Aula 15 - Controle e Automação I

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ANÁLISE NYQUIST 
Prof: Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 O diagrama polar de uma função de 
transferência senoidal G(jω) é um 
gráfico do módulo de G(jω) versus o 
ângulo de fase de G(jω) em 
coordenadas polares com ω 
variando de zero a infinito. 
 Para qualquer ponto do diagrama 
polar, qualquer que seja a 
frequência, a amplitude e a fase 
são obtidas medindo o comprimento 
do vetor que liga a origem ao ponto 
e o ângulo que este vetor faz com o 
eixo real positivo, respectivamente. 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 O Diagrama Polar é frequentemente 
chamado de Diagrama de Nyquist: é um 
gráfico do módulo de G(jw) versus o ângulo de 
fase de G(jw). 
 É o lugar dos vetores com w variando 
de 0 a ∞. 
 Como medir o ângulo de fase: 
 Positivo: É medido no sentido anti-horário a partir do 
eixo real positivo 
 Negativo: É medido no sentido horário a partir do eixo 
real positivo. 
 É importante indicar os valores da freqüência ao 
longo da curva. 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES) 
 PRINCIPAIS VANTAGENS 
 
 A possibilidade de num só gráfico visualizar as 
características da resposta em frequência de um 
sistema em todas as freqüências. 
 
 O diagrama polar constitui a base para a 
aplicação do critério de estabilidade de Nyquist, 
como iremos estudar posteriormente. 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO DIAGRAMA POLAR 
 O diagrama polar de G(jω)=1/jω é o eixo imaginário 
negativo, visto que: 
 
 
 O diagrama polar de G(jω)=jω é o eixo imaginário positivo 
 
 
 
 
 
 
FATORES INTEGRAL E DERIVATIVO 
 Os valores de G(jω) em ω=0 e ω=1/T são, respectivamente, 
 
 
 Se ω tende ao infinito, o módulo de G(jω) tende a zero e o 
ângulo de fase a -90° 
 
 À medida que a frequência ω varia de zero ao infinito, o 
diagrama polar descreve uma semicircunferência. 
 
 O centro fica localizado no ponto 0,5 do eixo real e o raio é igual 
a 0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 
FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 
FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 
FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 
 O diagrama polar da função de transferência 1+jωT é 
simplesmente a metade superior da reta que passa pelo ponto 
(1,0) no plano complexo e é paralela ao eixo imaginário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES DE PRIMEIRA ORDEM 
 A forma exata do diagrama polar depende do valor do 
coeficiente de amortecimento ζ , mas a forma geral do diagrama 
é a mesma tanto para o caso subamortecido (1> ζ >0) como para 
o superamortecido (ζ>1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES QUADRÁTICOS 
Porção relativa 
à baixa 
freqüência 
Porção relativa 
à alta 
freqüência 
Início do 
Diagrama Polar 
Final do 
Diagrama Polar 
 Caso subamortecido 
 Para ω = ωn , 
 
 
 Ângulo de fase = -90° 
 
 A frequência na qual o 
lugar geométrico de G(jω) 
cruza o eixo imaginário é 
a frequência natural não 
amortecida ωn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES QUADRÁTICOS 
 A frequência cujo ponto está mais distante da origem corresponde à 
frequência de ressonância ωr . 
 
 O valor de pico de G(jω) é obtido pela relação entre o módulo do 
vetor na frequência de ressonância ωr e o módulo do vetor em ω = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES QUADRÁTICOS 
 Para o caso superamortecido, à medida que ζ aumenta muito 
além da unidade, o lugar geométrico de G(jω) se aproxima de 
uma semicircunferência. 
 
 Pode-se observar esse fato nos sistemas muito amortecidos, em 
que as raízes características são reais e uma delas é bem menor 
do que a outra. 
 
 Dado que, para ζ grande, o efeito da maior raiz (maior em valor 
absoluto) na resposta é muito pequeno, o sistema se comporta 
de primeira ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FATORES QUADRÁTICOS 
FATORES QUADRÁTICOS 
 Baixas frequências 
 
 Altas frequências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Considere a seguinte função de transferência de segunda 
ordem: 
 
 Construa o diagrama polar dessa função de transferência 
 R: Por ser uma função de transferência senoidal temos: 
 
 
 Porção relativa à baixa frequência: 
 Porção relativa à alta frequência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 Obtenha o diagrama polar da seguinte função de transferência 
 
 
 Como G(jω) pode ser escrita como: 
 
 O módulo e o ângulo de fase são, respectivamente, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
FORMAS GERAIS DO DIAGRAMA POLAR 
FORMAS GERAIS DO DIAGRAMA POLAR 
FORMAS GERAIS DO DIAGRAMA POLAR 
FORMAS GERAIS DO DIAGRAMA 
POLAR 
FORMAS GERAIS DO DIAGRAMA 
POLAR 
DIAGRAMAS POLARES DE FUNÇÕES 
DE TRANSFERÊNCIA SIMPLES 
DIAGRAMAS POLARES DE FUNÇÕES 
DE TRANSFERÊNCIA SIMPLES 
DIAGRAMAS POLARES DE FUNÇÕES 
DE TRANSFERÊNCIA SIMPLES 
CONSTRUÇÃO DO DIAGRAMA DE 
NYQUIST COM O MATLAB 
 Considere a seguinte função de transferência de malha aberta: 
 
 
 Desenhe um diagrama de Nyquist com o MATLAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
>>num= [1] 
>>den=[ 1 0.8 1] 
>>nyquist(num,den) 
>>V=[-2 2 -2 2]; axis(V) 
>>title(‘Diagrama de Nyquist de G(s) = 1/(s^2+0.8s+1)’) 
EXEMPLO 
 Desenhe o diagrama de Nyquist da seguinte G(s): 
 
 
 
>>num= [1] 
>>den=[ 1 1 0] 
>>nyquist(num,den) 
>>V=[-2 2 -5 5]; axis(V) 
>>title(‘Diagrama de Nyquist de G(s) = 1/[s(s+1)]’) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
 
DESENHO DE DIAGRAMAS DE NYQUIST DE UM 
SISTEMA DEFINIDO NO ESPAÇO DE ESTADOS. 
 
 EXEMPLO 
  Considere o sistema definido por: 
 
 
 Desenhe o diagrama de Nyquist 
>>A=[0 1; -25 -4]; 
>>B=[0;25]; 
>>C=[1 0]; 
>>D=[0]; 
>>nyquist(A,B,C,D) 
>>title(‘Diagrama de Nyquist’) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
 Considere o sistema definido por: 
 
 
 
 Esse sistema possui duas entrdas e duas saídas. Existe quatro 
relações senoidais de entrada-saída: 
 
 
 Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema. (Quando se 
considera a entrada u1, presumimos que a entrada u2 seja zero 
e vice-versa). 
>>A=[-1 -1; 6.5 0]; >>B=[1 1; 1 0]; 
 >>C=[1 0; 0 1]; >>D=[0 0; 0 0] ; 
>>nyquist(A,B,C,D) 
>>title(‘Diagrama de Nyquist’) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
Diagrama de Bode e Diagrama Polar 
 Duas representações da resposta em frequência de funções do 
segundo grau com ζ>0. a) Diagrama de Bode. B) Diagrama 
Polar.