LISTA DE VARIAVEIS ALEATORIAS DISCRETAS ESTATISTICA JOSIANE UFRRJ

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro 2015
Profa.: Josiane Cordeiro Coelho
Varia´veis Aleato´rias Discretas
1. Uma determinada pessoa possui 3 chaves em seu bolso. Como acabou a luz e esta´
escuro, ele na˜o consegue ver qual a chave correta para abrir a porta de sua casa.
Ele testa cada uma das chaves ate´ encontrar a chave para abrir a porta.
a) Defina o espac¸o amostral desse experimento.
b) Defina a varia´vel aleato´ria X = nu´mero de chaves testadas ate´ conseguir abrir a
porta (inclusive a chave correta). Quais sa˜o os valores de X?
c) Encontre a func¸a˜o de probabilidade para v.a. X.
d) Qual e´ nu´mero me´dio de tentativas que a pessoa deve realizar para abrir a porta?
2. Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 3 bolas, sem
reposic¸a˜o, e defina a v.a. X igual ao nu´mero de bolas pretas. Obtenha a func¸a˜o de
probabilidade de X.
3. Numa urna ha´ 7 bolas brancas e 4 bolas verdes. Cinco bolas sa˜o extra´ıdas dessa
urna, sem reposic¸a˜o. Defina a v.a. X = nu´mero de bolas verdes. Quais sa˜o os
poss´ıveis valores de X? Calcule a probabilidade de X ≥ 3 e a probabilidade de
X = 2.
4. Seja uma v.a. X com func¸a˜o de probabilidade dada na tabela a seguir:
x 0 1 2 3 4 5
pX(x) 0 p
2 p2 p p p2
(a) Encontre o valor de p.
(b) Calcule P (X ≥ 4) e P (X < 3).
(c) Calcule P (|X − 3| ≥ 2).
5. Considere a v.a. X cuja func¸a˜o de probabilidade e´
pX(x) =

1
8
, se x = −3
1
6
, se x = 1
1
2
, se x = 3
p, se x = 5
0, c. c.
Encontre o valor de p e a fda da v.a. Y = X2 e, construa seu gra´fico.
1
6. A fda de uma v.a. X e´ dada por
FX(x) =

0 x < 0
1
32
0 ≤ x < 1
6
32
1 ≤ x < 2
16
32
2 ≤ x < 3
26
32
3 ≤ x < 4
31
32
4 ≤ x < 5
1 x ≥ 5
Encontre sua func¸a˜o de probabilidade.
7. Dois concorrentes, Mateus e Lucas, disputam um projeto durante 4 entrevistas para
uma determinada empresa de seguros. A probabilidade de Mateus se sair melhor
numa entrevista e´ 0, 7 e na˜o ha´ possibilidade dos dois se sa´ırem iguais. Qual e´ a
probabilidade de Mateus ganhar o projeto?
8. Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande indu´stria si-
deru´rgica tem alergia aos poluentes lanc¸ados ao ar. Admitindo-se que este percen-
tual de ale´rgicos esta´ correto, calcule a probabilidade de que pelo menos 4 moradores
tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso.
9. Um atirador acerta na mosca o alvo, 20% dos tiros.
(a) Qual a probabilidade de ele acertar na mosca pela primeira vez no 10o tiro?
(b) Se ele da´ 10 tiros, qual a probabilidade de ele acertar na mosca no ma´ximo 1
vez?
(c) Qual a probabilidade de ele ter de dar 10 tiros para acertar 6 vezes na mosca?
(d) Se ele da´ 10 tiros, qual a probabilidade de ele acertar na mosca 6 vezes?
10. Joga-se um dado equilibrado. Qual e´ a probabilidade de serem necessa´rios 10
lanc¸amentos ate´ a terceira ocorreˆncia de um seis?
11. Treˆs em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar
vestibular. Se 16 alunos sa˜o selecionados ao acaso, qual e´ a probabilidade de que:
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
b) No ma´ximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 5 tenham feito cursinho?
d) Exatamente 10 ou 11 tenham feito cursinho?
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e) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual e´ o nu´mero esperado de
alunos que fizeram cursinho? E a variaˆncia?
12. Durante um ano particular, 70% das ac¸o˜es ordina´rias negociadas na Bolsa de Nova
York tiveram aumentadas suas cotac¸o˜es, enquanto 30% tiveram suas cotac¸o˜es di-
minu´ıdas ou esta´veis. No comec¸o do ano, um servic¸o de assessoria financeira escolhe
10 ac¸o˜es como sendo “especialmente recomendadas”. Se as 10 ac¸o˜es representam
uma selec¸a˜o aleato´ria, qual a probabilidade de que (a) todas as 10 ac¸o˜es, (b) ao
menos 8 ac¸o˜es, (c) menos do que quatro ac¸o˜es terem suas cotac¸o˜es aumentadas?
13. De acordo com o Levantamento de Sau´de Nacional, 9, 8% da populac¸a˜o de 18 a 24
anos de idade nos Estados Unidos e´ canhota.
a) Qual e´ a probabilidade de que exatamente treˆs das dez pessoas sejam canhotas?
b) Qual e´ a probabilidade de que pelo menos seis das dez pessoas sejam canhotas?
c) Qual e´ a probabilidade de que no ma´ximo dois indiv´ıduos sejam canhotos?
14. Seja X ∼ Bin(n, p). Se E(X) = 12 e V ar(X) = 4, determine os valores de n e p.
15. Deseja-se produzir 5 pec¸as boas, em uma ma´quina que da´ 20% de pec¸as defeituosas.
Qual e´ a probabilidade de ser necessa´rio fabricar 8 pec¸as para se conseguir as 5
pec¸as boas?
16. Uma empresa de marketing direto foi contratada e envia cartas promocionais aos
clientes de uma rede de lojas. A taxa histo´rica de resposta e´ de 10%. Se a empresa
enviou 20 cartas, calcular a probabilidade de que:
a) ningue´m responda;
b) exatamente duas respondam;
c) menos que 20% das pessoas respondam.
17. As probabilidades de que haja 1, 2, 3, 4 ou 5 pessoas nos carros que passam por
um peda´gio sa˜o, respectivamente, 0,05; 0,20; 0,40; 0,25 e 0,10. Seja X = nu´mero de
passageiros por ve´ıculo.
(a) Explicite a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de probabilidade de X.
(b) Calcule o nu´mero me´dio de passageiros por ve´ıculo.
(c) Calcule a variaˆncia de passageiros por ve´ıculo.
18. Na manufatura de certo artigo, e´ sabido que 1 entre 10 artigos e´ defeituoso. Uma
amostra de tamanho 4 e´ retirada com reposic¸a˜o, de um lote da produc¸a˜o. Qual a
probabilidade de que a amostra contenha
3
(a) nenhum defeituoso?
(b) pelo menos 2 defeituosos?
(c) exatamente 1 defeituoso?
19. Um produtor de sementes vende pacotes com 20 sementes cada. Os pacotes que
apresentarem mais de uma semente sem germinar sera˜o indenizados. A probabili-
dade de uma semente na˜o germinar e´ de 2%.
a) Qual a probabilidade de um pacote ser indenizado?
b) Se o produtor vender 1000 pacotes quantos espera indenizar.
20. Dizemos que uma v.a.d. segue o modelo Poisson com paraˆmetro λ se sua func¸a˜o de
probabilidade e´ dada por
p(x) =
e−λλx
x!
, se x = 0, 1, 2, · · · (1)
E´ poss´ıvel mostrar que E[X] = V ar(x) = λ. Ale´m disso, a distribuic¸a˜o Poisson e´
uma aproximac¸a˜o da distribuic¸a˜o Binomial(n, p), para n grande.
Uma situac¸a˜o pra´tica de interesse na qual a distribuic¸a˜o Poisson e´ empregada diz
respeito a` desintegrac¸a˜o de substaˆncias radioativas. Considere o uraˆnio 238(U238),
por exemplo. Cada nu´cleo de U238 tem uma probabilidade muito pequena, p =
4, 9 × 10−18 de se desintegrar, emitindo uma part´ıcula α, em um segundo. Consi-
dere, agora, um nu´mero grande n de nu´cleos e a v.a. X= nu´mero de nu´cleos que
se desintegram. Admitindo-se que a desintegrac¸a˜o de um nu´cleo na˜o afeta a proba-
bilidade de desintegrac¸a˜o de qualquer outro nu´cleo (independeˆncia), a v.a. X tem
uma distribuic¸a˜o Binomial, com paraˆmetros n e p dados anteriormente. Nesse caso,
podemos utilizar a aproximac¸a˜o pela Poisson.
Sabendo que em 0,30 mg de U238 temos aproximadamente n = 7, 6 × 1017 a´tomos,
logo λ = np ≈ 3, 7. Determine as probabilidades de (i) nenhum nu´cleo desintegrar;
(ii) de 3 nu´cleos desintegrarem; (ii) pelo menos 5 nu´cleos desintegrarem. Para
o ca´lculo das probabilidades associadas a distribuic¸a˜o Poisson, voceˆ pode utilizar
valores ja´ tabulados. Note que o ca´lculo utilizando a func¸a˜o de probabilidade da
distribuic¸a˜o Binomial ficaria complicado neste caso. Por queˆ?
21. Exerc´ıcios da Apostila (Cunha & Peres): Cap´ıtulo 5, em particular: 5.4-5.7, 5.11,
5.13, 5.15, 5.18, 5.21, 5.25, 5.29.
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