Aula 6 - Controle e Automação I

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INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE SISTEMAS 
PELO MÉTODO DE ESPAÇO DE 
ESTADOS 
Prof. Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Teoria de controle moderno 
 Tendência atual de maior complexidade e precisão; 
 Em razão da necessidade de atender às crescentes e 
rigorosas exigências de desempenho dos sistemas de 
controle, ao aumento da complexidade dos sistemas e ao 
acesso fácil e em larga escala aos computadores, a teoria 
de controle moderno tem sido desenvolvida desde 
aproximadamente 1960. 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Controle Moderno X Controle Clássico 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Conceitos Iniciais 
 Estado: Menor conjunto de variáveis cujo 
conhecimento em t=t0, junto com o conhecimento da 
entrada para t ≥ t0, determina completamente o 
comportamento de um sistema. Não se limita a 
sistemas físicos, pode ser estendido a sistemas 
biológicos, econômicos, etc. 
 Variáveis de estado: variáveis que constituem o 
menor conjunto de variáveis que determinam o estado 
do sistema. Não necessitam ser grandezas fisicamente 
mensuráveis ou observáveis. 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Vetor de estado: se necessitamos de n variáveis para 
descrever o estado de um sistema, podemos considerá-
las como um vetor de estado x com n componentes. 
 Espaço de estado: espaço n-dimensional cujos eixos 
coordenados consistem no eixo x1, x2, ..., xn. Qualquer 
estado pode ser representado por um ponto no espaço 
de estados. A representação por espaço de estados de 
um dado sistema não é única, exceto que o número de 
variáveis de estado é o mesmo para qualquer das 
diferentes representações por espaço de estados do 
mesmo sistema. 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Equações no espaço de estados: 
 Dado o Sistema 
 
 
 
 Onde u(t) e y(t) são grandezas vetoriais. O número 
de variáveis de estado para descrever 
completamente a dinâmica de um sistema é igual ao 
número de integradores envolvidos no sistema. Para 
um sistema com n integradores, r entradas e m 
saídas, teremos então: 
 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Para um sistema com n integradores, r entradas e m 
saídas, teremos então: 
 
 
 
 
 As saídas y1(t), y2(t),...,ym(t) serão: 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Podemos definir: 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Logo: 
 Equação de Estado 
 
 Equação de Saída 
 
 Se linearizadas sobre o espaço de operação, teremos: 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Equações de estado linearizada: 
 
 
 Onde 
 A(t) => matriz de estado 
 B(t) => matriz de entrada 
 C(t) => matriz de saída 
 D(t) => matriz de transmissão direta 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Equações de estado linearizada: 
 
 
 Diagrama de blocos de um sistema de controle linear de 
tempo contínuo, representado no espaço de estados. 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Exemplo Sistema Mecânico 
Encontrando a equação de característica do sistema 
 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Exemplo Sistema Mecânico 
Encontrando a equação de característica do sistema 
 
 
 
 
 
 Pela lei de Newton, temos: 
 
 
 
 
 Analisando as forças que atuam no 
sistema, temos: 
 
 Separando as saídas da entrada, 
encontra-se a equação característica do 
sistema. 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Exemplo Sistema Mecânico 
 
 
 Esse sistema é de segunda ordem, 
defini-se as variáveis de estado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação de saída é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observando a equação característica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Tendo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sob a forma vetorial-matricial, as equações podem ser 
escritas como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando com as equações na sua forma padrão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MODELAGEM NO ESPAÇO DE ESTADOS 
 Observando as matrizes e as equações pode-se obter o 
diagrama de bloco do sistema 
 
 
CORRELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADO 
 Veremos como obter a função de transferência de um 
sistema a partir das equações no espaço de estados. 
 
 
 
 Sendo a função de transferência de um sistema dada 
por: 
 
  Em espaço de estado, temos: 
 
 Onde u é uma entrada única e y é uma saída única. A 
transformada de Laplace das equações de estado nos 
dão: 
 
CORRELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADO 
 Como função de transferência pressupõe condições 
iniciais iguais a zero, logo x(0) =0, e teremos: 
 
  Logo 
 
 
 Então 
 
 
 
 
 
 A equação a cima pode ser escrita como 
 
 Note que é igual ao polinômio característico de 
G(s). Ou seja os autovalores de A são identicos aos polos 
de G(s) 
 
 
 
 
 
CORRELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADO 
 Exemplo, considere novamente o sistema mecânico 
 
 
 Pela substituição de A,B,C e D 
 
 
CORRELAÇÃO ENTRE A FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
E EQUAÇÕES NO ESPAÇO DE ESTADO 
 Resolvendo a matriz 
 
 Tem-se 
 
 
 Como 
 
 
UTILIZAÇÃO DA TÉCNICA DE FRAÇÕES PARCIAIS 
PARA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS. 
 Seja o sistema 
 
 
 Aplicando a transformada de Laplace achamos a 
função de transferência 
 
 Expandindo, temos: 
 
 Portanto, 
 
UTILIZAÇÃO DA TÉCNICA DE FRAÇÕES PARCIAIS 
PARA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS. 
 
 
 Fazendo a Transformada inversa de Laplace, temos: 
 
 
 Definindo 
 
UTILIZAÇÃO DA TÉCNICA DE FRAÇÕES PARCIAIS 
PARA REPRESENTAÇÃO NO ESPAÇO DE ESTADOS. 
 Em diagrama de blocos teremos: 
 
 
 Como 
 
 
 Ou 
 
TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 
COM MATLAB 
 O Matlab é amplamente utilizado para transformar o 
modelo do sistema de funções de transferência para o 
espaço de estados e vice versa. 
 
 
 
 
 Transformação da função de transferência para o 
espaço de estado. 
 Comando: [ A, B, C, D]= tf2ss(num,den) 
 
 
 Transformação no espaço de estados para a função de 
transferência. 
 Comando: [num, den] =ss2tf(A, B, C, D) 
 
 
 
TRANSFORMAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS 
COM MATLAB 
 Exemplos 1 
 Utilizando o Matlab encontre o espaço de estados da 
função de transferência abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 Exemplo 2 
 Utilizando o Matlab encontre a função de transferência 
do espaço de estado abaixo. 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Seja: 
 Então teremos: 
 
 
 Representação de espaço de estados de sistemas de 
equações diferenciais lineares de ordem n em que a 
função de excitação não envolve termos em derivada. 
 
 
 Definindo 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Onde: 
 Ou 
 
 
 E a saída vale 
 
 
 Ou 
 
 
 Onde 
 
 
 Representação da função de 
transferência 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Seja: 
 Representação no espaço de estados de sistemas de 
equações diferenciais de ordem n em que a função de 
excitação envolve termos em derivada.. 
 
 
 Definindo 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 E x1=y, Temos que o conjunto de variáveis acima não 
define o estado do sistema e o método anterior não pode 
ser usado, pois x1 = y pode não fornecer uma solução 
única. 
 Redefinindo as variáveis de estado, podemos Ter 
 
 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Onde 
 Isto garante a unicidade da solução 
 Então 
REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS 
POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Logo 
 
 Ou 
 Representação da função de 
transferência 
EXEMPLO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Sistema Massa-Mola-Amortecedor(Sistema 
Mecânico 
EXEMPLO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Sistema Massa-Mola-Amortecedor (Sistema Mecânico) 
EXEMPLO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Com a forma padronizada: 
 Para obter o modelo no espaço de estado desse sistema. 
Primeiramente vamos comparar a equação diferencial 
do mesmo. 
 Identifica-se . 
 
 
EXEMPLO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 Em relação a , temos 
 Em relação a . 
 
 
EXEMPLO REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS 
DINÂMICOS POR ESPAÇO DE ESTADOS 
 E a saída da equação torna-se: 
 
 
 Finalmente temos: 
 Ou 
 
 
 E