerc´ıcios (Matriz de uma Transformac¸o˜es Lineares)
1. Seja F : R2 → R2 definida por F (x, y) = (4x + 5y, 2x− y).
(a) Encontre a matriz A que representa F na base canoˆnica.
(b) Encontre a matriz B que representa F na base S = {(1, 4), (2, 9)}
(c) Encontre P tal que B = P−1AP
(d) Para v = (a, b), encontre [v]S e [F (v)]S . Verifique que [F ]S [v]S = [F (v)]S .
2. Determinar as matrizes das seguintes transformac¸o˜es lineares em relac¸a˜o a`s bases canoˆnnicas dos respectivos
espac¸os:
a)F ∈ L(R3, R2) definida por F (x, y, z) = (x + y, z)
b) F ∈ L(R2, R3) definida por F (x, y) = (x+y, x, x−y)
c) F ∈ L(R4, R) definida por F (x, y, z, t) = 2x + y −
z + 3t
d) F ∈ L(R,R3) definida por F (x) = (x, 2x, 3x)
3. Encontre a representac¸a˜o matricial de cada operador T de R3 dado em relac¸a˜o a` base canoˆnica de R3.
(a) T (x, y, z) = (x, y, 0)
(b) T (x, y, z) = (z, y + z, x + y + z)
(c) T (x, y, z) = (2x− 7y − 4z, 3x + y + 4z, 6x− 8y + z)
4. Repita o problema acima usando a base S = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (1, 3, 5)}
5. Seja L o operador do R3 definido por
L(1, 0, 0) = (1, 1, 1), L(0, 1, 0) = (1, 3, 5), L(0, 0, 1) = (2, 2, 2)
(a) Encontre a matriz A que representa L em relac¸a˜o a` base canoˆnica.
(b) Encontre a matriz B que representa L em relac¸a˜o a` base S do exerc´ıcio anterior.
6. Seja D o operador derivada, ou seja, D(f(t)) = df/dt. Cada um dos conjuntos a seguir e´ uma base de um espac¸o
vetorial V de func¸o˜es. Encontre a representac¸a˜o matricial de D em cada base.
(a) {et, e2t, te2t}
(b) {1, t, sin(3t), cos(3t)}
(c) {e5t, te5t, t2e5t}
7. Seja V o espac¸o vetorial das matrizes 2× 2. Considere a matriz M a seguir e a base canoˆnica E de V .
M =
[
a b
c d
]
e E =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
Encontre a representac¸a˜o matricial de cada um dos operadores T de V a seguir em relac¸a˜o a` E.
1
(a) T (A) = MA (b) T (A) = AM (c) T (A) = MA = AM
8. Seja F : R3 → R2 definido por F (x, y, z) = (2x + y − z, 3x− 2y + 4z).
(a) Encontre a matriz A que representa F em relac¸a˜o a`s bases
S = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} e S′ = {(1, 3), (1, 4)}
(b) Verifique que A[v]S = [F (v)]S′ para qualquer v = (a, b, c) de R
3.
9. Determinar o operador linear F do R2 cuja matriz e relac¸a˜o a` base B = {(1, 1), (1, 2)} e´(
1 0
1 2
)
10. Se a matriz de um operador linear F do R3 em relac¸a˜o a` base canoˆnica e´ 1 1 00 1 0
0 1 −1

e se H = I + F + 2F 2, determinar a matriz de H em relac¸a˜o a` base canoˆnica do R3. Ache H(x, y, z).
11. Sejam F e G operadores lineares do R3 tal que: F (x, y, z) = (x, 2y, y − z) e que a matriz de 2F −G em relac¸a˜o
a` base canoˆnica e´  1 1 00 1 0
1 2 1

determinar a matriz de G em relac¸a˜o a` base canoˆnica. Determinar tambe´m G(x, y, z)
2