Aula 17 - Controle e Automação I

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CONTROLADORES PID 
SINTONIZAÇÃO 
 
 
EXEMPLO DAS AÇÕES DOS CONTROLADORES PID 
 
 
 
 
 
 Considere o diagrama de blocos da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 Sendo a função de transferência da planta 
 
 
 Deseja-se analisar o comportamento deste sistema 
com os controladores P,PI, PD e PID 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 Controlador P 
 Para Gc(s)=Kc o diagrama do lugar das raízes é 
apresentado. 
 
 
 
 
 
 Para s= -3 os polos de malha 
fechada são reais e iguais. 
Neste ponto o ganho vale 
 
 
 
  Polos reais e a resposta ao 
degrau é amortecida 
 
 Polos complexos conjugados e a 
resposta ao degrau 
subamortecida 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR P 
 
 
 
 
 
 Para entradas do tipo degrau unitário na referência R(s) e na 
perturbação D(s) tem-se que 
 
 
 
 
 
 O erro estacionário pode ser calculado por meio do teorema do 
valor final 
 
 
 
 
 Logo o erro estacionário é não nulo para Kc > 0. Porém 
 Para Kc “pequeno” o erro estacionário é “grande” 
 Para Kc “grande” o erro estacionário é “pequeno” 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR P 
 
 
 
 
 
 Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau 
unitário na referência para Kc=4 e Kc= 100. sobressinal Mp=31,6% 
 
 
 
 
 
 Para Kc= 4, a resposta transitória é mais lenta, amortecida e o 
erro estacionário vale: 
 
 
 Para Kc=100, a resposta transitória é mais rápida, subamortecida 
e o erro estacionário vale: 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR P 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 Para Kc= 4, a margem 
de ganho é infinita, 
pois o gráfico de fase 
nunca cruza a linha 
180° e a margem de 
fase também é infinita, 
pois o gráfico de fase 
nunca cruza a linha de 
0 dB. 
 Para Kc=100, a 
margem de ganho é 
infinita e a margem de 
fase vale MF=34,2° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função de transferência do controlador PI é dada por: 
 
 
 
 Lugar das raízes 
 
 
 
 
 Um análise usual é adotar Ti de forma 
que o zero do controlador cancele o polo 
mais lento da planta, então s= -1, 
consequentemente Ti=1 
 
 
 
 
 Para s= -2,5 os polos de malha 
fechada são reais e iguais. Neste 
ponto o ganho vale 
 
 
 
 
CONTROLADOR PI 
 Polos reais e a resposta ao degrau é 
amortecida 
 
 Polos complexos conjugados e a 
resposta ao degrau subamortecida 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PI 
 
 
 
 
 
 Como visto anteriormente por termos o integrador para 
entradas do tipo degrau o erro estacionário é igual a zero. 
 Essa propriedade pode ser verificada analiticamente a partir do 
teorema do valor final 
 Para 
 
 
 
 
 
 Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao degrau 
unitário na referência e pertubação para Ti=1 e Kc= 6,25 e Kc =100 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PI 
 
 
 
 
 
 Verifica-se que o erro 
estacionário e sempre 
nulo 
 Para Kc= 100 a resposta 
ao degrau na referência 
tem um sobressinal Mp= 
44,4%, que é maior que o 
sobressinal Mp=31,6% 
do controlador 
proprocional . 
 O controlador Pi piorou 
a estabilidade relativa 
do sistema 
 
 
CONTROLADOR PI 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 O grafico de fase nunca 
cruza 180° por isso as 
margem de ganho para 
Kc = 6,25 e Kc = 100 são 
infinitas 
 Porém, para Kc =6,25 a 
margem de fase vale 
MF=76° e para Kc=100 
a margem de fase vale 
MF=28 ° 
 Para Kc=100 a margem 
de fase é menor , 
quando comparado com 
a margem de fase com o 
controlador 
proporcional (margem 
de fase vale MF=34,2°) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função de transferência do controlador PD é dada por: 
 
 
 Adotando Td=1 de forma que o zero do controlador cancele o 
polo mais lento da planta. 
 Lugar das raízes 
 
 
 
 
 Pode-se verificar o lugar das raízes se desloca para a esquerda, 
aumentado a estabilidade relativa do sistema. 
 
 Em particular para o valor de Td adotado pode-se ajustar um 
ganho elevado para Kc, que a resposta transitória é sempre 
superamortecida 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PD 
CONTROLADOR PD 
 
 
 
 
 
 Para entradas do tipo degrau unitário na referência R(s) e na 
perturbação D(s) o erro estacionário vale: 
 
 
 
 
 
 Logo o erro estacionário é não nulo para Kc > 0. Porém 
 Para Kc “pequeno” o erro estacionário é “grande” 
 Para Kc “grande” o erro estacionário é “pequeno” 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PD 
 
 
 
 
 
 Na figura abaixo são apresentados os gráficos da resposta ao 
degrau unitário na referência com perturbação nula, para Kc=100 
 
 
 
 
 
 Verifica-se que o controlador PD foi possível obter uma resposta 
rápida e sem sobressinal, o que não ocorre com os controladores P 
e Pi. 
 Para D(s)=0 o erro estacionário vale 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PD 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 A margem de ganho é 
infinita e a margem de 
fase vale MF=93°. 
 Observa-se que para o 
mesmo ganho Kc=100 a 
margem de fase obtida 
com o controlador PD é 
maior que as margens 
de fase obtidas com 
controladores P e PI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A função de transferência do controlador PID é dada por: 
 
 
 Adotando Ti=6/5 e Td=1/6, de forma que os zeros do controlador 
cancele os polos da planta. 
 A função de transferência de malha aberta resulta 
 
 
 Lugar das raízes 
 
 
 Neste exemplo o controlador PID possui todas as vantagens dos 
controles P, PI e PD 
 Aumentado-se o ganho Kc pode-se obter uma resposta rápida e 
sempre superamortecida 
 O erro estacionário é nulo para entradas do tipo degrau na 
referência e na pertubação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PID 
CONTROLADOR PID 
 
 
 
 
 
 Na figura abaixo são apresentados os gráficos da 
resposta ao degrau unitário na referência com 
perturbação nula, para Kc=100 
 
 
 
 
 
 
 
CONTROLADOR PID 
 
 
 
 
 
 Os diagramas de Bode são apresentados na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 A margem de ganho é 
infinita e a margem de 
fase vale MF=90°, que é 
maior que as margens 
de fase obtidas com os 
controladores P e Pi 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO (SINTONIA DE CONTROLADORES PID) 
 A aula anterior, discutimos brevemente esquemas 
básicos de controle PID. 
 É interessante notar que mais da metade dos 
controladores industriais em uso atualmente 
emprega esquema de controle PID 
 Como a maioria dos controladores PID é ajustada em 
campo, diferentes tipos de regras de sintonia vêm 
sendo proposta na literatura 
 A utilidade dos controles PID está na sua 
aplicabilidade geral à maioria dos sistemas de 
controle. 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 É mais utilizado quando o modelo matemático da 
planta não é conhecido e, portanto, métodos de 
projeto analítico não podem ser utilizados, controles 
PID se mostram os mais úteis. 
 Na área dos sistemas de controle de processos, o 
controle PID provaram um controle satisfatório, 
embora em muitas situações eles possam não 
proporcionar um controle ótimo 
 Será apresentado um projeto de um sistema de 
controle com um PID, utilizando as regras de ajuste 
Ziegler e Nichols, em seguida abordaremos a 
otimização computacional no projeto de 
controladores PID. 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS 
PARA CONTROLADORES PID 
 A figura abaixo mostra o controle PID de uma planta. 
 
 
 
 
 
 Se o modelo matemático for conhecido, é possível aplicar 
técnica de projetos na determinação dos parâmetros do 
controlador que atenderão às especificações do regime 
transitório e do regime permanente do sistema de malha 
fechada. 
 Porém se a planta for muito complexa, (dificultando a 
modelagem matemática) , então a abordagem analítica do 
projeto do controlador PID não será possível. 
 Aplica-se abordagem experimentaisde sintonia de 
controladores PID. 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS 
PARA CONTROLADORES PID 
 Sintonia do controlador = O processo de selecionar parâmetros 
do controlador que garantam dada especificação de 
desempenho. 
 Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de 
controladores PID ( parâmetros Kp, Ti e Td). 
 Baseada na resposta experimental ao degrau 
 Baseada no valor Kp que resulta em uma estabilidade marginal, 
quando somente uma ação proporcional é utilizada. 
 Elas são uteis quando os modelos matemáticos são 
desconhecidos. 
 Tem como função sugerir um conjunto de valores de Kp,Ti e Td. 
que vão proporcionar uma operação estável do sistema. 
 As regras de sintonia de Ziegler-Nichols fornecem estimativas 
dos valores dos parâmetros e proporcionam um ponto de 
partida na sintonia fina, e não os valores definitivos de Kp, Ti e 
Td logo na primeira tentativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS 
PARA CONTROLADORES PID 
 PRIMEIRO MÉTODO 
 É obtido experimentalmente a resposta da planta a uma 
entrada em degrau unitário como mostrado abaixo. 
 
 
 
 
 
 Se a planta não possuir integradores ou polos complexos 
conjugados dominantes , então essa curva de resposta ao 
degrau unitário pode ter o aspecto de um s. 
 Esse método só se aplica se a curva de resposta ao degrau de 
entrada tiver o aspecto de um s. 
 Pode-se gerar essa curva experimentalmente ou a partir de 
uma simulação dinâmica da planta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (PRIMEIRO MÉTODO) 
 Ampliando a curva de resposta s temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Essa curva pode ser caracterizada por duas constantes, o atraso 
L e a constante de tempo T. 
 Esses parâmetros são determinados desenhando-se uma linha 
tangente ao ponto de inflexão da curva e determinando-se a 
intersecção da linha tangente com o eixo dos tempos e a linha 
c(t)=K. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (PRIMEIRO MÉTODO) 
 A função de transferência C(s)/U(s) pode ser aproximada por um 
sistema de primeira ordem com um atraso de transporte: 
 
 
 Sugeri-se os valores de acordo com as equações da tabela abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (PRIMEIRO MÉTODO) 
 Analisando os valores da tabela proposta por Ziegler-Nichols com 
as regras de ação do controle PID temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Temos então um controlador PID que possui um polo na origem e 
zeros duplos em s= - 1/L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS 
PARA CONTROLADORES PID 
 SEGUNDO MÉTODO 
 Definimos inicialmente Ti=∞ e Td=0. Temos então somente 
o controle proporcional como mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 Varia-se o Kp de 0 a Kcr. Onde Kcr e o K crítico. No 
momento do K critico teremos uma resposta oscilatória. 
 
 
 
 
 
 
 Determina-se experimentalmente o ganho crítico e o período 
crítico Kcr e Pcr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (SEGUNDA ORDEM) 
 Temos então a seguinte tabela proposta: 
 
 
 
 
 
 Analisando os valores da tabela proposta por Ziegler-Nichols 
com as regras de ação do controle PID temos: 
 
 
 
 
 Portanto, o controlador PID tem um polo na origem e zeros 
duplos em s= - 4/Pcr. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (SEGUNDA ORDEM) 
 Note que, se o sistema tem um modelo matemático conhecido 
(como a função de transferência), então podemos utilizar o 
método do lugar das raízes para encontrar o ganho critico e a 
frequência de oscilações sustentadas ωcr, onde: 
 
 
 Esses valores podem ser encontrados a partir dos pontos de 
cruzamento dos ramo do lugar das raízes com o eixo jω. 
 
 COMENTÁRIOS: As regras de sintonia de Ziegler-Nichols vêm 
sendo muito utilizadas para sintonizar controladores PID em 
sistemas de controle de processo em que as dinâmicas da 
planta não são precisamente conhecidas. Por muitos anos, 
essas regras de sintonia provaram ser muito úteis. As regras de 
Ziegler-Nichols podem, é claro, ser aplicadas às plantas cujas 
dinâmicas são conhecidas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Considere o sistema de controle mostrado na figura abaixo no 
qual um controlador PID é utilizado para o controlar o sistema. 
Deseja-se que o sistema projetado exibe aproximadamente 30% 
de sobressinal máximo. 
 
 
 
 
 O controlador PID tem a seguinte função de transferência 
 
 
 Como a planta tem um integrador , utiliza-se o segundo 
método, obtemos a seguinte função de transferência de malha 
fechada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Obtemos o ganho crítico utilizando o critério de estabilidade de 
Routh. Equação característica do sistema de malha fechada é: 
 
 Critério de Routh 
 
 
 
 
 
 
 Examinando os termos da primeira colona temos que o valor 
crítico Kcr é iqual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Para o ganho Kp igaul a Kcr (=30), a equação característica é: 
 
 Para encontrar a frequência da oscilação sustenda, 
substituímos s=jω na equação característica: 
 
 
 
 Defini-se a frequência de oscilação: 
 
 
 Logo o período de oscilação critica é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Referindo-se a tabela dos parâmetros 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Substituindo os parâmetros temos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Temos então: 
 
 
 O controlador PID tem um polo na origem e um zero duplo em 
s= - 1,4235. 
 Temos então o seguinte diagrama em bloco do sistema 
 
 
 
 
 Vamos examinar a resposta do sistema ao degrau unitário. A 
função de transferência C(s)/R(s) é dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Programa em Matlab para a resposta em degrau desse sistema: 
 %------------Reposta ao degrau unitário-------------- 
 num=[6.3223 18 12.811] 
 den=[1 6 11.3223 18 12.811] 
 step(num,den) 
 
 
 
 
 
 
 
 O sobressinal máximo 
na resposta ao degrau 
unitário é de 62% 
 
 Esse valor é maior do 
que o pedido pelo 
problema 
 Então, 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Esse sobressinal pode ser reduzido fazendo-se uma sintonia 
fina dos parâmetros do controlador. Mantendo Kp= 18 e 
movendo o zero duplo do controlador PID para s= -0,65 temos 
 
 
 
 
 
 
 
 O sobressinal máximo 
na resposta ao degrau 
unitário foi reduzido a 
aproximadamente 
18% 
 Esse valor é menor do 
que o pedido pelo 
problema 
 Então, 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 Aumentando o Kp para 39,42 mantendo a localização dos polos 
temos 
 
 
 
 
 
 
 
 O sobressinal máximo 
é aproximadamente 
28% 
 De acordo com as 
especificações do 
problema 
 Então 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 É instrutivo notar que, para o 
caso em que o zero duplo está 
localizado em s= 1,42235, 
aumentar o valor de Kp 
aumenta a velocidade da 
resposta. Contudo, sendo o 
sobressinal máximo o objetivo, 
a variação do ganho Kp tem 
pouquíssima influência. 
 Os ramos dominantes do lugar 
das raízes estão sobre as linhas 
ζ = 0,3 para uma faixaconsiderável de K 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 A variação da localização do zero 
duplo tem um efeito significativo no 
sobressinal máximo, porque o 
coeficiente de amortecimento dos 
polos dominantes da malha fechada 
pode ser alterado significativamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
REGRAS DE SINTONIA DE ZIEGLER-NICHOLS PARA 
CONTROLADORES PID (EXEMPLO) 
 E possível fazer uma terceira, uma quarta e ainda outras 
tentativas para obter uma resposta melhor. 
 No entanto, isso requer muitos cálculos, gastando-se muito 
tempo. Se mais tentativas forem desejadas sugere-se o uso da 
abordagem computacional.